MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a suprafeței plane delimitate de graficul funcției f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x și axa Ox, pentru x∈[0,π2]x \in [0, \frac{\pi}{2}].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Volumul este dat de formula V=π∫0π/2[f(x)]2dx=π∫0π/2cos⁡2xdxV = \pi \int_0^{\pi/2} [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx.
24 puncte
Folosim identitatea trigonometrică cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, deci ∫cos⁡2xdx=∫1+cos⁡2x2dx=x2+sin⁡2x4+C\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.
33 puncte
Evaluați integrala definită: V=π[x2+sin⁡2x4]0π/2=π(π4+0−(0+0))=π24V = \pi \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\pi/2} = \pi \left( \frac{\pi}{4} + 0 - (0 + 0) \right) = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.