MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Considerăm numerele complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 care formează o progresie geometrică cu rația r∈Cr \in \mathbb{C}. Dacă z1=2+iz_1 = 2 + i, z3=1−2iz_3 = 1 - 2i, determinați rr și z2z_2. Verificați dacă modulele acestor numere sunt în progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condițiile pentru progresia geometrică: z2=z1⋅rz_2 = z_1 \cdot r și z3=z1⋅r2z_3 = z_1 \cdot r^2.
24 puncte
Din z3=z1⋅r2z_3 = z_1 \cdot r^2, obținem r2=z3z1=1−2i2+ir^2 = \frac{z_3}{z_1} = \frac{1-2i}{2+i}. Simplificăm acest coeficient: 1−2i2+i=(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=2−i−4i+2i24−i2=2−5i−24+1=−5i5=−i\frac{1-2i}{2+i} = \frac{(1-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2 - i - 4i + 2i^2}{4 - i^2} = \frac{2 -5i -2}{4+1} = \frac{-5i}{5} = -i. Deci r2=−ir^2 = -i.
33 puncte
Rezolvăm r2=−ir^2 = -i. Rădăcinile pătrate sunt r=22−i22r = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} și r=−22+i22r = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} (de exemplu, din forma polară). Apoi calculăm z2=z1⋅rz_2 = z_1 \cdot r pentru ambele cazuri. Modulele: ∣z1∣=5|z_1| = \sqrt{5}, ∣z2∣=5⋅∣r∣=5|z_2| = \sqrt{5} \cdot |r| = \sqrt{5} (deoarece ∣r∣=1|r|=1), ∣z3∣=5|z_3| = \sqrt{5}, deci modulele sunt egale și nu formează o progresie geometrică neconstantă (sunt constante, ceea ce corespunde unei progresii geometrice cu rația 1, dar în cazul general, verificarea arată că nu este o progresie geometrică cu rație diferită de 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.