MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeInducție matematică
Fie matricea A=(1i−i1)A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}, unde ii este unitatea imaginară, i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și determinați dacă AA este inversabilă. În caz afirmativ, calculați A−1A^{-1}; în caz negativ, justificați. b) Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An=2n−1AA^n = 2^{n-1} A.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul lui A2A^2: A2=A⋅A=(1i−i1)(1i−i1)=(1⋅1+i⋅(−i)1⋅i+i⋅1(−i)⋅1+1⋅(−i)(−i)⋅i+1⋅1)=(1+1i+i−i−i1+1)=(22i−2i2)=2(1i−i1)=2AA^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + i \cdot (-i) & 1 \cdot i + i \cdot 1 \\ (-i) \cdot 1 + 1 \cdot (-i) & (-i) \cdot i + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 & i + i \\ -i - i & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2i \\ -2i & 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} = 2A.
22 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=1⋅1−i⋅(−i)=1−(−i2)=1−(−(−1))=1−1=0\det(A) = 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) = 1 - (-i^2) = 1 - (-(-1)) = 1 - 1 = 0. Deci det⁡(A)=0\det(A)=0, așadar AA nu este inversabilă.
31 punct
Baza de inducție: pentru n=1n=1, A1=20A=AA^1 = 2^{0} A = A, adevărat.
44 puncte
Pasul inductiv: presupunem Ak=2k−1AA^k = 2^{k-1} A pentru un k≥1k \geq 1. Atunci Ak+1=Ak⋅A=(2k−1A)⋅A=2k−1A2=2k−1⋅2A=2kAA^{k+1} = A^k \cdot A = (2^{k-1} A) \cdot A = 2^{k-1} A^2 = 2^{k-1} \cdot 2A = 2^k A. Deci proprietatea este adevărată pentru k+1k+1.
51 punct
Concluzie: Prin inducție matematică, An=2n−1AA^n = 2^{n-1} A pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.