MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați numerele reale xx și yy care satisfac sistemul: {log⁡2(x+y)−log⁡2(x−y)=1x2−y2=8\begin{cases} \log_2(x+y) - \log_2(x-y) = 1 \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabilim domeniul: x+y>0x+y > 0 și x−y>0x-y > 0. Din x2−y2=8x^2 - y^2 = 8, avem (x−y)(x+y)=8(x-y)(x+y)=8, deci x+y>0x+y > 0 și x−y>0x-y > 0 pentru soluții reale.\n
23 puncte
Simplificăm ecuația logaritmică: log⁡2(x+yx−y)=1\log_2\left(\frac{x+y}{x-y}\right) = 1, deci x+yx−y=2\frac{x+y}{x-y} = 2.\n
33 puncte
Din x+yx−y=2\frac{x+y}{x-y} = 2, obținem x+y=2(x−y)⇒x+y=2x−2y⇒x=3yx+y = 2(x-y) \Rightarrow x+y = 2x - 2y \Rightarrow x = 3y.\n
42 puncte
Înlocuim x=3yx = 3y în x2−y2=8x^2 - y^2 = 8: (3y)2−y2=8⇒9y2−y2=8⇒8y2=8⇒y2=1(3y)^2 - y^2 = 8 \Rightarrow 9y^2 - y^2 = 8 \Rightarrow 8y^2 = 8 \Rightarrow y^2 = 1, deci y=1y = 1 sau y=−1y = -1. Verificăm domeniul: pentru y=1y=1, x=3x=3, atunci x+y=4>0x+y=4>0, x−y=2>0x-y=2>0, valid; pentru y=−1y=-1, x=−3x=-3, atunci x+y=−4<0x+y=-4<0, invalid. Soluția: x=3,y=1x=3, y=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.