MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrie
Se consideră numerele complexe zz și ww astfel încât ∣z∣=2|z| = 2, ∣w∣=3|w| = 3, și arg⁡(z)−arg⁡(w)=π3\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{3}. Calculați ∣z+w∣|z + w|.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți zz și ww în formă trigonometrică: z=2(cos⁡α+isin⁡α)z = 2(\cos\alpha + i\sin\alpha), w=3(cos⁡β+isin⁡β)w = 3(\cos\beta + i\sin\beta) cu α−β=π3\alpha - \beta = \frac{\pi}{3}.
24 puncte
Calculați ∣z+w∣2=∣z∣2+∣w∣2+2Re⁡(zw‾)=4+9+2Re⁡(zw‾)|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\operatorname{Re}(z\overline{w}) = 4 + 9 + 2\operatorname{Re}(z\overline{w}).
33 puncte
Găsiți Re⁡(zw‾)=Re⁡(2(cos⁡α+isin⁡α)⋅3(cos⁡β−isin⁡β))=6Re⁡((cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β))=6cos⁡(α−β)=6cos⁡π3=3\operatorname{Re}(z\overline{w}) = \operatorname{Re}\left(2(\cos\alpha + i\sin\alpha) \cdot 3(\cos\beta - i\sin\beta)\right) = 6\operatorname{Re}\left((\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)\right) = 6\cos(\alpha - \beta) = 6\cos\frac{\pi}{3} = 3. Așadar, ∣z+w∣2=4+9+2⋅3=19|z + w|^2 = 4+9+2\cdot3 = 19, deci ∣z+w∣=19|z + w| = \sqrt{19}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.