MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeGrupuri
Pe mulțimea C={z∈C∣z=a+bi,a,b∈R}C = \{ z \in \mathbb{C} \mid z = a + bi, a,b \in \mathbb{R} \} se definește legea de compoziție z∘w=z+w−i⋅Im⁡(z⋅w‾)z \circ w = z + w - i \cdot \operatorname{Im}(z \cdot \overline{w}), unde Im⁡(u)\operatorname{Im}(u) este partea imaginară a numărului complex uu. a) Demonstrați că legea ∘\circ este comutativă. b) Studiați dacă există element neutru pentru această lege. c) Dacă există element neutru, determinați elementele inversabile și calculați inversul lui z=2+3iz = 2 + 3i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea comutativității. Fie z=a+biz = a+bi și w=c+diw = c+di. Atunci z⋅w‾=(a+bi)(c−di)=ac+bd+i(bc−ad)z \cdot \overline{w} = (a+bi)(c-di) = ac + bd + i(bc - ad), deci Im⁡(z⋅w‾)=bc−ad\operatorname{Im}(z \cdot \overline{w}) = bc - ad. Calculăm z∘w=(a+bi)+(c+di)−i(bc−ad)=(a+c)+i(b+d−bc+ad)z \circ w = (a+bi) + (c+di) - i(bc - ad) = (a+c) + i(b+d - bc + ad). Analog, w∘z=(c+di)+(a+bi)−i(ad−bc)=(a+c)+i(b+d−ad+bc)=(a+c)+i(b+d−bc+ad)w \circ z = (c+di) + (a+bi) - i(ad - bc) = (a+c) + i(b+d - ad + bc) = (a+c) + i(b+d - bc + ad), deoarece ad−bc=−(bc−ad)ad - bc = -(bc - ad). Astfel, z∘w=w∘zz \circ w = w \circ z, deci legea este comutativă.
23 puncte
Căutarea elementului neutru. Fie e=x+yie = x+yi elementul neutru, deci z∘e=zz \circ e = z pentru orice zz. Din definiție, z∘e=z+e−i⋅Im⁡(z⋅e‾)z \circ e = z + e - i \cdot \operatorname{Im}(z \cdot \overline{e}). Pentru z=a+biz = a+bi, avem z⋅e‾=(a+bi)(x−yi)=ax+by+i(bx−ay)z \cdot \overline{e} = (a+bi)(x-yi) = ax + by + i(bx - ay), deci Im⁡(z⋅e‾)=bx−ay\operatorname{Im}(z \cdot \overline{e}) = bx - ay. Condiția z∘e=zz \circ e = z devine (a+bi)+(x+yi)−i(bx−ay)=a+bi(a+bi) + (x+yi) - i(bx - ay) = a+bi, adică a+x+i(b+y−bx+ay)=a+bia+x + i(b+y - bx + ay) = a+bi. Identificând părțile reale și imaginare: a+x=aa+x = a și b+y−bx+ay=bb+y - bx + ay = b. Din prima ecuație, x=0x=0. Substituind în a doua: b+y−b⋅0+a⋅0=bb+y - b\cdot0 + a\cdot0 = b, deci y=0y=0. Astfel, e=0e = 0, care aparține lui CC, deci elementul neutru există și este 00.
34 puncte
Determinarea elementelor inversabile. Pentru z=a+biz = a+bi, căutăm z′=u+viz' = u+vi astfel încât z∘z′=0z \circ z' = 0. Din comutativitate, este suficient z∘z′=0z \circ z' = 0. Calculăm z∘z′=(a+bi)+(u+vi)−i⋅Im⁡((a+bi)⋅(u−vi))=(a+u)+i(b+v−(bu−av))z \circ z' = (a+bi) + (u+vi) - i \cdot \operatorname{Im}((a+bi) \cdot (u-vi)) = (a+u) + i(b+v - (bu - av)), deoarece (a+bi)(u−vi)=au+bv+i(bu−av)(a+bi)(u-vi) = au + bv + i(bu - av). Setăm egal cu 00: partea reală a+u=0a+u=0, deci u=−au=-a; partea imaginară b+v−(bu−av)=0b+v - (bu - av)=0. Substituind u=−au=-a: b+v−(b(−a)−av)=b+v+ab+av=0b+v - (b(-a) - a v) = b+v + ab + av = 0. Rezultă v(1+a)=−b(1+a)v(1+a) = -b(1+a). Dacă a≠−1a \neq -1, atunci v=−bv = -b, deci z′=−a−bi=−zz' = -a - bi = -z. Dacă a=−1a = -1, ecuația devine 0=−b(0)0 = -b(0), adică bb poate fi orice, dar atunci z′z' nu este unic, deci elementele cu a=−1a = -1 nu sunt inversabile. Pentru z=2+3iz = 2+3i, avem a=2≠−1a=2 \neq -1, deci este inversabil și inversul este z′=−2−3iz' = -2 - 3i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.