MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Fie triunghiul ABCABC cu vârfurile A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(5,1)C(5,1). Calculați măsura unghiului AA și aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul lungimilor laturilor: AB=(4−1)2+(6−2)2=9+16=25=5AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, AC=(5−1)2+(1−2)2=16+1=17AC = \sqrt{(5-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}, BC=(5−4)2+(1−6)2=1+25=26BC = \sqrt{(5-4)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26};
23 puncte
Aplicarea teoremei cosinusului în triunghiul ABCABC pentru unghiul AA: cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=25+17−262⋅5⋅17=161017=8517=81785\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{25 + 17 - 26}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{17}} = \frac{16}{10\sqrt{17}} = \frac{8}{5\sqrt{17}} = \frac{8\sqrt{17}}{85}. Atunci m(∠A)=arccos⁡(81785)m(\angle A) = \arccos\left(\frac{8\sqrt{17}}{85}\right);
34 puncte
Calculul ariei triunghiului folosind determinantul: Aria=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣=12∣1(6−1)+4(1−2)+5(2−6)∣=12∣1⋅5+4⋅(−1)+5⋅(−4)∣=12∣5−4−20∣=12∣−19∣=192Aria = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = \frac{1}{2} |1(6-1) + 4(1-2) + 5(2-6)| = \frac{1}{2} |1 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 5 \cdot (-4)| = \frac{1}{2} |5 - 4 - 20| = \frac{1}{2} |-19| = \frac{19}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.