MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Fie △ABC\triangle ABC un triunghi ascuțitunghic cu sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și sin⁡B=513\sin B = \frac{5}{13}. Să se calculeze sin⁡C\sin C și să se determine lungimea laturii ABAB dacă raza cercului circumscris triunghiului este R=13R=13.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează cos⁡A\cos A și cos⁡B\cos B folosind identitatea fundamentală: cos⁡A=1−sin⁡2A=45\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \frac{4}{5} (căci AA ascuțit), cos⁡B=1−sin⁡2B=1213\cos B = \sqrt{1-\sin^2 B} = \frac{12}{13} (căci BB ascuțit).
23 puncte
Se aplică formula pentru sin⁡C\sin C în triunghi: sin⁡C=sin⁡(180∘−(A+B))=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B=35⋅1213+45⋅513=3665+2065=5665\sin C = \sin(180^\circ - (A+B)) = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}.
32 puncte
Se folosește teorema sinusurilor: ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R, deci AB=2Rsin⁡C=2⋅13⋅5665=145665=1125AB = 2R \sin C = 2 \cdot 13 \cdot \frac{56}{65} = \frac{1456}{65} = \frac{112}{5}.
42 puncte
Verificare: AB=22.4AB = 22.4 unități, și se menționează că sin⁡C≈0.8615\sin C \approx 0.8615 este valid deoarece CC ascuțit (sin⁡C<1\sin C < 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.