MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciPolinoameInducție matematică
Fie matricea A=(21−10)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Calculați A2A^2, A3A^3 și A4A^4. Verificați dacă AA satisface ecuația A2−2A+I2=O2A^2 - 2A + I_2 = O_2, unde I2I_2 este matricea unitate și O2O_2 matricea nulă de ordinul 2. Folosind această relație, demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An+2=2An+1−AnA^{n+2} = 2A^{n+1} - A^n și deduceți o formulă pentru AnA^n în funcție de AA și I2I_2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul A2=(21−10)(21−10)=(32−2−1)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}, A3=A2⋅A=(32−2−1)(21−10)=(43−3−2)A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}, A4=A3⋅A=(43−3−2)(21−10)=(54−4−3)A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}.
22 puncte
Verificare: A2−2A+I2=(32−2−1)−2(21−10)+(1001)=(3−4+12−2+0−2+2+0−1−0+1)=(0000)=O2A^2 - 2A + I_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4+1 & 2-2+0 \\ -2+2+0 & -1-0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2.
33 puncte
Demonstrație prin inducție: Pentru n=1n=1, A3=2A2−AA^3 = 2A^2 - A, adevărat conform calculului. Presupunem Ak+2=2Ak+1−AkA^{k+2} = 2A^{k+1} - A^k pentru k≥1k \ge 1. Atunci Ak+3=A⋅Ak+2=A(2Ak+1−Ak)=2Ak+2−Ak+1A^{k+3} = A \cdot A^{k+2} = A(2A^{k+1} - A^k) = 2A^{k+2} - A^{k+1}, deci proprietatea este adevărată pentru n=k+1n=k+1.
42 puncte
Din relația A2=2A−I2A^2 = 2A - I_2, se poate exprima AnA^n ca An=αnA+βnI2A^n = \alpha_n A + \beta_n I_2. Folosind recurența, se obține αn+2=2αn+1−αn\alpha_{n+2} = 2\alpha_{n+1} - \alpha_n, cu α1=1,α2=2\alpha_1=1, \alpha_2=2 și βn=−αn−1\beta_n = -\alpha_{n-1} pentru n≥2n \ge 2. Pentru n≥1n \ge 1, An=nA−(n−1)I2A^n = nA - (n-1)I_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.