MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie aa un număr real pozitiv, a≠1a \neq 1. Rezolvați sistemul de ecuații:\n{log⁡a(x)+log⁡a(y)=2x+y=5a\begin{cases}\log_a(x) + \log_a(y) = 2 \\ x + y = 5a\end{cases}\nși determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluții reale pozitive.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabilirea condițiilor de existență: x>0x>0, y>0y>0, a>0a>0, a≠1a \neq 1.\n
23 puncte
Aplicarea proprietății logaritmilor: log⁡a(x)+log⁡a(y)=log⁡a(xy)=2\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy) = 2, deci xy=a2xy = a^2.\n
33 puncte
Sistemul se reduce la xy=a2xy = a^2 și x+y=5ax+y=5a. Considerând xx și yy rădăcini ale ecuației t2−5at+a2=0t^2 - 5a t + a^2 = 0, discriminantul este Δ=25a2−4a2=21a2\Delta = 25a^2 - 4a^2 = 21a^2. Soluțiile sunt t=5a±a212t = \frac{5a \pm a\sqrt{21}}{2}.\n
42 puncte
Pentru ca xx și yy să fie pozitive, trebuie ca 5a±a212>0\frac{5a \pm a\sqrt{21}}{2} > 0. Deoarece a>0a>0 și 5>215 > \sqrt{21}, ambele expresii sunt pozitive pentru orice a>0a>0, cu excepția cazului a=1a=1 exclus din condiții. Sistemul are soluții pentru toate a∈(0,1)∪(1,∞)a \in (0,1) \cup (1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.