Clasa 10Algebră

Ecuații Exponențiale — Teorie, Formule si Exemple

Ecuațiile exponențiale sunt ecuații în care necunoscuta apare la exponent, de forma

a^{f(x)} = b

, și fac parte din programa de clasa a 10-a. La Bacalaureat Matematica M1, apar aproape în fiecare sesiune la Subiectul I, Ex. 3 (5 puncte). Metoda de bază este aducerea ambilor membri la aceeași bază și egalarea exponenților, iar când ecuația are structura unui polinom în

a^x

, substituția

t = a^x

simplifică totul la o ecuație algebrică obișnuită.

Metoda bazei comune

Funcția exponențială

f(x) = a^x

(cu

a > 0

a \neq 1

) este bijectivă, deci:

a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)

Algoritmul are doi pași: (1) rescrie ambii membri ca puteri ale aceleiași baze, (2) egalează exponenții. Baze uzuale la Bac:

4 = 2^2

8 = 2^3

16 = 2^4

9 = 3^2

27 = 3^3

81 = 3^4

25 = 5^2

125 = 5^3

0{,}25 = 2^{-2}

\dfrac{1}{9} = 3^{-2}

usorExercițiu standard Bac

Rezolvați ecuația

3^{2x-1} = 27

2 puncte

Scriem

27 = 3^3

. Ecuația devine

3^{2x-1} = 3^3

2 puncte

Aceeași bază, deci egalăm exponenții:

2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2

1 punct

Verificare:

3^{4-1} = 3^3 = 27

✓.

S = \{2\}

mediuBac M1, Subiectul I

Rezolvați ecuația

2^{x+1} + 4^x = 2^{x+2} + 8

1 punct

Rescriem:

4^x = (2^2)^x = 2^{2x}

și grupăm:

2^{x+1} - 2^{x+2} + 2^{2x} = 8

2 puncte

2 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x + 2^{2x} = 8 \Rightarrow -2 \cdot 2^x + (2^x)^2 = 8

. Notăm

t = 2^x > 0

1 punct

t^2 - 2t - 8 = 0 \Rightarrow (t-4)(t+2) = 0

. Obținem

t = 4

(acceptat) și

t = -2

(eliminat,

t > 0

1 punct

2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2

S = \{2\}

Metoda substituției

Când ecuația are forma

a^{2x} + p \cdot a^x + q = 0

, observăm că

a^{2x} = (a^x)^2

. Substituția

t = a^x

transformă ecuația într-una algebrică. Condiție obligatorie:

t = a^x > 0

pentru orice

x \in \mathbb{R}

. Orice soluție

t \leq 0

se elimină imediat — nu există

x

real cu

a^x \leq 0

. Pașii metodei:

Identifică $t = a^x$ și exprimi $a^{2x} = t^2$
Rezolvi ecuația algebrică în $t$
Elimini soluțiile $t \leq 0$
Rezolvi $a^x = t$ pentru fiecare $t > 0$ rămas

mediuTip frecvent Bac, Subiectul I

Rezolvați ecuația

4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0

1 punct

Observăm că

4^x = (2^2)^x = (2^x)^2

. Substituție:

t = 2^x > 0

2 puncte

Ecuația devine

t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-4) = 0 \Rightarrow t_1 = 1

t_2 = 4

. Ambele

> 0

✓.

2 puncte

2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0

\quad 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2

S = \{0, 2\}

mediuModel Bac M1

Rezolvați ecuația

9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0

2 puncte

9^x = (3^2)^x = (3^x)^2

. Notăm

t = 3^x > 0

. Ecuația devine

t^2 - 4t + 3 = 0

1 punct

(t-1)(t-3) = 0 \Rightarrow t_1 = 1

t_2 = 3

. Ambele sunt pozitive ✓.

2 puncte

3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0

\quad 3^x = 3 = 3^1 \Rightarrow x = 1

S = \{0, 1\}

Logaritmarea ecuației

Dacă ambii membri nu pot fi aduși la aceeași bază, aplicăm logaritmul pe ambii membri:

a^x = b \Rightarrow x \cdot \lg a = \lg b \Rightarrow x = \frac{\lg b}{\lg a} = \log_a b

Condiție:

b > 0

(exponențiala este mereu pozitivă, deci

b > 0

este automat dacă ecuația are sens). Această metodă apare rar la Bac la clasa a 10-a, dar este necesar de știut pentru probleme cu parametri sau pentru inecuații.

mediuExercițiu de antrenament

Rezolvați ecuația

2^x = 7

2 puncte

Aplicăm

\lg

pe ambii membri:

x \cdot \lg 2 = \lg 7

3 puncte

x = \dfrac{\lg 7}{\lg 2} = \log_2 7 \approx 2{,}807

S = \{\log_2 7\}

mediuExercițiu de antrenament

Rezolvați ecuația

5^{x+1} = 3^{2x}

2 puncte

Logaritmăm ambii membri:

(x+1) \cdot \lg 5 = 2x \cdot \lg 3

2 puncte

x \cdot \lg 5 + \lg 5 = 2x \cdot \lg 3 \Rightarrow x(\lg 5 - 2\lg 3) = -\lg 5

1 punct

x = \dfrac{-\lg 5}{\lg 5 - 2\lg 3} = \dfrac{\lg 5}{2\lg 3 - \lg 5} = \dfrac{\lg 5}{\lg 9 - \lg 5} = \dfrac{\lg 5}{\lg \frac{9}{5}}

S = \left\{\dfrac{\lg 5}{\lg \frac{9}{5}}\right\}

Inecuații exponențiale

La inecuații, monotonia funcției exponențiale determină sensul inegalității:

$a > 1$ (funcție crescătoare): $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ — sensul se păstrează
$0 < a < 1$ (funcție descrescătoare): $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ — sensul se inversează

Greșeala clasică: la baze subunitare (ex:

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

), elevii uită să inverseze inegalitatea.

greuAntrenament M1

Rezolvați inecuația

\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2-4} > 9^{1-x}

1 punct

Scriem totul în baza 3:

3^{-(x^2-4)} > 3^{2(1-x)}

, adică

3^{-x^2+4} > 3^{2-2x}

1 punct

Baza

3 > 1

, deci funcția e crescătoare și ordinea se păstrează:

-x^2+4 > 2-2x

2 puncte

-x^2+4 > 2-2x \Rightarrow -x^2+2x+2 > 0 \Rightarrow x^2-2x-2 < 0

\Delta = 4+8=12

x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{3}

1 punct

Deoarece

a = 1 > 0

și inegalitatea e strictă:

S = (1-\sqrt{3},\; 1+\sqrt{3})

mediuTip Bac, Subiectul I

Rezolvați inecuația

2^{3x-1} \leq 16

2 puncte

Scriem

16 = 2^4

. Inecuația devine

2^{3x-1} \leq 2^4

1 punct

Baza

2 > 1

(funcție crescătoare), deci ordinea se păstrează:

3x - 1 \leq 4

2 puncte

3x \leq 5 \Rightarrow x \leq \dfrac{5}{3}

S = \left(-\infty,\; \dfrac{5}{3}\right]

Greșeli frecvente

✗

La substituție, accept

t = 0

t < 0

ca soluție validă

✓

t = a^x > 0

întotdeauna. Orice soluție

t \leq 0

a ecuației în

t

se elimină

Nu există

x \in \mathbb{R}

a^x \leq 0

. Soluțiile negative sau zero în

t

nu corespund niciunui

x

real.

✗

La inecuație cu

a = \frac{1}{2}

: păstrez sensul inegalității

✓La

0 < a < 1

funcția e descrescătoare, deci sensul se inversează

(1/2)^3 = 1/8 < 1/4 = (1/2)^2

, deci exponentul mai mare dă valoare mai mică.

✗

2^x = 0

are soluție

x \to -\infty

✓

2^x > 0

pentru orice

x \in \mathbb{R}

; ecuația

a^x = 0

nu are soluție reală

Exponențiala este strict pozitivă pe toată dreapta reală.

a^x = 0

nu are soluție.

✗

2^{3x} - 2^x = 2^{2x}

(prin simplificarea greșită)

✓

2^{3x} - 2^x

nu se simplifică direct; factorizăm:

2^x(2^{2x} - 1)

Puterile aceleași baze se adună/scad prin factorizare, nu prin scăderea exponenților.

Ecuații exponențiale la examenul de Bac

Ecuațiile exponențiale apar la Subiectul I, Ex. 3 (5 puncte). Tipuri frecvente: aducere la aceeași bază, substituție

t = 2^x

t = 3^x

, uneori inecuații cu baze subunitare.

Baze de memorat:

4=2^2

8=2^3

16=2^4

9=3^2

27=3^3

81=3^4

25=5^2

125=5^3

. La Bac, ecuația se rezolvă în 2-3 minute dacă identifici baza corect.

Algoritmul pentru substituție: (1) identifică

t = a^x

, (2) rescrie ecuația în

t

, (3) rezolvă ecuația algebrică, (4) elimini

t \leq 0

, (5) rezolvi

a^x = t

pentru fiecare

t > 0

valid.

Toate formulele pe scurt

Proprietatea fundamentală

a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)

, pentru

a > 0

a \neq 1

Funcția exponențială este bijectivă, egalitatea exponenților este necesară și suficientă.

Substituție standard

t = a^x > 0

, deci

a^{2x} = t^2

Reducere la ecuație algebrică. Orice

t \leq 0

se elimină.

Echivalență logaritmică

a^x = b \iff x = \log_a b

(pentru

b > 0

)

Legătura directă între exponențială și logaritm.

Inecuație,

a > 1

a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)

Funcție crescătoare: ordinea se păstrează.

Inecuație,

0 < a < 1

a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)

Funcție descrescătoare: ordinea se inversează.

Legi de calcul cu puteri

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

\quad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

\quad (a^m)^n = a^{mn}

Esențiale pentru aducerea la aceeași bază.

Capitole inrudite

Logaritmi Ecuații Logaritmice Domeniul de definiție al funcțiilor Funcția de gradul al II-lea

Exerciteaza 212 probleme de Ecuații Exponențiale

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 283 grile de Ecuații Exponențiale

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații Exponențiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.