MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricea A=(121a1b213)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ a & 1 & b \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare A(xyz)=(457)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru a=2a=2 și b=1b=1, calculați inversa matricei AA și folosiți-o pentru a găsi soluția sistemului. c) Discutați, în funcție de aa și bb, dacă sistemul este compatibil sau incompatibil, iar în caz de compatibilitate, dacă are o infinitate de soluții.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul matricei AA: det⁡(A)=1⋅(1⋅3−b⋅1)−2⋅(a⋅3−b⋅2)+1⋅(a⋅1−1⋅2)=3−b−6a+4b+a−2=−5a+3b+1\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 3 - b \cdot 1) - 2 \cdot (a \cdot 3 - b \cdot 2) + 1 \cdot (a \cdot 1 - 1 \cdot 2) = 3 - b - 6a + 4b + a - 2 = -5a + 3b + 1. Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică −5a+3b+1≠0-5a + 3b + 1 \neq 0.
24 puncte
Pentru a=2a=2 și b=1b=1, det⁡(A)=−5(2)+3(1)+1=−10+3+1=−6≠0\det(A) = -5(2) + 3(1) + 1 = -10 + 3 + 1 = -6 \neq 0. Calculăm A−1A^{-1} folosind formula cu adjuncta: A−1=1det⁡(A)adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A). După calcule, A−1=1−6(2−53−111−13−3)=(−1356−1216−16−1616−1212)A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. Soluția sistemului este (xyz)=A−1(457)=(−13⋅4+56⋅5−12⋅716⋅4−16⋅5−16⋅716⋅4−12⋅5+12⋅7)=(1−12)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{5}{6} \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 7 \\ \frac{1}{6} \cdot 4 - \frac{1}{6} \cdot 5 - \frac{1}{6} \cdot 7 \\ \frac{1}{6} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}.
33 puncte
Dacă det⁡(A)=0\det(A)=0, adică −5a+3b+1=0-5a+3b+1=0, atunci sistemul poate fi compatibil sau incompatibil. Calculăm rangul matricei AA și al matricei extinse. Pentru aa și bb care satisfac ecuația, verificăm dacă rang(A)=rang(A∣b⃗)\text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}). Dacă rangurile sunt egale și mai mici decât 3, sistemul are infinitate de soluții; dacă sunt diferite, sistemul este incompatibil. De exemplu, pentru a=1a=1 și b=43b=\frac{4}{3}, se poate verifica că sistemul este compatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.