MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Termenii b1,b2,b3b_1, b_2, b_3 ai unei progresii geometrice cu b1>0b_1 > 0 și q>0q > 0 verifică log⁡2(b1)+log⁡2(b2)+log⁡2(b3)=6\log_2(b_1) + \log_2(b_2) + \log_2(b_3) = 6 și b1+b2+b3=14b_1 + b_2 + b_3 = 14. Determinați b1b_1 și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei geometrice: b1=b1b_1 = b_1, b2=b1qb_2 = b_1 q, b3=b1q2b_3 = b_1 q^2.
23 puncte
Aplicăm proprietățile logaritmilor: log⁡2(b1)+log⁡2(b1q)+log⁡2(b1q2)=log⁡2(b13q3)=3log⁡2(b1q)=6\log_2(b_1) + \log_2(b_1 q) + \log_2(b_1 q^2) = \log_2(b_1^3 q^3) = 3 \log_2(b_1 q) = 6, deci log⁡2(b1q)=2\log_2(b_1 q) = 2 și b1q=4b_1 q = 4. Astfel, b2=4b_2 = 4.
33 puncte
Din suma termenilor, b1+b2+b3=b1+4+b1q2=14b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + 4 + b_1 q^2 = 14. Înlocuim b1=4qb_1 = \frac{4}{q} (din b1q=4b_1 q = 4), obținând 4q+4+4q=14\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14. Simplificăm la 4q+4q=104q + \frac{4}{q} = 10.
42 puncte
Rezolvăm ecuația 4q+4q=104q + \frac{4}{q} = 10. Înmulțim cu qq: 4q2+4=10q4q^2 + 4 = 10q, deci 4q2−10q+4=04q^2 - 10q + 4 = 0. Împărțim cu 2: 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0. Discriminantul Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci q=5±34q = \frac{5 \pm 3}{4}, adică q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}. Pentru q=2q=2, b1=2b_1 = 2; pentru q=12q=\frac{1}{2}, b1=8b_1 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.