Clasa 11Analiză

Derivate — Teorie, Formule si Exemple

Derivata măsoară viteza de schimbare a unei funcții și este conceptul central al analizei matematice din programa de clasa a 11-a, profil Matematică M1. La examenul de Bacalaureat, derivatele apar în Subiectul III în fiecare sesiune (15 puncte, format a + b + c câte 5 puncte), unde se cere de regulă calculul derivatei, aflarea monotoniei, a extremelor sau demonstrarea unei inegalități. Stăpânirea derivatelor este esențială și pentru temele conexe — monotonie și convexitate, asimptote, studiul complet al funcțiilor, primitive și integrale. Trebuie să cunoști pe de rost tabelul derivatelor elementare și cele cinci reguli de derivare: sumă, produs, cât, compunere și putere compusă.

Definiția derivatei și interpretarea geometrică

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este limita raportului incremental:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

dacă această limită există și este finită. Dacă există,

f

se numește derivabilă în

x_0

. Forma echivalentă cu $x \to x_0$ :

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Această formă este utilă când funcția este dată pe ramuri. Interpretare geometrică:

f'(x_0)

este panta tangentei la graficul lui

f

în punctul

(x_0, f(x_0))

. Ecuația tangentei este:

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

Notații echivalente:

f'(x)

\dfrac{df}{dx}

\dfrac{d}{dx}f(x)

. Legătura cu continuitatea: Dacă

f

este derivabilă în

x_0

, atunci

f

este continuă în

x_0

. Reciproca este falsă:

f(x) = |x|

este continuă în

x_0 = 0

, dar nu derivabilă (limitele laterale ale raportului incremental sunt

-1

și

1

, deci diferite).

usorExercițiu de bază

Calculați derivata lui

f(x) = x^2

în punctul

x_0 = 3

din definiție.

2 puncte

f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h}

3 puncte

= \lim_{h \to 0} \dfrac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6

mediuTip Bac — derivabilitate pe ramuri

Fie

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 2x, & x > 1 \end{cases}

. Arătați că

f

este derivabilă în

x_0 = 1

2 puncte

Verificăm continuitatea:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2

\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 = 2

f(1) = 2

. Deci

f

este continuă.

2 puncte

Derivata la stânga:

f_s'(1) = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 1 - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2

1 punct

Derivata la dreapta:

f_d'(1) = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{2x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{2(x-1)}{x-1} = 2

. Cum

f_s'(1) = f_d'(1) = 2

, funcția este derivabilă și

f'(1) = 2

Tabelul derivatelor elementare — formulele de memorat

Constanta

(c)' = 0

Constanta nu se schimbă, deci rata de schimbare este 0.

Putere

(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Valabil pentru orice

n \in \mathbb{R}

. Cazuri:

(x)'=1

(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}

Exponențiala naturală

(e^x)' = e^x

e^x

este singura funcție care este propria ei derivată.

Exponențiala în baza a

(a^x)' = a^x \cdot \ln a

, cu

a > 0

a \neq 1

Cazul

a=e

se reduce la formula precedentă (

\ln e = 1

Logaritmul natural

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

, cu

x > 0

Funcție definită și derivabilă doar pentru

x > 0

Logaritmul zecimal

(\lg x)' = \dfrac{1}{x \ln 10}

Se deduce din formula de schimbare a bazei:

\lg x = \frac{\ln x}{\ln 10}

Logaritmul în baza a

(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}

a=e

\ln a = 1

, revenim la

(\ln x)'=1/x

Sinusul

(\sin x)' = \cos x

Argumentul

x

este în radiani.

Cosinusul

(\cos x)' = -\sin x

Atenție la semnul minus!

Tangenta

(\operatorname{tg}\, x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}

Nedefinit unde

\cos x = 0

, adică

x = \frac{\pi}{2} + k\pi

Cotangenta

(\operatorname{ctg}\, x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}

Nedefinit unde

\sin x = 0

, adică

x = k\pi

Rădăcina pătrată

(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

, cu

x > 0

Caz particular al formulei puterii cu

n = 1/2

usorTip Bac Subiectul III.a

Calculați

f'(x)

pentru

f(x) = x^4 - 3x^2 + \ln x

x > 0

3 puncte

Derivăm termen cu termen:

(x^4)' = 4x^3

(3x^2)' = 6x

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

2 puncte

f'(x) = 4x^3 - 6x + \dfrac{1}{x}

usorTip Bac Subiectul III.a

Calculați

f'(x)

pentru

f(x) = e^x + \sin x - 3\sqrt{x}

x > 0

3 puncte

Derivăm termen cu termen:

(e^x)' = e^x

(\sin x)' = \cos x

(3\sqrt{x})' = 3 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3}{2\sqrt{x}}

2 puncte

f'(x) = e^x + \cos x - \dfrac{3}{2\sqrt{x}}

Cele 5 reguli de derivare — sumă, produs, cât, compunere, putere compusă

Cele cinci reguli de derivare acoperă orice funcție întâlnită la Bac: Suma/diferența:

(f \pm g)' = f' \pm g'

— se derivează termen cu termen. Produsul cu scalar:

(c \cdot f)' = c \cdot f'

— constanta se scoate. Produsul (Leibniz):

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

— doi termeni! Câtul:

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

, cu

g \neq 0

. Compunerea (chain rule):

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

— derivata exteriorului calculată în interior, înmulțită cu derivata interiorului. Putere compusă (caz frecvent):

((g(x))^n)' = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)

Alte compuneri frecvente la Bac:

$(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$
$(\sin(g(x)))' = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$

usorTip Bac Subiectul III.a — regula produsului

Calculați

f'(x)

pentru

f(x) = x^3 e^x

2 puncte

Aplicăm regula produsului:

(f \cdot g)' = f'g + fg'

f = x^3

g = e^x

1 punct

f' = 3x^2

g' = e^x

2 puncte

f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = x^2 e^x(3 + x)

mediuTip Bac Subiectul III.a — chain rule cu logaritm

Calculați

f'(x)

pentru

f(x) = \ln(x^2 + 1)

2 puncte

Funcție compusă:

f = \ln(u)

u = x^2 + 1

. Chain rule:

f'(x) = (\ln u)' \cdot u'

2 puncte

(\ln u)' = \dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{x^2+1}

, iar

u' = 2x

1 punct

f'(x) = \dfrac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}

mediuTip Bac Subiectul III.a — regula câtului

Calculați

f'(x)

pentru

f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}

2 puncte

Regula câtului cu

u = \sin x

v = 1 + \cos x

f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

1 punct

u' = \cos x

v' = -\sin x

1 punct

f'(x) = \dfrac{\cos x(1+\cos x) + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2}

1 punct

Deoarece

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

f'(x) = \dfrac{1 + \cos x}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1}{1+\cos x}

greuTip Bac Subiectul III — compunere multiplă

Calculați

f'(x)

pentru

f(x) = e^{\sin(2x)}

2 puncte

Avem o triplă compunere:

e^u

u = \sin v

v = 2x

. Aplicăm chain rule de două ori.

1 punct

(e^u)' = e^u

(\sin v)' = \cos v

(2x)' = 2

2 puncte

f'(x) = e^{\sin(2x)} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \cdot e^{\sin(2x)}

Derivate de ordin superior — derivata a doua și aplicații

Derivata a doua:

f''(x) = (f'(x))'

— derivata derivatei. Derivata de ordin $n$ :

f^{(n)}(x) = \bigl(f^{(n-1)}(x)\bigr)'

. Notații:

f''

f^{(2)}

\dfrac{d^2f}{dx^2}

pentru a doua;

f^{(n)}

pentru ordinul

n

. Semnificația derivatei a doua:

$f''(x_0) > 0$ — graficul este convex (concavitate în sus) în vecinătatea lui $x_0$ .
$f''(x_0) < 0$ — graficul este concav (concavitate în jos) în vecinătatea lui $x_0$ .
$f''(x_0) = 0$ — posibil punct de inflexiune (dacă $f''$ schimbă semnul).

La Bac: Derivata a doua apare la demonstrarea convexității/concavității și la aflarea punctelor de inflexiune (Subiectul III, punct b sau c).

usorTip Bac Subiectul III.a

Calculați

f''(x)

pentru

f(x) = x^4 - 2x^2 + 5

2 puncte

f'(x) = 4x^3 - 4x

3 puncte

f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4

mediuTip Bac Subiectul III — derivata a doua cu produs

Calculați

f''(x)

pentru

f(x) = x \cdot e^x

2 puncte

f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1)e^x

(regula produsului).

3 puncte

f''(x) = 1 \cdot e^x + (x+1) \cdot e^x = (x + 2)e^x

(din nou regula produsului).

Ecuația tangentei la graficul unei funcții

Ecuația tangentei la graficul funcției

f

în punctul de abscisă

x_0

este:

y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Pași de rezolvare:

Se calculează $f(x_0)$ — ordonata punctului de tangență.
Se calculează $f'(x)$ și apoi $f'(x_0)$ — panta tangentei.
Se înlocuiesc în formulă.

Cazuri speciale:

Tangentă orizontală: $f'(x_0) = 0$ $\Rightarrow$ $y = f(x_0)$ (dreaptă paralelă cu $Ox$ ).
Tangentă cu panta $m$ dată: se rezolvă ecuația $f'(x_0) = m$ .

La Bac: Aflarea ecuației tangentei apare frecvent ca punct a) sau b) la Subiectul III.

usorTip Bac Subiectul III.a

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției

f(x) = x^3 - 2x + 1

în punctul de abscisă

x_0 = 1

2 puncte

f(1) = 1 - 2 + 1 = 0

, deci punctul de tangență este

(1, 0)

2 puncte

f'(x) = 3x^2 - 2

, deci

f'(1) = 3 - 2 = 1

1 punct

Ecuația tangentei:

y = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1

mediuTip Bac Subiectul III.b

Determinați punctele de pe graficul funcției

f(x) = x^3 - 3x

în care tangenta este orizontală.

2 puncte

f'(x) = 3x^2 - 3

. Tangenta este orizontală când

f'(x) = 0

2 puncte

3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x \in \{-1, 1\}

1 punct

f(-1) = -1 + 3 = 2

f(1) = 1 - 3 = -2

. Punctele sunt

(-1, 2)

și

(1, -2)

Greșeli frecvente la derivare — cele mai pierdute puncte la Bac

✗

(\sin(x^2))' = \cos(x^2)

✓

(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot 2x

(chain rule!)

Când ai o funcție compusă, înmulțești cu derivata funcției interioare. Uitarea chain rule este cel mai frecvent tip de eroare la Bac.

✗

(f \cdot g)' = f' \cdot g'

✓

(f \cdot g)' = f'g + fg'

Regula produsului are doi termeni. Nu se derivează fiecare factor independent — aceasta este o confuzie foarte răspândită.

✗

(e^{x^2})' = e^{x^2}

✓

(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x

Chain rule se aplică și la exponențiale compuse. Formula

(e^x)' = e^x

este valabilă doar când exponentul este exact

x

✗

(\ln 5x)' = \dfrac{1}{5x}

✓

(\ln 5x)' = \dfrac{1}{5x} \cdot 5 = \dfrac{1}{x}

Chain rule cu

u = 5x

u' = 5

. Alternativ:

\ln 5x = \ln 5 + \ln x

, deci derivata este

1/x

✗

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'}{g'}

✓

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}

Regula câtului nu este raportul derivatelor. Este o formulă cu structură „numărător derivat ori numitor minus numărător ori numitor derivat, totul pe numitor la pătrat".

✗

(\cos x)' = \sin x

✓

(\cos x)' = -\sin x

Semnul minus este esențial. Memorează: sinusul derivează cu plus, cosinusul derivează cu minus.

Strategii pentru derivate la examenul de Bacalaureat

Identifică tipul de funcție înainte de a deriva: (1) Sumă/diferență — derivezi termen cu termen. (2) Produs — regula Leibniz. (3) Cât — regula câtului. (4) Compunere — chain rule. La Bac, funcțiile sunt frecvent combinații ale acestor tipuri. Scrie pe ciornă structura funcției înainte de a calcula.

Chain rule — verificare rapidă: Dacă ai

f(g(x))

, scrie

u = g(x)

, derivează

f(u)

față de

u

, înmulțește cu

u'

. Formulele

(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)

și

(\ln(f(x)))' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}

apar în aproape fiecare subiect.

Simplificați întotdeauna rezultatul: Examinatorii se așteaptă la forma simplificată. Scoateți factorii comuni (ex:

x^2 e^x(3 + x)

în loc de

3x^2 e^x + x^3 e^x

), reduceți fracțiile, factorizați. Punctele de la „formă finală" se pierd dacă lăsați expresia nesimplificată.

Verificare prin substituție: După ce calculați

f'(x)

, înlocuiți o valoare simplă (ex:

x = 0

x = 1

) atât în rezultat, cât și estimativ din funcția originală. Dacă panta pare rezonabilă, probabil derivata este corectă.

Atenție la domeniul de definiție: Dacă funcția conține

\ln

\sqrt{}

sau fracții, precizați domeniul pe care derivata este valabilă. Examinatorii acordă puncte pentru acest detaliu, în special la Subiectul III punct a).

Formularul complet al derivatelor — sinteză pentru Bac

Constanta

(c)' = 0

Orice constantă derivează la 0.

Putere

(x^n)' = n x^{n-1}

Valabil pentru orice

n

real.

Exponențiala naturală

(e^x)' = e^x

Singura funcție egală cu propria derivată.

Exponențiala în baza a

(a^x)' = a^x \ln a

a=e

\ln e = 1

Logaritmul natural

(\ln x)' = \dfrac{1}{x}

Doar pentru

x > 0

Logaritmul în baza a

(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}

Generalizare a logaritmului natural.

Sinus

(\sin x)' = \cos x

Argument în radiani.

Cosinus

(\cos x)' = -\sin x

Atenție la semnul minus.

Tangenta

(\operatorname{tg}\, x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}

Notație românească pentru tangentă.

Produs (Leibniz)

(fg)' = f'g + fg'

Doi termeni — nu un singur produs.

Cât

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}

Numărătorul derivat ori numitorul minus numărătorul ori numitorul derivat.

Chain rule

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Derivata exteriorului în interior, înmulțită cu derivata interiorului.

Putere compusă

((g(x))^n)' = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)

Caz particular foarte frecvent al chain rule.

Exponențială compusă

(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)

Apare în aproape fiecare subiect de Bac.

Logaritm compus

(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}

Derivata logaritmică — utilă și pentru demonstrații de inegalități.

Capitole inrudite

Aplicații ale derivatelor Monotonie și convexitate Continuitate Studiul funcțiilor

Exerciteaza 178 probleme de Derivate

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 319 grile de Derivate

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.