MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2sin⁡2x+2cos⁡2x=32^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Folosind identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, se notează t=sin⁡2xt = \sin^2 x, deci cos⁡2x=1−t\cos^2 x = 1-t, cu t∈[0,1]t \in [0,1]. Ecuația devine 2t+21−t=32^t + 2^{1-t} = 3.
22 puncte
Se înmulțește ecuația cu 2t2^t și se obține 22t+2=3⋅2t2^{2t} + 2 = 3 \cdot 2^t.
32 puncte
Se notează u=2tu = 2^t, unde u∈[1,2]u \in [1,2]. Ecuația devine u2−3u+2=0u^2 - 3u + 2 = 0.
42 puncte
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea: u=1u=1 sau u=2u=2.
52 puncte
Pentru u=1u=1, avem 2t=12^t=1 deci t=0t=0, adică sin⁡2x=0\sin^2 x=0, de unde x=kπ,k∈Zx=k\pi, k\in\mathbb{Z}. Pentru u=2u=2, avem 2t=22^t=2 deci t=1t=1, adică sin⁡2x=1\sin^2 x=1, de unde x=π2+kπ,k∈Zx=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Mulțimea soluțiilor este {x∈R∣x=kπ sau x=π2+kπ,k∈Z}\{x\in\mathbb{R} \mid x=k\pi \text{ sau } x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.