MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere Complexe
Fie matricea A=(1+i001−i)A = \begin{pmatrix} 1+i & 0 \\ 0 & 1-i \end{pmatrix}, unde ii este unitatea imaginară. a) Calculaţi A2A^2. b) Demonstraţi că A2−2A+2I2=O2A^2 - 2A + 2I_2 = O_2, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este matricea unitate şi O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este matricea nulă. c) Folosind acest rezultat, determinaţi inversa matricei AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm A2=(1+i001−i)⋅(1+i001−i)=((1+i)200(1−i)2)=(1+2i+i2001−2i+i2)=(2i00−2i)A^2 = \begin{pmatrix} 1+i & 0 \\ 0 & 1-i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1+i & 0 \\ 0 & 1-i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1+i)^2 & 0 \\ 0 & (1-i)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2i + i^2 & 0 \\ 0 & 1 - 2i + i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2i & 0 \\ 0 & -2i \end{pmatrix}.\n
24 puncte
Calculăm A2−2A+2I2A^2 - 2A + 2I_2. Avem 2A=(2+2i002−2i)2A = \begin{pmatrix} 2+2i & 0 \\ 0 & 2-2i \end{pmatrix} şi 2I2=(2002)2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Atunci A2−2A+2I2=(2i00−2i)−(2+2i002−2i)+(2002)=(2i−2−2i+200−2i−2+2i+2)=(0000)=O2A^2 - 2A + 2I_2 = \begin{pmatrix} 2i & 0 \\ 0 & -2i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2+2i & 0 \\ 0 & 2-2i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2i - 2 - 2i + 2 & 0 \\ 0 & -2i - 2 + 2i + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2.\n
33 puncte
Din A2−2A+2I2=O2A^2 - 2A + 2I_2 = O_2, obţinem A2−2A=−2I2A^2 - 2A = -2I_2, deci A(A−2I2)=−2I2A(A - 2I_2) = -2I_2. Înmulţind la stânga cu A−1A^{-1}, dacă există, avem A−1A(A−2I2)=A−1(−2I2)A^{-1}A(A - 2I_2) = A^{-1}(-2I_2), deci A−2I2=−2A−1A - 2I_2 = -2A^{-1}. Astfel, A−1=−12(A−2I2)A^{-1} = -\frac{1}{2}(A - 2I_2). Calculăm A−2I2=(1+i−2001−i−2)=(−1+i00−1−i)A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 1+i -2 & 0 \\ 0 & 1-i -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+i & 0 \\ 0 & -1-i \end{pmatrix}, deci A−1=−12(−1+i00−1−i)=(1−i2001+i2)A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1+i & 0 \\ 0 & -1-i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1-i}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.