Clasa 11Algebră

Matrici — Teorie, Formule si Exemple

Matricele sunt tablouri dreptunghiulare de numere pe care le poți aduna, înmulți și inversa — un capitol fundamental din programa de clasa a 11-a, Matematică M1. La examenul de Bacalaureat, operațiile cu matrice apar în mod constant la Subiectul II (care valorează 30 de puncte în total), de obicei combinate cu determinanți și sisteme de ecuații liniare. Cerințe tipice la BAC: calculul puterii AnA^n, găsirea inversei A1A^{-1}, rezolvarea ecuațiilor matriceale de forma AX+B=CAX + B = C sau demonstrarea unor proprietăți algebrice. Cel mai important lucru de reținut: înmulțirea matricelor nu este comutativă (ABBAA \cdot B \neq B \cdot A în general) — aceasta este cea mai frecventă sursă de greșeli și de pierdere de puncte la BAC.

Definiția matricei și tipuri speciale de matrice

O matrice de tip m×nm \times n este un tablou dreptunghiular cu mm linii și nn coloane. Notația Mm,n(R)\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}) desemnează mulțimea tuturor matricelor cu mm linii, nn coloane și elemente din R\mathbb{R}. Elementul de pe linia ii, coloana jj se notează aija_{ij}: A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)Mm,n(R)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}) Tipuri speciale de matrice:
  • Matrice pătrată (de ordin nn): m=nm = n — singura care are determinant și poate fi inversabilă
  • Matrice nulă Om,nO_{m,n}: toate elementele sunt 00 — element neutru la adunare
  • Matrice unitate InI_n: are 11 pe diagonala principală și 00 în rest — joacă rolul lui „1" la înmulțire (AIn=InA=AA \cdot I_n = I_n \cdot A = A)
  • Matrice diagonală: aij=0a_{ij} = 0 pentru iji \neq j — ușor de ridicat la putere
  • Matrice triunghiulară (superioară/inferioară): toate elementele de sub/deasupra diagonalei principale sunt 00
  • Matrice simetrică: AT=AA^T = A, adică aij=ajia_{ij} = a_{ji} pentru orice i,ji, j
  • Matrice antisimetrică: AT=AA^T = -A, adică aij=ajia_{ij} = -a_{ji} (elementele de pe diagonală sunt 00)
usorExercițiu de bază
Fie A=(123456)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}. Identificați tipul matricei și elementele a12a_{12} și a23a_{23}.
1
2 puncte
Matricea AA are 2 linii și 3 coloane, deci este de tip 2×32 \times 3, adică AM2,3(R)A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}). Nu este pătrată (deoarece 232 \neq 3).
2
1 punct
Elementul a12a_{12} se află pe linia 1, coloana 2: a12=2a_{12} = 2.
3
1 punct
Elementul a23a_{23} se află pe linia 2, coloana 3: a23=6a_{23} = 6.
usorExercițiu de bază
Scrieți matricea unitate I3I_3 și verificați că este simetrică.
1
2 puncte
I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} — are 11 pe diagonala principală și 00 în rest.
2
2 puncte
Verificăm: I3T=I3I_3^T = I_3 (transpunerea nu schimbă nimic, deoarece aij=ajia_{ij} = a_{ji} pentru orice i,ji, j). Deci I3I_3 este simetrică.

Adunarea, înmulțirea și transpusa matricelor

Adunarea și scăderea — posibilă doar pentru matrice de același tip (m×n)(m \times n): se adună/scad elementele de pe aceeași poziție: (A+B)ij=aij+bij(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. Înmulțirea cu un scalar λR\lambda \in \mathbb{R}: fiecare element se înmulțește cu λ\lambda: (λA)ij=λaij(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}. Transpusa ATA^T: se obține schimbând liniile cu coloanele — (AT)ij=aji(A^T)_{ij} = a_{ji}. Dacă AA este m×nm \times n, atunci ATA^T este n×mn \times m. Înmulțirea ABA \cdot B: posibilă doar dacă numărul de coloane ale lui AA este egal cu numărul de linii ale lui BB. Dacă AA este m×pm \times p și BB este p×np \times n, atunci C=ABC = A \cdot B este m×nm \times n: (C)ij=k=1paikbkj(C)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj} Proprietăți esențiale ale operațiilor:
  • A+B=B+AA + B = B + A (adunarea este comutativă)
  • ABBAA \cdot B \neq B \cdot A în general (înmulțirea NU este comutativă!)
  • (AB)C=A(BC)(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) (asociativitate)
  • A(B+C)=AB+ACA \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C (distributivitate la stânga)
  • (B+C)A=BA+CA(B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A (distributivitate la dreapta)
  • AIn=InA=AA \cdot I_n = I_n \cdot A = A (element neutru)
  • (AB)T=BTAT(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T (ordinea se inversează la transpusă)
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T
usorTip BAC — Subiectul II
Calculați ABA \cdot B și BAB \cdot A, unde A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
1
1 punct
AA este 2×22 \times 2 și BB este 2×22 \times 2, deci ambele produse sunt definite și rezultatul este 2×22 \times 2.
2
3 puncte
ABA \cdot B: c11=10+21=2c_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2, c12=11+20=1c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1, c21=30+41=4c_{21} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4, c22=31+40=3c_{22} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3. Deci AB=(2143)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}.
3
3 puncte
BAB \cdot A: c11=01+13=3c_{11} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 3, c12=02+14=4c_{12} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 4, c21=11+03=1c_{21} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 = 1, c22=12+04=2c_{22} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 = 2. Deci BA=(3412)B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
4
1 punct
Concluzie: ABBAA \cdot B \neq B \cdot Aînmulțirea matricelor nu este comutativă!
mediuTip BAC — Subiectul II
Fie A=(1123)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. Calculați A+ATA + A^T și arătați că rezultatul este o matrice simetrică.
1
2 puncte
Calculăm AT=(1213)A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} (liniile devin coloane).
2
3 puncte
A+AT=(1+11+22+(1)3+3)=(2116)A + A^T = \begin{pmatrix} 1+1 & -1+2 \\ 2+(-1) & 3+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}.
3
3 puncte
Fie S=A+ATS = A + A^T. Atunci ST=(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=SS^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = S. Deci SS este simetrică. Acest rezultat este valabil pentru orice matrice AA: suma A+ATA + A^T este întotdeauna simetrică.

Matricea inversă — condiție de existență și formula pentru matrice de ordin 2

Matricea AA (pătrată, de ordin nn) este inversabilă dacă există A1A^{-1} cu proprietatea AA1=A1A=InA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n. Condiție necesară și suficientă: AA este inversabilă     detA0\iff \det A \neq 0. Formula pentru matrice 2×22 \times 2: dacă A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} cu detA=adbc0\det A = ad - bc \neq 0: A1=1detA(dbca)A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} Mnemonic în 3 pași: (1) swap elementele de pe diagonala principală (ada \leftrightarrow d), (2) schimbă semnul elementelor de pe diagonala secundară (bbb \to -b, ccc \to -c), (3) împarte totul la detA\det A. Formula generală (pentru matrice n×nn \times n): A1=1detAAA^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^{*}, unde AA^{*} este transpusa matricei adjuncte (matricea cofactorilor transpusă). Proprietăți ale inversei:
  • (A1)1=A(A^{-1})^{-1} = A
  • (AB)1=B1A1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} (ordinea se inversează!)
  • (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
  • (λA)1=1λA1(\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda} A^{-1}, pentru λ0\lambda \neq 0
  • det(A1)=1detA\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}
mediuBAC — Subiectul II
Găsiți A1A^{-1}, unde A=(2312)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, și verificați că AA1=I2A \cdot A^{-1} = I_2.
1
3 puncte
detA=2231=43=10\det A = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1 \neq 0, deci AA este inversabilă.
2
3 puncte
Aplicăm formula: A1=11(2312)=(2312)A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
3
2 puncte
Verificare: AA1=(2312)(2312)=(436+6223+4)=(1001)=I2A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
mediuBAC — Subiectul II
Fie A=(3512)A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Calculați (AT)1(A^T)^{-1}.
1
2 puncte
detA=3251=65=10\det A = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1 \neq 0.
2
3 puncte
Calculăm A1=11(2513)=(2513)A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
3
3 puncte
Folosim proprietatea (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T. Deci (AT)1=(2153)(A^T)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}.

Ridicarea la putere a unei matrice pătrate

Puterile unei matrice pătrate AA de ordin nn:
  • A0=InA^0 = I_n (prin convenție)
  • An=AAAn oriA^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n \text{ ori}}
  • An=(A1)nA^{-n} = (A^{-1})^n (dacă AA este inversabilă)
  • Am+n=AmAnA^{m+n} = A^m \cdot A^n și Amn=(Am)nA^{mn} = (A^m)^n
Strategia pentru calculul puterilor mari (favorizată la BAC):
  1. Calculează A1,A2,A3A^1, A^2, A^3 și caută un pattern (de obicei, elementele urmează o formulă simplă funcție de exponent)
  2. Formulează o conjectură pentru AnA^n
  3. Demonstrează prin inducție matematică (dacă se cere demonstrație)
Cazuri speciale utile:
  • Dacă Ak=InA^k = I_n pentru un kk mic, atunci An=AnmodkA^n = A^{n \bmod k} (matricea este „periodică")
  • Dacă A=In+BA = I_n + B unde B2=OB^2 = O, atunci An=In+nBA^n = I_n + nB (formula binomului se simplifică)
  • Matricele diagonale se ridică la putere element cu element: diag(d1,d2)n=diag(d1n,d2n)\text{diag}(d_1, d_2)^n = \text{diag}(d_1^n, d_2^n)
mediuBAC — Subiectul II
Calculați A10A^{10}, unde A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
1
2 puncte
Calculăm A2=AA=(1201)(1201)=(1401)A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
2
2 puncte
Calculăm A3=A2A=(1401)(1201)=(1601)A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
3
3 puncte
Observăm pattern-ul: An=(12n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (se poate demonstra prin inducție). Aceasta este o matrice de forma I2+nBI_2 + nB cu B=(0200)B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B2=O2B^2 = O_2.
4
1 punct
Deci A10=(12001)A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
greuBAC — Subiectul II
Fie A=(0110)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Calculați A2026A^{2026}.
1
3 puncte
A2=(0110)(0110)=(1001)=I2A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2.
2
3 puncte
A4=(A2)2=(I2)2=I2A^4 = (A^2)^2 = (-I_2)^2 = I_2. Deci matricea are perioada 4: An=Anmod4A^n = A^{n \bmod 4}.
3
2 puncte
2026=4506+22026 = 4 \cdot 506 + 2, deci A2026=A2=I2=(1001)A^{2026} = A^2 = -I_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuații matriceale sunt ecuații în care necunoscuta XX este o matrice. Rezolvarea presupune utilizarea inversei. Tipuri fundamentale:
  • AX=BX=A1BA \cdot X = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B (înmulțim la stânga cu A1A^{-1})
  • XA=BX=BA1X \cdot A = B \Rightarrow X = B \cdot A^{-1} (înmulțim la dreapta cu A1A^{-1})
  • AXB=CX=A1CB1A \cdot X \cdot B = C \Rightarrow X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} (înmulțim la stânga cu A1A^{-1} și la dreapta cu B1B^{-1})
Ordinea contează! A1BBA1A^{-1} \cdot B \neq B \cdot A^{-1} în general. Regula: inversa vine din aceeași parte din care se află matricea cunoscută (dacă AA este la stânga lui XX, A1A^{-1} vine tot la stânga, dar la stânga lui BB). Ecuații mai complexe (frecvente la BAC):
  • AX+B=CAX=CBX=A1(CB)A \cdot X + B = C \Rightarrow A \cdot X = C - B \Rightarrow X = A^{-1}(C - B)
  • XA=X+BXAX=BX(AIn)=BX=B(AIn)1X \cdot A = X + B \Rightarrow X \cdot A - X = B \Rightarrow X(A - I_n) = B \Rightarrow X = B \cdot (A - I_n)^{-1}
Trucul este să izolezi termenul cu XX (ca la ecuații algebrice) și apoi să aplici inversa.
mediuBAC — Subiectul II
Fie A=(2132)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}. Rezolvați ecuația matriceală AX=I2A \cdot X = I_2.
1
2 puncte
detA=2213=43=10\det A = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1 \neq 0, deci AA este inversabilă.
2
3 puncte
A1=11(2132)=(2132)A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.
3
2 puncte
Din AX=I2A \cdot X = I_2 rezultă X=A1I2=A1=(2132)X = A^{-1} \cdot I_2 = A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.
greuBAC — Subiectul II
Fie A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(3503)B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. Rezolvați ecuația AX+X=BA \cdot X + X = B.
1
3 puncte
Dăm factor comun pe XX la stânga: AX+I2X=BA \cdot X + I_2 \cdot X = B, adică (A+I2)X=B(A + I_2) \cdot X = B.
2
3 puncte
A+I2=(2102)A + I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. det(A+I2)=40=40\det(A + I_2) = 4 - 0 = 4 \neq 0, deci (A+I2)1=14(2102)(A + I_2)^{-1} = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
3
3 puncte
X=(A+I2)1B=14(2102)(3503)=14(6706)=(3274032)X = (A + I_2)^{-1} \cdot B = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.

Greșeli frecvente la operații cu matrice

AB=BAA \cdot B = B \cdot A (tratez înmulțirea matricelor ca pe cea a numerelor reale)
În general ABBAA \cdot B \neq B \cdot A. Există excepții (ex: AI=IAA \cdot I = I \cdot A, sau dacă una din matrice este scalară λIn\lambda I_n) dar sunt cazuri speciale.
Necomutativitatea este proprietatea fundamentală care diferențiază calculul matriceal de cel cu numere reale. Verifică întotdeauna dacă poți comuta doi factori înainte de a o face.
(AB)1=A1B1(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}
(AB)1=B1A1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} — ordinea se inversează!
Se verifică ușor: (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AInA1=AA1=In(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AI_nA^{-1} = AA^{-1} = I_n. Gândește-te la analogia cu „dezbrăcatul": ce ai pus ultimul, scoți primul.
La AX=BA \cdot X = B scriu X=BA1X = B \cdot A^{-1} (înmulțesc la dreapta în loc de stânga)
La AX=BA \cdot X = B: înmulțesc la stânga cu A1A^{-1}, obțin X=A1BX = A^{-1} \cdot B.
Dacă AA este la stânga lui XX, inversa vine la stânga lui BB. La XA=BX \cdot A = B: inversa vine la dreapta, X=BA1X = B \cdot A^{-1}. Regula: simplific din aceeași parte.
Calculez A1A^{-1} fără să verific mai întâi că detA0\det A \neq 0
Primul pas obligatoriu la orice inversă: calculez detA\det A. Dacă detA=0\det A = 0, inversa nu există.
Dacă detA=0\det A = 0, matricea este singulară (neinversabilă) și ecuația matriceală trebuie tratată altfel (poate să nu aibă soluții sau să aibă infinitate de soluții).
Confund A2A^2 cu ridicarea la pătrat a fiecărui element: A2(aij2)A^2 \neq (a_{ij}^2)
A2=AAA^2 = A \cdot A (produsul matriceal al lui AA cu el însuși), NU matricea cu elementele ridicate la pătrat.
De exemplu, (1101)2=(1201)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, nu (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Strategii și sfaturi pentru matrici la examenul de Bacalaureat

Matricele apar la fiecare sesiune de BAC la Subiectul II (punctele 1 sau 2), valorând 5-10 puncte. Cerințe clasice: calculați AnA^n, determinați A1A^{-1}, rezolvați ecuația AX=BAX = B, sau arătați că o mulțime de matrice formează grup.
Formula inversei 2×22 \times 2 trebuie știută pe de rost. Cei 3 pași: (1) calculezi detA=adbc\det A = ad - bc; (2) inversezi elementele de pe diagonala principală (ada \leftrightarrow d) și schimbi semnul celor de pe diagonala secundară; (3) împarți totul la detA\det A. Exersează până devine automat.
La puteri mari, calculează primele 3 puteri și caută un pattern. De obicei fie elementele au o formulă simplă (de tipul 2n2n, 3n3^n), fie matricea este periodică (Ak=InA^k = I_n pentru kk mic, caz în care folosești restul împărțirii exponentului la kk).
Verifică dimensiunile înainte de orice operație. (m×p)(p×n)=(m×n)(m \times p) \cdot (p \times n) = (m \times n). Dacă numerele de mijloc (pp) nu coincid, produsul nu este definit. Atenție la ordinea factorilor: ABA \cdot B poate fi definit, dar BAB \cdot A nu.
La ecuații matriceale, rescrie totul pas cu pas ca la ecuațiile cu numere reale: mută termenii fără XX în membrul drept, dă factor comun pe XX, apoi aplică inversa. Nu sări pași — fiecare pas intermediar aduce puncte la BAC.
Verificarea rapidă a rezultatelor: După ce calculezi A1A^{-1}, verifică un singur element din produsul AA1A \cdot A^{-1} (de exemplu, elementul (1,1)(1,1)). Dacă iese 1 (pentru diagonală) sau 0 (pentru restul), probabil ai calculat corect.

Formularul complet al matricelor — produs, inversă, transpusă, ecuații

Produs matrice
(C)ij=k=1paikbkj(C)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}
Element (i,j)(i,j) din produsul ABA \cdot B = suma produselor element cu element dintre linia ii din AA și coloana jj din BB.
Transpusa
(AT)ij=aji(A^T)_{ij} = a_{ji}
Liniile devin coloane și coloanele devin linii.
Inversa matricei 2x2
A1=1adbc(dbca)A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
Swap diagonala principală, minus diagonala secundară, împarte la determinant.
Condiție de inversabilitate
AA inversabilă     detA0\iff \det A \neq 0
Dacă detA=0\det A = 0, matricea este singulară și inversa nu există.
Ecuație matriceală — necunoscuta la dreapta
AX=BX=A1BAX = B \Rightarrow X = A^{-1}B
Înmulțire la stânga cu A1A^{-1}.
Ecuație matriceală — necunoscuta la stânga
XA=BX=BA1XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}
Înmulțire la dreapta cu A1A^{-1}.
Inversa unui produs
(AB)1=B1A1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
Ordinea factorilor se inversează.
Transpusa unui produs
(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T
Ordinea factorilor se inversează și la transpusă.
Puteri ale matricei
A0=In,Am+n=AmAnA^0 = I_n, \quad A^{m+n} = A^m \cdot A^n
Regulile puterilor funcționează ca la numere reale (dar atenție la comutativitate între matrice diferite).
Proprietăți ale transpusei
(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(λA)T=λAT(A^T)^T = A, \quad (A + B)^T = A^T + B^T, \quad (\lambda A)^T = \lambda A^T
Transpusa este involutivă și compatibilă cu adunarea și înmulțirea cu scalar.
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.