MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ∗* o lege de compoziție pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+ax+by+cx * y = xy + ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât ∗* să fie comutativă, asociativă și să admită element neutru. Apoi, pentru valorile găsite, determinați simetricul fiecărui element x∈Rx \in \mathbb{R} față de ∗*.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condiția de comutativitate: x∗y=y∗xx * y = y * x. Substituim și obținem xy+ax+by+c=yx+ay+bx+cxy + ax + by + c = yx + ay + bx + c, de unde ax+by=ay+bxax + by = ay + bx pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Deducem a=ba = b.
23 puncte
Scriem condiția de asociativitate: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z). Calculăm (x∗y)∗z=(xy+ax+by+c)∗z=(xy+ax+by+c)z+a(xy+ax+by+c)+bz+c(x * y) * z = (xy + ax + by + c) * z = (xy + ax + by + c)z + a(xy + ax + by + c) + bz + c și x∗(y∗z)=x∗(yz+ay+bz+c)=x(yz+ay+bz+c)+ax+b(yz+ay+bz+c)+cx * (y * z) = x * (yz + ay + bz + c) = x(yz + ay + bz + c) + ax + b(yz + ay + bz + c) + c. Egalăm coeficienții și, folosind a=ba = b, obținem a2=aa^2 = a și condiții care conduc la a=b=0a = b = 0 și cc liber. Pentru asociativitate, se cere c=0c = 0, deci a=b=c=0a = b = c = 0.
32 puncte
Determinăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Cu a=b=c=0a = b = c = 0, avem x∗e=xe=xx * e = xe = x, deci e=1e = 1.
43 puncte
Simetricul x′x' al lui xx satisface x∗x′=e=1x * x' = e = 1. Cu a=b=c=0a = b = c = 0, avem xx′=1x x' = 1, deci x′=1xx' = \frac{1}{x} pentru x≠0x \neq 0. Pentru x=0x = 0, nu există simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.