MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Se consideră funcția f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^{2}} pe intervalul [0,2][0,2]. Să se calculeze aria regiunii plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aria se exprimă ca integrală definită: A=∫024−x2 dxA = \int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx.
23 puncte
Se face substituția trigonometrică x=2sin⁡tx = 2 \sin t, de unde dx=2cos⁡t dtdx = 2 \cos t \, dt. Se schimbă limitele: pentru x=0x=0, t=0t=0; pentru x=2x=2, t=π2t=\frac{\pi}{2}.
33 puncte
Se substituie în integrală: A=∫0π/24−4sin⁡2t⋅2cos⁡t dt=∫0π/22cos⁡t⋅2cos⁡t dt=∫0π/24cos⁡2t dtA = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{4 - 4\sin^{2} t} \cdot 2 \cos t \, dt = \int_{0}^{\pi/2} 2 \cos t \cdot 2 \cos t \, dt = \int_{0}^{\pi/2} 4 \cos^{2} t \, dt. Se folosește identitatea cos⁡2t=1+cos⁡2t2\cos^{2} t = \frac{1+\cos 2t}{2}, deci A=∫0π/24⋅1+cos⁡2t2 dt=∫0π/2(2+2cos⁡2t) dtA = \int_{0}^{\pi/2} 4 \cdot \frac{1+\cos 2t}{2} \, dt = \int_{0}^{\pi/2} (2 + 2\cos 2t) \, dt.
42 puncte
Se calculează integrala: ∫0π/2(2+2cos⁡2t) dt=[2t+sin⁡2t]0π/2=(2⋅π2+sin⁡π)−(0+sin⁡0)=π+0−0=π\int_{0}^{\pi/2} (2 + 2\cos 2t) \, dt = \left[ 2t + \sin 2t \right]_{0}^{\pi/2} = (2 \cdot \frac{\pi}{2} + \sin \pi) - (0 + \sin 0) = \pi + 0 - 0 = \pi. Deci aria este π\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.