Clasa 10Algebră

Ecuații Logaritmice — Teorie, Formule si Exemple

Ecuațiile logaritmice sunt ecuații în care necunoscuta apare sub semnul logaritmului, studiate în programa de clasa a 10-a ca inversă directă a ecuațiilor exponențiale. La examenul de Bacalaureat Matematică M1, ecuațiile logaritmice apar frecvent la Subiectul I, Exercițiul 3 (5 puncte), alternând cu ecuații exponențiale și iraționale. Elementul critic care face diferența între un punctaj parțial și unul complet: condițiile de existență (C.E.) scrise obligatoriu la începutul rezolvării — fără ele, pierzi minimum 1-2 puncte din barem. Metodele principale sunt: aducerea la aceeași bază, utilizarea proprietăților logaritmilor și substituția de tip pătratic.

Condițiile de existență ale ecuației logaritmice — primul pas obligatoriu

Pentru ca expresia

\log_a f(x)

să fie definită, trebuie îndeplinite simultan:

f(x) > 0 \quad (\text{argumentul este strict pozitiv})

a > 0, \; a \neq 1 \quad (\text{baza este pozitivă și diferită de 1})

Când baza

a

este un număr dat (de exemplu

\log_2

\log_3

), condiția de bază este automat satisfăcută. Atenția cade pe argumentul fiecărui logaritm din ecuație. La Bac, condițiile de existență valorează de obicei 1-2 puncte din barem. Elevii care sar direct la calcule pierd aceste puncte gratuit. Procedura în 5 pași:

Identifică toți logaritmii din ecuație
Scrie C.E.: și impune argument $> 0$ pentru fiecare logaritm
Rezolvă inecuațiile obținute și determină domeniul de valabilitate
Rezolvă ecuația pe acel domeniu
Verifică soluțiile finale cu C.E. și elimină soluțiile false

usorExercițiu de bază

Scrieți condițiile de existență pentru ecuația

\log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3

2 puncte

C.E.: Argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie strict pozitiv:

x - 1 > 0

și

x + 3 > 0

2 puncte

Din

x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

. Din

x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

1 punct

Intersecția: domeniul de valabilitate este

x \in (1, +\infty)

. Orice soluție a ecuației trebuie să satisfacă

x > 1

mediuExercițiu tip Bac

Determinați condițiile de existență pentru ecuația

\lg(x^2 - 4) = \lg(3x - 6)

2 puncte

C.E.:

x^2 - 4 > 0

și

3x - 6 > 0

1 punct

Din

x^2 - 4 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

2 puncte

Din

3x - 6 > 0 \Rightarrow x > 2

. Intersecția:

x \in (2, +\infty)

Rezolvarea prin metoda bazei comune — egalarea argumentelor

Dacă ambii logaritmi au aceeași bază, funcția logaritmică fiind bijectivă, putem egala argumentele:

\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \quad \text{(sub C.E.: } f(x) > 0, \; g(x) > 0\text{)}

Dacă un membru este un număr, transformăm folosind definiția logaritmului:

\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b

Dacă logaritmii au baze diferite, aplicăm formula de schimbare a bazei:

\log_a x = \dfrac{\log_c x}{\log_c a}

și aducem toți logaritmii la o bază comună. Baze frecvente la Bac:

\log_2

\log_3

\lg

(baza 10),

\ln

(baza

e

mediuBac 2024, Subiectul I

Rezolvați ecuația

\log_2(x^2 + 8) = \log_2(8 - 2x)

2 puncte

C.E.:

x^2+8 > 0

(adevărat

\forall x \in \mathbb{R}

) și

8-2x > 0 \Rightarrow x < 4

2 puncte

Aceeași bază (

\log_2

), deci egalăm argumentele:

x^2+8 = 8-2x \Rightarrow x^2+2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0

1 punct

x_1=0

x_2=-2

. Verificare C.E.:

0<4

✓,

-2<4

✓.

S = \{-2,\; 0\}

usorExercițiu standard

Rezolvați ecuația

\log_3(2x + 1) = 2

2 puncte

C.E.:

2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\dfrac{1}{2}

2 puncte

Aplicăm definiția logaritmului:

\log_3(2x+1) = 2 \iff 2x + 1 = 3^2 = 9

1 punct

2x = 8 \Rightarrow x = 4

. Verificare C.E.:

4 > -\dfrac{1}{2}

✓.

S = \{4\}

Simplificarea ecuațiilor cu proprietățile logaritmilor

Proprietățile logaritmilor transformă sume și diferențe de logaritmi într-un singur logaritm, permițând apoi aplicarea metodei bazei comune:

\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y) \quad (\text{suma} \to \text{produs})

\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} \quad (\text{diferența} \to \text{cât})

r \cdot \log_a x = \log_a x^r \quad (\text{factorul} \to \text{exponent})

Atenție importantă: aceste proprietăți sunt valabile doar când argumentele sunt strict pozitive (

x > 0

și

y > 0

) — exact ce garantează condițiile de existență scrise la început. Strategie la Bac: Combini logaritmii din membrul stâng într-unul singur, faci la fel pentru membrul drept, apoi egalezi argumentele.

mediuTip frecvent Bac

Rezolvați ecuația

\log_3(x-1) + \log_3(x+1) = \log_3 8

1 punct

C.E.:

x-1>0

și

x+1>0 \Rightarrow x > 1

2 puncte

Proprietatea produsului:

\log_3[(x-1)(x+1)] = \log_3 8 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 8

1 punct

x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3

. Verificare C.E.:

x=3>1

✓,

x=-3\not>1

✗.

1 punct

S = \{3\}

. Soluția

x = -3

este falsă (nu satisface C.E.).

mediuExercițiu tip Bac

Rezolvați ecuația

\log_2(x+3) - \log_2(x-1) = 2

1 punct

C.E.:

x+3 > 0

și

x-1 > 0 \Rightarrow x > 1

2 puncte

Proprietatea câtului:

\log_2 \dfrac{x+3}{x-1} = 2

. Aplicăm definiția:

\dfrac{x+3}{x-1} = 2^2 = 4

1 punct

x + 3 = 4(x-1) \Rightarrow x + 3 = 4x - 4 \Rightarrow 7 = 3x \Rightarrow x = \dfrac{7}{3}

1 punct

Verificare C.E.:

\dfrac{7}{3} > 1

✓.

S = \left\{\dfrac{7}{3}\right\}

Metoda substituției pentru ecuații de tip pătratic in logaritm

Dacă ecuația conține

\log_a^2 x

(logaritmul ridicat la pătrat) și

\log_a x

(logaritmul simplu), facem substituția:

t = \log_a x

și obținem o ecuație algebrică de gradul al II-lea în

t

. Rezolvăm ecuația pătratică în

t

, apoi revenim la necunoscuta inițială:

\log_a x = t \Rightarrow x = a^t

Verificăm că fiecare soluție

x

satisface C.E. (

x > 0

). Deoarece

a^t > 0

pentru orice

t \in \mathbb{R}

, soluțiile obținute prin revenire sunt automat pozitive. Tipuri de substituții frecvente la Bac:

$t = \lg x$ (logaritm zecimal)
$t = \log_2 x$ sau $t = \log_3 x$ (baze mici)
$t = \ln x$ (logaritm natural — mai rar la Bac)

greuTip frecvent Bac

Rezolvați ecuația

\lg^2 x - \lg x - 2 = 0

2 puncte

C.E.:

x > 0

. Substituție:

t = \lg x

. Ecuația devine:

t^2 - t - 2 = 0

1 punct

Discriminant:

\Delta = 1 + 8 = 9

. Soluții:

t_1 = \dfrac{1+3}{2} = 2

t_2 = \dfrac{1-3}{2} = -1

1 punct

Revenire:

\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100

\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0{,}1

1 punct

Verificare C.E.:

100 > 0

✓,

0{,}1 > 0

✓.

S = \{0{,}1;\; 100\}

greuBac M1, nivel avansat

Rezolvați ecuația

\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0

2 puncte

C.E.:

x > 0

. Substituție:

t = \log_2 x

. Ecuația devine:

t^2 - 3t + 2 = 0

1 punct

Factorizare:

(t - 1)(t - 2) = 0 \Rightarrow t_1 = 1

t_2 = 2

1 punct

Revenire:

\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2

\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4

1 punct

Verificare C.E.:

2 > 0

✓,

4 > 0

✓.

S = \{2;\; 4\}

Ecuații cu logaritmi in baze diferite — formula de schimbare a bazei

Când ecuația conține logaritmi în baze diferite, folosim formula de schimbare a bazei:

\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = \frac{1}{\log_x a}

Cazuri utile frecvente:

\log_a b \cdot \log_b a = 1

\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \cdot \log_a x

Strategia este să aducem toți logaritmii la aceeași bază, apoi să aplicăm metodele cunoscute (egalarea argumentelor sau substituția).

mediuExercițiu tip Bac

Rezolvați ecuația

\log_4 x + \log_2 x = 6

2 puncte

C.E.:

x > 0

. Transformăm

\log_4 x

în baza 2:

\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2 x}{2}

2 puncte

Ecuația devine:

\dfrac{\log_2 x}{2} + \log_2 x = 6 \Rightarrow \dfrac{3}{2} \log_2 x = 6 \Rightarrow \log_2 x = 4

1 punct

x = 2^4 = 16

. Verificare C.E.:

16 > 0

✓.

S = \{16\}

greuExercițiu competiție

Rezolvați ecuația

\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11

2 puncte

C.E.:

x > 0

. Aducem toți logaritmii în baza 2:

\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2}

\log_8 x = \dfrac{\log_2 x}{3}

1 punct

Ecuația devine:

\log_2 x + \dfrac{\log_2 x}{2} + \dfrac{\log_2 x}{3} = 11

. Notăm

t = \log_2 x

1 punct

t + \dfrac{t}{2} + \dfrac{t}{3} = 11 \Rightarrow \dfrac{6t + 3t + 2t}{6} = 11 \Rightarrow \dfrac{11t}{6} = 11 \Rightarrow t = 6

1 punct

\log_2 x = 6 \Rightarrow x = 2^6 = 64

. Verificare:

64 > 0

✓.

S = \{64\}

Greșeli frecvente la ecuațiile logaritmice

✗

Nu scriu condițiile de existență la începutul rezolvării

✓Întotdeauna scriu C.E. la început și verific soluțiile la final

Condițiile de existență valorează 1-2 puncte la Bac. Omiterea lor este pierdere sigură de puncte, chiar dacă rezultatul final este corect.

✗

\log_a(x + y) = \log_a x + \log_a y

✓

\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

(logaritmul PRODUSULUI, nu al sumei!)

Suma de logaritmi provine din PRODUSUL argumentelor, nu din suma lor. Aceasta este cea mai frecventă confuzie la ecuațiile logaritmice.

✗

Accept soluțiile algebrice fără verificare cu C.E.

✓Verific fiecare soluție cu C.E. și elimin soluțiile false

Prin transformări algebrice (ridicare la pătrat, înmulțire) putem introduce soluții parazite care nu satisfac condițiile inițiale. Verificarea este obligatorie.

✗

Confund

\log_a^2 x

(logaritmul la pătrat) cu

\log_a x^2

(logaritmul lui

x^2

)

✓

\log_a^2 x = (\log_a x)^2

, iar

\log_a x^2 = 2 \log_a x

(pentru

x > 0

)

Notația

\log_a^2 x

înseamnă că ridicăm la pătrat REZULTATUL logaritmului, nu argumentul. La Bac, confuzia duce la ecuații complet diferite.

✗

\log_a f(x) > b

0 < a < 1

: scriu

f(x) > a^b

✓Dacă

0 < a < 1

\log_a f(x) > b \iff f(x) < a^b

(sensul inecuației se inversează!)

Funcția logaritmică cu baza subunitară (

0 < a < 1

) este strict descrescătoare, deci sensul inegalității se schimbă la trecerea de la logaritm la argument.

Strategii și sfaturi pentru ecuațiile logaritmice la Bacalaureat

Ecuațiile logaritmice apar la Subiectul I, Exercițiul 3 (5 puncte). Algoritmul standard în 5 pași: (1) scrii C.E. pentru fiecare logaritm, (2) aplici proprietăți pentru a combina logaritmii, (3) ajungi la forma

\log_a A = \log_a B

, (4) rezolvi ecuația

A = B

, (5) verifici soluțiile cu C.E.

Substituția $t = \log_a x$ : Dacă în ecuație apare

\log^2 x

(logaritmul la pătrat), fă substituția imediat. Obții o ecuație de gradul al II-lea în

t

, o rezolvi cu formula discriminantului, apoi revii la

x = a^t

Trucuri de calcul rapid:

\lg 2 \approx 0{,}301

\lg 5 = 1 - \lg 2

\lg 50 = 2 - \lg 2

\lg 25 = 2(1-\lg 2)

. Relația

\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1

apare frecvent la Bac în calcule auxiliare.

Gestionează timpul: La Bac ai aproximativ 5-7 minute pentru acest exercițiu. Scrie C.E. imediat (30 secunde), aplică metoda potrivită (3-4 minute), verifică soluțiile cu C.E. (1 minut). Nu sări peste verificare — acolo se pierd cele mai multe puncte.

Formularul complet al ecuațiilor logaritmice

Condiția de existență

\log_a f(x)

definit

\iff f(x) > 0

a > 0

a \neq 1

Argumentul strict pozitiv, baza pozitivă și diferită de 1. Obligatoriu la fiecare ecuație logaritmică.

Metoda bazei comune

\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)

(sub C.E.)

Funcția logaritmică este bijectivă, deci argumente egale implică valori egale.

Definiția logaritmului

\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b

Trecerea de la formă logaritmică la formă exponențială.

Logaritmul produsului

\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

Suma de logaritmi provine din produsul argumentelor.

Logaritmul câtului

\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

Diferența de logaritmi provine din câtul argumentelor.

Logaritmul puterii

\log_a x^r = r \cdot \log_a x

Exponentul coboară ca factor multiplicativ.

Schimbarea bazei

\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}

Permite trecerea la orice bază convenabilă. Util când ecuația are logaritmi în baze diferite.

Substituția

t = \log_a x \Rightarrow

ecuație algebrică în

t

, revenire:

x = a^t

Util când apare

\log^2 x

și

\log x

în aceeași ecuație.

Capitole inrudite

Logaritmi — definiție și proprietăți Ecuații Exponențiale Domeniul de definiție al funcțiilor Ecuații Iraționale

Exerciteaza 265 probleme de Ecuații Logaritmice

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 241 grile de Ecuații Logaritmice

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații Logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.