Clasa 10Algebră

Domeniul de definiție al funcțiilor — Teorie, Formule si Exemple

Domeniul de definiție al unei funcții reprezintă mulțimea tuturor valorilor

x

pentru care expresia funcției are sens — un capitol esențial din programa de clasa a 10-a (profil Matematică-Informatică). La examenul de Bacalaureat Matematică M1, determinarea domeniului apare ca pas obligatoriu la Subiectul III (studiul complet al funcțiilor) și la condițiile de existență din Subiectul I (ecuații logaritmice, iraționale). Se acordă de obicei 1–2 puncte doar pentru scrierea corectă a domeniului — un câștig sigur dacă stăpânești regulile pentru radical, logaritm și fracție. Mai jos găsești teoria completă, exemple rezolvate pas cu pas și greșelile cele mai frecvente.

Cele patru restricții de domeniu: fracție, radical, logaritm, exponențială

Domeniul de definiție

D_f

al funcției

f

este mulțimea tuturor valorilor

x

din

\mathbb{R}

pentru care

f(x)

este definit. Cele patru restricții principale:

Numitorul unei fracții $\neq 0$ : dacă $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , atunci $Q(x) \neq 0$
Radicalul de ordin par $\sqrt[2n]{g(x)}$ : impune $g(x) \geq 0$
Logaritmul $\log_a g(x)$ : impune $g(x) > 0$ (strict pozitiv, zero exclus)
Exponențiala $a^{g(x)}$ , cu $a > 0$ : nicio restricție asupra lui $g(x)$ , domeniu $\mathbb{R}$

Procedura generală:

Identifică toți „factorii de restricție" din expresia funcției
Scrie inecuațiile (sau ecuațiile) corespunzătoare fiecărui factor
Rezolvă fiecare inecuație separat
Intersectează soluțiile — toate condițiile trebuie satisfăcute simultan

usorExercițiu de bază

Determinați domeniul de definiție al funcției

f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}

5 puncte

Singura restricție este numitorul

\neq 0

x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

5 puncte

Domeniul:

D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)

usorExercițiu de bază

Determinați domeniul de definiție al funcției

f(x) = \dfrac{x+3}{x^2 - 5x + 6}

5 puncte

Restricție: numitorul

\neq 0

. Rezolvăm

x^2 - 5x + 6 = 0

\Delta = 25 - 24 = 1

, deci

x_1 = 2

x_2 = 3

5 puncte

Excludem valorile care anulează numitorul:

D_f = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}

Domeniul funcțiilor iraționale (cu radical de ordin par)

Radical de ordin par

\sqrt{g(x)}

: impune

g(x) \geq 0

(poate fi zero, deoarece

\sqrt{0} = 0

este definit). Radical la numitor

\dfrac{1}{\sqrt{g(x)}}

: impune

g(x) > 0

(strict pozitiv —

\sqrt{0} = 0

ar duce la împărțire la zero). Important: Radicalul de ordin impar (

\sqrt[3]{g(x)}

\sqrt[5]{g(x)}

) nu impune nicio restricție — este definit și pentru numere negative. Tehnica pentru expresii de gradul II sub radical (

\sqrt{ax^2 + bx + c}

Calculezi discriminantul $\Delta = b^2 - 4ac$ și rădăcinile $x_1, x_2$
Construiești tabelul de semn al trinomului
Dacă $a > 0$ și $\Delta > 0$ : expresia $\geq 0$ pe $(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$
Dacă $a < 0$ și $\Delta > 0$ : expresia $\geq 0$ pe $[x_1, x_2]$
Dacă $\Delta < 0$ : expresia are semnul constant al lui $a$ (pozitivă peste tot dacă $a > 0$ ; imposibilă dacă $a < 0$ )

usorExercițiu standard

Determinați domeniul funcției

f(x) = \sqrt{x^2 - x - 2}

4 puncte

Condiție:

x^2 - x - 2 \geq 0

. Rezolvăm ecuația

x^2 - x - 2 = 0

\Delta = 1 + 8 = 9

x_1 = -1

x_2 = 2

6 puncte

Cum

a = 1 > 0

, trinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor:

D_f = (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)

mediuExercițiu de antrenament

Determinați domeniul funcției

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{6 + x - x^2}}

3 puncte

Radicalul este la numitor, deci impunem

6 + x - x^2 > 0

, adică

-x^2 + x + 6 > 0

3 puncte

Rezolvăm

-x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0

\Delta = 1 + 24 = 25

x_1 = -2

x_2 = 3

4 puncte

Cum

a = -1 < 0

, trinomul

-x^2 + x + 6

este pozitiv între rădăcini (strict):

D_f = (-2, 3)

Domeniul funcțiilor logaritmice

Logaritmul

\log_a g(x)

necesită simultan:

Argumentul $g(x) > 0$ (strict pozitiv — $\log_a 0$ nu există)
Baza $a > 0$ și $a \neq 1$ (de obicei baza este un număr fix, nu o expresie în $x$ )

Domeniul funcției

f(x) = \log_a g(x)

este:

D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0\}

Confuzie frecventă: condiția de domeniu este

g(x) > 0

, nu

g(x) > 1

și nu

g(x) \geq 0

. Semnul logaritmului (pozitiv sau negativ) este o altă problemă, complet separată de existența lui. Logaritm natural:

\ln g(x)

— aceeași condiție:

g(x) > 0

. Logaritm cu bază variabilă: Dacă baza depinde de

x

, de exemplu

\log_{h(x)} g(x)

, atunci adăugăm:

h(x) > 0

h(x) \neq 1

și

g(x) > 0

usorExercițiu de bază

Determinați domeniul funcției

f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)

3 puncte

Condiție:

x^2 - 4x + 3 > 0

. Rezolvăm

x^2 - 4x + 3 = 0

\Delta = 16 - 12 = 4

x_1 = 1

x_2 = 3

7 puncte

Cum

a = 1 > 0

, trinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor (strict):

D_f = (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)

mediuTip frecvent BAC

Determinați domeniul funcției

f(x) = \log_2(3 - 2x)

4 puncte

Condiție: argumentul strict pozitiv,

3 - 2x > 0

6 puncte

Rezolvăm:

-2x > -3 \Rightarrow x < \dfrac{3}{2}

. Deci

D_f = \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right)

Funcții cu restricții multiple — intersecția condițiilor de existență

Când funcția conține mai multe tipuri de restricții (de exemplu, un radical și un logaritm, sau o fracție cu radical la numitor), domeniul este intersecția tuturor condițiilor:

D_f = D_1 \cap D_2 \cap \ldots \cap D_n

Tehnica diagramei numerice: Reprezentați toate intervalele pe aceeași axă numerică și identificați zona comună (hașurată de toate condițiile simultan). Pași recomandați:

Listați fiecare restricție separat, cu număr de ordine
Rezolvați fiecare inecuație independent
Trasați toate intervalele pe o axă comună
Citiți intersecția — aceasta este $D_f$

Atenție la fracții sub logaritm:

\log_a\dfrac{P(x)}{Q(x)}

impune

\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0

, ceea ce înseamnă (

P

și

Q

au același semn). Nu uitați că fracția poate fi pozitivă și când ambii sunt negativi.

mediuTip frecvent BAC

Determinați domeniul funcției

f(x) = \sqrt{x^2 - x - 6} + \ln(x + 1)

3 puncte

Condiția 1 (radical):

x^2 - x - 6 \geq 0

. Rădăcini:

x_1 = -2

x_2 = 3

(din

\Delta = 1 + 24 = 25

). Cum

a > 0

: soluție

(-\infty, -2] \cup [3, +\infty)

2 puncte

Condiția 2 (logaritm):

x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1

, adică

(-1, +\infty)

5 puncte

Intersecție:

\bigl((-\infty, -2] \cup [3, +\infty)\bigr) \cap (-1, +\infty) = [3, +\infty)

. Deci

D_f = [3, +\infty)

greuAntrenament avansat

Determinați domeniul funcției

f(x) = \log_2\left(\dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\right)

2 puncte

Condiția logaritmului: argumentul

> 0

, deci

\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1} > 0

2 puncte

Condiția radicalului:

x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2

. De asemenea, numitorul

\neq 0

x \neq 1

6 puncte

Pentru ca fracția să fie strict pozitivă, trebuie

\sqrt{x+2} > 0

(deci

x > -2

, deoarece

\sqrt{0} = 0

) și

x - 1 > 0

(deci

x > 1

). Intersecția tuturor condițiilor:

D_f = (1, +\infty)

mediuExercițiu de sinteză

Determinați domeniul funcției

f(x) = \dfrac{\ln(x - 1)}{\sqrt{5 - x}}

3 puncte

Condiția 1 (logaritm):

x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

3 puncte

Condiția 2 (radical la numitor):

5 - x > 0 \Rightarrow x < 5

(strict, deoarece numitorul nu poate fi zero).

4 puncte

Intersecție:

x > 1

și

x < 5

, deci

D_f = (1, 5)

Domeniul funcțiilor definite pe ramuri (pe intervale)

O funcție definită pe ramuri are forma:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{dacă } x \in A_1 \\ f_2(x), & \text{dacă } x \in A_2 \end{cases}

Domeniul se obține prin reuniunea domeniilor fiecărei ramuri, intersectată cu intervalul pe care ramura este definită:

D_f = (A_1 \cap D_{f_1}) \cup (A_2 \cap D_{f_2})

Atenție: Aici avem reuniune (nu intersecție), deoarece fiecare ramură contribuie independent la domeniul total al funcției.

mediuExercițiu standard

Determinați domeniul funcției

f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geq 0 \\ \dfrac{1}{x+2}, & x < 0 \end{cases}

4 puncte

Ramura 1:

\sqrt{x}

x \geq 0

. Condiția radicalului:

x \geq 0

. Intersecție cu domeniul ramurii:

[0, +\infty)

3 puncte

Ramura 2:

\dfrac{1}{x+2}

x < 0

. Condiția numitorului:

x \neq -2

. Intersecție cu domeniul ramurii:

(-\infty, 0) \setminus \{-2\} = (-\infty, -2) \cup (-2, 0)

3 puncte

Reuniunea ramurilor:

D_f = (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup [0, +\infty) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}

Greșeli frecvente la determinarea domeniului de definiție

✗

\sqrt{g(x)}

se pune condiția

g(x) > 0

(strict pozitiv)

✓

\sqrt{g(x)}

necesită

g(x) \geq 0

(poate fi zero, deoarece

\sqrt{0} = 0

)

Doar logaritmul și radicalul la numitor necesită strict pozitiv. Radicalul simplu acceptă și zero.

✗

\log_a g(x)

se pune condiția

g(x) \geq 0

(cu egal)

✓

\log_a g(x)

necesită

g(x) > 0

(strict pozitiv, fără egal!)

\log_a 0

nu există (tinde la

-\infty

). Condiția este

g(x) > 0

, nu

g(x) \geq 0

✗

Domeniul se obține prin reuniunea condițiilor:

D_f = D_1 \cup D_2

✓Domeniul se obține prin intersecția condițiilor:

D_f = D_1 \cap D_2

(toate simultan!)

Funcția este definită doar unde TOATE restricțiile sunt satisfăcute, nu oricare una. Excepție: funcțiile pe ramuri, unde se face reuniune.

✗

La fracție

\dfrac{P}{Q} > 0

: doar cazul

P > 0

și

Q > 0

✓

\dfrac{P}{Q} > 0 \iff (P > 0

și

Q > 0)

sau

(P < 0

și

Q < 0)

Raportul a două numere de același semn este pozitiv. Nu uitați cazul „ambii negativi".

✗

Confuzia între condițiile

\sqrt{g(x)}

și

\dfrac{1}{\sqrt{g(x)}}

✓

\sqrt{g(x)}

impune

g(x) \geq 0

, dar

\dfrac{1}{\sqrt{g(x)}}

impune

g(x) > 0

La numitor,

\sqrt{g(x)}

trebuie să fie nenulă, deci

g(x)

nu poate fi zero.

Sfaturi pentru examenul de Bacalaureat (M1)

La Subiectul III (studiul complet al funcțiilor), domeniul este primul pas și se acordă 1–2 puncte. Scrieți explicit fiecare condiție, rezolvarea și rezultatul final cu notația de interval — nu săriți pași.

Ordinea de lucru recomandată: (1) identificați toți factorii de restricție (radical, logaritm, numitor), (2) scrieți fiecare inecuație separat cu număr de ordine, (3) rezolvați fiecare, (4) trasați pe axa numerică și citiți intersecția.

La funcții cu logaritm sub radical (ex:

\sqrt{\log_a g(x)}

) aveți două condiții simultane:

g(x) > 0

(pentru logaritm) și

\log_a g(x) \geq 0

(pentru radical). Nu confundați cele două.

Folosiți tabelul de semn pentru trinomul de gradul II sub radical sau logaritm. Nu ghiciți semnul — calculați rădăcinile, construiți tabelul, citiți intervalele. Aceasta vă asigură punctajul complet.

Verificare rapidă: după ce scrieți

D_f

, alegeți un

x

din domeniu și unul din afara lui, și testați mental dacă funcția are sens. Această verificare durează 10 secunde și previne erori de semn.

Tabel sinoptic — domeniul pentru fiecare tip de funcție

Funcție polinomială

f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \Rightarrow D_f = \mathbb{R}

Polinoamele sunt definite pentru orice număr real.

Funcție rațională (fracție)

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \Rightarrow D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}

Excludem valorile care anulează numitorul.

Funcție irațională (radical par)

f(x) = \sqrt{g(x)} \Rightarrow D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) \geq 0\}

Radical de ordin par: argument non-negativ. Zero este permis.

Radical par la numitor

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{g(x)}} \Rightarrow D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0\}

Strict pozitiv: radicalul trebuie să fie nenul deoarece apare la numitor.

Funcție logaritmică

f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0\}

Argument strict pozitiv. Zero este exclus.

Funcție exponențială

f(x) = a^{g(x)},\ a > 0,\ a \neq 1 \Rightarrow D_f = \mathbb{R}

Exponențiala este definită pentru orice exponent real.

Funcții combinate

D_f = D_1 \cap D_2 \cap \ldots \cap D_n

(intersecție, nu reuniune!)

Toate restricțiile trebuie respectate simultan.

Capitole inrudite

Logaritmi Ecuații logaritmice Ecuații iraționale Studiul funcțiilor

Exerciteaza 213 probleme de Domeniul de definiție al funcțiilor

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 318 grile de Domeniul de definiție al funcțiilor

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.