MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteStudiul funcțiilorArii și volume
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} definită prin f(x)=∫0x(t2−t)dtf(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - t) dt. a) Determinați expresia explicită a funcției ff. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Calculați aria mărginită de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul primitivei: ∫(t2−t)dt=t33−t22+C\int (t^2 - t) dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + C, deci f(x)=x33−x22f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}.
23 puncte
Derivata: f′(x)=x2−x=x(x−1)f'(x) = x^2 - x = x(x-1). Studiem semnul: pe [0,2][0,2], f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0,1) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1,2)x \in (1,2). Deci ff este descrescătoare pe [0,1][0,1] și crescătoare pe [1,2][1,2].
32 puncte
Punctele de extrem: minim local în x=1x=1, f(1)=13−12=−16f(1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}. Maximul la capete: f(0)=0f(0)=0, f(2)=83−2=23f(2)= \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}, deci maximul este f(2)=23f(2)=\frac{2}{3}.
42 puncte
Aria: ∫02∣f(x)∣dx\int_{0}^{2} |f(x)| dx. Pentru x∈[0,1]x \in [0,1], f(x)≤0f(x) \leq 0, iar pentru x∈[1,2]x \in [1,2], f(x)≥0f(x) \geq 0. Deci aria = ∫01(−f(x))dx+∫12f(x)dx=∫01(x22−x33)dx+∫12(x33−x22)dx\int_{0}^{1} (-f(x)) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) dx + \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right) dx. Calculând, obținem 16+56=1\frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.