Clasa 11Analiză

Studiul funcțiilor — Teorie, Formule si Exemple

Studiul complet al funcțiilor este cea mai importantă temă din programa de Matematică M1, clasa a 11-a și piesa centrală a Subiectului III de la Bacalaureat — cel mai valoros subiect, cu 30 de puncte (format a+b+c, de obicei 10+10+10 sau 5+10+15). Apare în fiecare sesiune, fără excepție. Presupune un algoritm fix: domeniu, limite, asimptote, derivata întâi (monotonie, extreme), derivata a doua (convexitate, inflexiuni), tabel de variație și grafic. Cine stăpânește acest algoritm pas cu pas obține punctaj maxim indiferent de funcția aleasă de examinatori. Pe această pagină găsești checklist-ul complet, exemple rezolvate integral și cele mai frecvente capcane din subiectele de Bac.

Algoritmul complet al studiului unei funcții — ordinea de la Bac

Pasul 1. Domeniul de definiție $D_f$ Exclud: numitorul = 0, argument negativ sub radical de indice par, argument

\leq 0

sub

\ln

\log

. Pasul 2. Paritate (dacă se cere)

$f(-x) = f(x)$ → funcție pară (grafic simetric față de $Oy$ )
$f(-x) = -f(x)$ → funcție impară (grafic simetric față de origine)

Pasul 3. Intersecțiile cu axele de coordonate

Cu $Oy$ : calculez $f(0)$ (dacă $0 \in D_f$ )
Cu $Ox$ : rezolv ecuația $f(x) = 0$

Pasul 4. Limitele la capetele domeniului și în punctele de discontinuitate Pasul 5. Asimptotele graficului

Verticale: în punctele de pe frontiera domeniului unde $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$
Orizontale: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ → asimptota $y = L$
Oblice: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ , apoi $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$ → asimptota $y = mx + n$

Pasul 6. Prima derivată $f'(x)$ — monotonie și extreme Calculez

f'

, rezolv

f'(x) = 0

, fac tabelul de semn, identific intervalele de monotonie și extremele locale. Pasul 7. A doua derivată $f''(x)$ — convexitate și inflexiuni Calculez

f''

, rezolv

f''(x) = 0

, fac tabelul de semn, identific convexitatea/concavitatea și punctele de inflexiune. Pasul 8. Tabelul de variație complet Combin

f'

f''

și valorile funcției pe același tabel, cu toate punctele notabile. Pasul 9. Reprezentarea grafică Marchez: intersecțiile cu axele, extremele, asimptotele (linie punctată), punctele de inflexiune, și comportamentul la capetele domeniului.

usorExercițiu de încălzire

Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției

f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}

2 puncte

Domeniu:

x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

. Deci

D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}

2 puncte

Asimptote verticale:

\lim_{x \to 2^{\pm}} \dfrac{x^2}{x^2-4} = \pm\infty

și

\lim_{x \to -2^{\pm}} \dfrac{x^2}{x^2-4} = \pm\infty

. Deci

x=2

și

x=-2

sunt asimptote verticale.

2 puncte

Asimptotă orizontală:

\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x^2}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{1-4/x^2} = 1

. Deci

y = 1

este asimptotă orizontală la ambele ramuri.

mediuExercițiu domeniu + asimptotă oblică

Determinați domeniul și asimptotele funcției

f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}

2 puncte

Domeniu:

x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1

. Deci

D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}

2 puncte

Asimptotă verticală:

\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2+x+1}{x+1}

. Numărătorul în

x=-1

1 - 1 + 1 = 1 \neq 0

. Deci

\lim_{x \to -1^{\pm}} f(x) = \pm\infty

→

x = -1

este asimptotă verticală.

3 puncte

Asimptotă oblică:

m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{x^2+x+1}{x(x+1)} = \lim \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x} = 1

. Apoi

n = \lim_{x \to \infty}[f(x) - x] = \lim \dfrac{x^2+x+1 - x(x+1)}{x+1} = \lim \dfrac{1}{x+1} = 0

. Deci

y = x

este asimptotă oblică.

Prima derivată — cum se determină monotonia și extremele locale

Reguli de derivare frecvente la Bac: | Funcție | Derivată | |---|---| |

x^n

nx^{n-1}

| |

e^x

e^x

| |

\ln x

\dfrac{1}{x}

| |

\sin x

\cos x

| |

\cos x

-\sin x

| |

u \cdot v

u'v + uv'

| |

\dfrac{u}{v}

\dfrac{u'v - uv'}{v^2}

| |

f(g(x))

f'(g(x)) \cdot g'(x)

| Tabelul de semn al primei derivate $f'$ :

$f'(x) > 0$ pe un interval → $f$ este crescătoare pe acel interval
$f'(x) < 0$ pe un interval → $f$ este descrescătoare pe acel interval
$f'(x_0) = 0$ $f^{'} (x_{0}) = 0$ și $f'$ $f^{'}$ schimbă semnul în $x_0$ $x_{0}$ → extrem local:
- Semnul trece din $+$ în $-$ : maxim local în $x_0$
- Semnul trece din $-$ în $+$ : minim local în $x_0$
- $f'$ nu schimbă semnul → $x_0$ nu este extrem (ex: $f(x) = x^3$ în $x_0 = 0$ )

mediuTip Bac — Subiectul III

Fie

f(x) = x^3 - 3x

. Determinați intervalele de monotonie și extremele locale.

2 puncte

Derivata:

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)

. Ecuația

f'(x) = 0

are soluțiile

x = -1

și

x = 1

2 puncte

Tabel de semn: Verific:

f'(-2) = 9 > 0

f'(0) = -3 < 0

f'(2) = 9 > 0

. Deci

f' > 0

(-\infty,-1)

și

(1,+\infty)

;

f' < 0

(-1,1)

2 puncte

Concluzie:

f

crescătoare pe

(-\infty,-1)

, descrescătoare pe

(-1,1)

, crescătoare pe

(1,+\infty)

. Maxim local în

x=-1

f(-1) = -1+3 = 2

. Minim local în

x=1

f(1) = 1-3 = -2

mediuTip Bac — funcție cu exponențială

Fie

f(x) = (x-1)e^x

. Determinați intervalele de monotonie și extremele locale.

2 puncte

Derivata (regula produsului):

f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = e^x(1 + x - 1) = xe^x

2 puncte

Ecuația $f'(x) = 0$ :

xe^x = 0

. Deoarece

e^x > 0

pentru orice

x

, obținem

x = 0

2 puncte

Tabel de semn:

f'(x) = xe^x

are semnul lui

x

. Deci

f' < 0

(-\infty, 0)

→ descrescătoare;

f' > 0

(0, +\infty)

→ crescătoare. Minim local în

x = 0

f(0) = (0-1)e^0 = -1

A doua derivată — convexitate, concavitate și puncte de inflexiune

Tabelul de semn al derivatei a doua $f''$ :

$f''(x) > 0$ pe un interval → $f$ este convexă pe acel interval ( $\cup$ — graficul stă deasupra tangentelor)
$f''(x) < 0$ pe un interval → $f$ este concavă pe acel interval ( $\cap$ — graficul stă sub tangente)

Punct de inflexiune: un punct

x_0

în care

f''

își schimbă semnul.

Condiție necesară: $f''(x_0) = 0$ (sau $f''(x_0)$ nu există)
Condiție suficientă: $f''$ trece din $+$ în $-$ sau din $-$ în $+$ în $x_0$
Atenție: Dacă $f''(x_0) = 0$ dar $f''$ nu schimbă semnul, atunci $x_0$ nu este punct de inflexiune.

Convenția națională la Bac (important!):

$f'' > 0$ → funcție convexă (notată $\cup$ )
$f'' < 0$ → funcție concavă (notată $\cap$ )

Unele manuale internaționale folosesc convenția inversă. La Bac se folosește exclusiv convenția de mai sus.

mediuTip Bac — Subiectul III

Fie

f(x) = x^3 - 3x

. Determinați convexitatea și punctele de inflexiune.

2 puncte

Derivata a doua:

f'(x) = 3x^2 - 3

, deci

f''(x) = 6x

. Ecuația

f''(x) = 0

are soluția

x = 0

2 puncte

Tabel de semn:

f''(x) = 6x < 0

(-\infty, 0)

→

f

concavă (

\cap

);

f''(x) = 6x > 0

(0, +\infty)

→

f

convexă (

\cup

2 puncte

Punct de inflexiune:

f''

schimbă semnul din

-

în

+

în

x=0

, deci

(0, f(0)) = (0, 0)

este punct de inflexiune.

mediuTip Bac — funcție rațională

Fie

f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}

. Determinați punctele de inflexiune.

2 puncte

Prima derivată:

f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

3 puncte

A doua derivată: Derivăm

f'

cu regula câtului. Numărătorul derivatei:

-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2) \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x

. Simplificând prin

(x^2+1)

f''(x) = \dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}

. Ecuația

f''(x) = 0

x = 0

x = \pm\sqrt{3}

2 puncte

Verificare schimbare de semn:

f''

schimbă semnul în toate cele trei puncte. Deci punctele de inflexiune sunt:

(0, 0)

\left(-\sqrt{3}, -\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)

\left(\sqrt{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)

Studiu complet rezolvat pas cu pas — funcții tip Subiectul III de la Bac

Funcțiile cele mai frecvente la Bac (Subiectul III) sunt:

f(x) = xe^{-x}

f(x) = x\ln x

f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}

f(x) = \dfrac{\ln x}{x}

f(x) = x^2 e^{-x}

. Algoritmul de studiu complet se aplică identic la oricare dintre ele. Mai jos sunt două exemple rezolvate integral, cu toate etapele cerute la examen.

greuBac tip Subiectul III — funcție exponențială

Efectuați studiul complet al funcției

f(x) = xe^{-x}

: domeniu, intersecții cu axele, asimptote, monotonie, extreme, convexitate, puncte de inflexiune, tabel de variație.

2 puncte

Domeniu:

D_f = \mathbb{R}

(produsul

x \cdot e^{-x}

este definit pentru orice

x \in \mathbb{R}

). Intersecții: Cu

Oy

f(0) = 0

. Cu

Ox

f(x) = 0 \Rightarrow xe^{-x} = 0 \Rightarrow x = 0

(deoarece

e^{-x} > 0

pentru orice

x

). Deci singura intersecție este originea

(0, 0)

3 puncte

Limite și asimptote:

\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0

(exponențiala crește mai repede decât orice polinom) → asimptotă orizontală

y = 0

+\infty

\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = -\infty

(deoarece

x \to -\infty

și

e^{-x} \to +\infty

) → nicio asimptotă la

-\infty

. Nu există asimptote verticale (funcția este continuă pe

\mathbb{R}

5 puncte

Prima derivată:

f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)

. Ecuația

f'(x) = 0

e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1

(deoarece

e^{-x} \neq 0

). Tabel de semn:

f'(x) > 0

(-\infty, 1)

→

f

crescătoare;

f'(x) < 0

(1, +\infty)

→

f

descrescătoare. Maxim local în

x = 1

f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e}

5 puncte

A doua derivată:

f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(-1+x-1) = e^{-x}(x-2)

. Ecuația

f''(x) = 0

x = 2

. Tabel de semn:

f''(x) < 0

(-\infty, 2)

→

f

concavă (

\cap

);

f''(x) > 0

(2, +\infty)

→

f

convexă (

\cup

). Punct de inflexiune în

(2, 2e^{-2})

, adică

\left(2, \dfrac{2}{e^2}\right)

3 puncte

Tabel de variație complet: Puncte notabile:

x = 1

(maxim),

x = 2

(inflexiune). Pe

(-\infty, 1)

f' > 0

f'' < 0

→

f

crescătoare și concavă. Pe

(1, 2)

f' < 0

f'' < 0

→

f

descrescătoare și concavă. Pe

(2, +\infty)

f' < 0

f'' > 0

→

f

descrescătoare și convexă, se apropie de asimptota

y = 0

greuBac tip Subiectul III — funcție logaritmică

Efectuați studiul complet al funcției

f(x) = x\ln x - x

pe domeniul natural: monotonie, extreme, convexitate, asimptote.

2 puncte

Domeniu:

\ln x

impune

x > 0

, deci

D_f = (0, +\infty)

. Intersecția cu $Ox$ :

x\ln x - x = 0 \Rightarrow x(\ln x - 1) = 0

. Deoarece

x > 0

\ln x = 1 \Rightarrow x = e

. Deci intersecția cu

Ox

este

(e, 0)

. Funcția nu intersectează

Oy

(deoarece

0 \notin D_f

3 puncte

Limită la capătul stâng:

\lim_{x \to 0^+} (x\ln x - x) = 0 \cdot (-\infty) - 0

. Folosim

\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0

(limită clasică). Deci

\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 = 0

. La

+\infty

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

. Nu există asimptote orizontale. Verificăm oblică:

m = \lim \dfrac{f(x)}{x} = \lim (\ln x - 1) = +\infty

→ nu există asimptotă oblică.

4 puncte

Prima derivată:

f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x

. Ecuația

f'(x) = 0

\ln x = 0 \Rightarrow x = 1

. Tabel:

f'(x) < 0

(0, 1)

→ descrescătoare;

f'(x) > 0

(1, +\infty)

→ crescătoare. Minim local (și global) în

x = 1

f(1) = 0 - 1 = -1

3 puncte

A doua derivată:

f''(x) = \dfrac{1}{x} > 0

pentru orice

x \in (0, +\infty)

. Deci

f

este convexă (

\cup

) pe tot domeniul. Niciun punct de inflexiune.

greuBac tip Subiectul III — funcție rațională cu asimptotă oblică

Efectuați studiul complet al funcției

f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}

(domeniu, asimptote, monotonie, convexitate).

2 puncte

Domeniu:

x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

, deci

D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}

. Intersecții: Cu

Oy

f(0) = 0

. Cu

Ox

\dfrac{x^2}{x-1} = 0 \Rightarrow x = 0

. Deci intersecția este originea

(0, 0)

4 puncte

Asimptote: Verticală:

\lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2}{x-1} = +\infty

\lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2}{x-1} = -\infty

→

x = 1

asimptotă verticală. Oblică:

m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{x(x-1)} = 1

. Apoi

n = \lim_{x \to \infty} \left[\dfrac{x^2}{x-1} - x\right] = \lim \dfrac{x^2 - x^2 + x}{x-1} = \lim \dfrac{x}{x-1} = 1

. Deci

y = x + 1

este asimptotă oblică.

5 puncte

Prima derivată:

f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}

. Ecuația

f'(x) = 0

x = 0

x = 2

. Numitorul

(x-1)^2 > 0

mereu, deci semnul lui

f'

este dat de

x(x-2)

. Tabel:

f' > 0

(-\infty, 0)

f' < 0

(0, 1) \cup (1, 2)

f' > 0

(2, +\infty)

. Maxim local în

x = 0

f(0) = 0

. Minim local în

x = 2

f(2) = 4

4 puncte

A doua derivată: Derivăm

f'(x) = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}

. Se obține

f''(x) = \dfrac{2}{(x-1)^3}

. Semnul:

f'' > 0

(1, +\infty)

→ convexă;

f'' < 0

(-\infty, 1)

→ concavă. Nu există punct de inflexiune (nu se schimbă semnul într-un punct din domeniu;

x = 1 \notin D_f

Greșeli frecvente la studiul funcțiilor

✗

Caut asimptote verticale fără să fi calculat mai întâi domeniul de definiție

✓Domeniul se determină primul. Asimptotele verticale există doar la punctele de pe frontiera domeniului unde

f \to \pm\infty

Nu poți vorbi de asimptotă verticală în

x = 2

dacă funcția este definită în acel punct (de exemplu,

f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2} = x+2

pentru

x \neq 2

nu are asimptotă verticală — are doar o discontinuitate eliminabilă).

✗

Presupun că funcția are asimptotă orizontală și nu verific asimptota oblică

✓Dacă

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty

, nu există asimptotă orizontală. Trec la verificarea oblicei: calculez

m = \lim \dfrac{f(x)}{x}

și

n = \lim [f(x) - mx]

Funcțiile raționale

\dfrac{P(x)}{Q(x)}

\deg P = \deg Q + 1

au întotdeauna asimptotă oblică (ex:

\dfrac{x^2}{x-1}

\dfrac{x^2+1}{x+2}

). Este o cerință clasică la Bac.

✗

f''(x_0) = 0

implică automat că

x_0

este punct de inflexiune

✓

f''(x_0) = 0

este doar o condiție necesară. Trebuie verificat că

f''

schimbă semnul în

x_0

Contraexemplu clasic:

f(x) = x^4

. Avem

f''(x) = 12x^2

, deci

f''(0) = 0

, dar

f''(x) \geq 0

pentru orice

x

— nu schimbă semnul, deci

x = 0

nu este punct de inflexiune.

✗

La tabelul de variație nu calculez valorile funcției în punctele critice

✓La fiecare punct notabil (

x_0

maxim, minim, inflexiune) calculez coordonata

f(x_0)

și o trec în tabel.

Examinatorul cere coordonate complete. A scrie „maxim în

x = 1

" fără a preciza

f(1) = \dfrac{1}{e}

înseamnă puncte pierdute din barem.

✗

Confund monotonia cu convexitatea — scriu „crescătoare" în loc de „convexă"

✓Monotonia (crescătoare/descrescătoare) este dată de

f'

. Convexitatea (convexă

\cup

/ concavă

\cap

) este dată de

f''

. Sunt proprietăți independente.

O funcție poate fi crescătoare și concavă (ex:

\ln x

(0, +\infty)

) sau descrescătoare și convexă (ex:

e^{-x}

\mathbb{R}

). Cele două derivate dau informații diferite.

Cum să obții punctaj maxim la Subiectul III de la Bac

Subiectul III este cel mai valoros subiect de la Bac. Urmează algoritmul pas cu pas. Chiar dacă blochezi la un punct (ex: asimptota oblică), celelalte cerințe sunt independente și îți aduc puncte separate. Nu sări niciodată peste un pas — scrie tot ce știi.

Tabelul de variație este obligatoriu și valorează puncte. Examinatorul vrea să vadă tabelul complet cu

f'

f''

și valorile lui

f

pe aceeași structură. Fără tabel, pierzi puncte din barem chiar dacă calculele sunt corecte în text.

Graficul trebuie să fie coerent cu tabelul. Marchează toate punctele notabile: intersecțiile cu axele, extremele (cu coordonate), punctele de inflexiune. Desenează asimptotele cu linie punctată și arată clar că graficul se apropie de ele fără a le atinge.

Funcțiile cele mai frecvente la Bac:

xe^{-x}

x\ln x

\dfrac{x^2}{x+1}

\dfrac{\ln x}{x}

x^2 e^{-x}

\dfrac{x^2-1}{x}

. Exersează-le pe toate — derivatele și structura tabelului se repetă de la an la an.

Verificare rapidă a derivatei: După ce calculezi

f'

, verifică într-un punct. Ex: dacă

f(x) = xe^{-x}

și ai obținut

f'(x) = e^{-x}(1-x)

, verifică

f'(0) = 1 \cdot 1 = 1

și estimează

f(0.1) \approx 0.1 \cdot 0.905 = 0.0905 > f(0) = 0

— corect, funcția crește.

Formularul studiului funcțiilor — rezumat de asimptote, monotonie și convexitate

Asimptotă verticală

\lim_{x \to x_0^{\pm}} f(x) = \pm\infty \Rightarrow x = x_0

este asimptotă verticală

Doar la punctele de pe frontiera domeniului (unde funcția nu este definită).

Asimptotă orizontală

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \in \mathbb{R} \Rightarrow y = L

este asimptotă orizontală

Se verifică separat

x \to +\infty

și

x \to -\infty

— pot exista asimptote orizontale diferite.

Asimptotă oblică

m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}

n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]

→ asimptota

y = mx + n

Se caută doar dacă nu există asimptotă orizontală. Dacă

m = 0

și

n

finit, devine orizontală.

Monotonie (prima derivată)

f'(x) > 0 \Rightarrow f

crescătoare;

f'(x) < 0 \Rightarrow f

descrescătoare

Semnul primei derivate pe fiecare interval determină monotonia funcției pe acel interval.

Extreme locale

f'(x_0) = 0

: maxim dacă

f'

trece din

+

în

-

; minim dacă trece din

-

în

+

Schimbarea de semn a lui

f'

în

x_0

decide tipul extremului. Fără schimbare de semn, nu avem extrem.

Convexitate (derivata a doua)

f''(x) > 0 \Rightarrow f

convexă (

\cup

);

f''(x) < 0 \Rightarrow f

concavă (

\cap

)

Semnul derivatei a doua determină convexitatea. Convenția este cea din manualele românești.

Punct de inflexiune

f''(x_0) = 0

și

f''

schimbă semnul în

x_0

→

(x_0, f(x_0))

este punct de inflexiune

Condiția de schimbare a semnului este esențială — fără ea, nu avem inflexiune.

Capitole inrudite

Derivate Asimptote Monotonie și convexitate Aplicații ale derivatelor

Exerciteaza 104 probleme de Studiul funcțiilor

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 239 grile de Studiul funcțiilor

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.