Clasa 11Algebră

Matrici — Teorie, Formule si Exemple

Matricele sunt tablouri dreptunghiulare de numere pe care le poți aduna, înmulți și inversa — un capitol fundamental din programa de clasa a 11-a, Matematică M1. La examenul de Bacalaureat, operațiile cu matrice apar în mod constant la Subiectul II (care valorează 30 de puncte în total), de obicei combinate cu determinanți și sisteme de ecuații liniare. Cerințe tipice la BAC: calculul puterii

A^n

, găsirea inversei

A^{-1}

, rezolvarea ecuațiilor matriceale de forma

AX + B = C

sau demonstrarea unor proprietăți algebrice. Cel mai important lucru de reținut: înmulțirea matricelor nu este comutativă (

A \cdot B \neq B \cdot A

în general) — aceasta este cea mai frecventă sursă de greșeli și de pierdere de puncte la BAC.

Definiția matricei și tipuri speciale de matrice

O matrice de tip $m \times n$ este un tablou dreptunghiular cu

m

linii și

n

coloane. Notația

\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})

desemnează mulțimea tuturor matricelor cu

m

linii,

n

coloane și elemente din

\mathbb{R}

. Elementul de pe linia

i

, coloana

j

se notează

a_{ij}

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})

Tipuri speciale de matrice:

Matrice pătrată (de ordin $n$ ): $m = n$ — singura care are determinant și poate fi inversabilă
Matrice nulă $O_{m,n}$ : toate elementele sunt $0$ — element neutru la adunare
Matrice unitate $I_n$ : are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest — joacă rolul lui „1" la înmulțire ( $A \cdot I_n = I_n \cdot A = A$ )
Matrice diagonală: $a_{ij} = 0$ pentru $i \neq j$ — ușor de ridicat la putere
Matrice triunghiulară (superioară/inferioară): toate elementele de sub/deasupra diagonalei principale sunt $0$
Matrice simetrică: $A^T = A$ , adică $a_{ij} = a_{ji}$ pentru orice $i, j$
Matrice antisimetrică: $A^T = -A$ , adică $a_{ij} = -a_{ji}$ (elementele de pe diagonală sunt $0$ )

usorExercițiu de bază

Fie

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

. Identificați tipul matricei și elementele

a_{12}

și

a_{23}

2 puncte

Matricea

A

are 2 linii și 3 coloane, deci este de tip

2 \times 3

, adică

A \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})

. Nu este pătrată (deoarece

2 \neq 3

1 punct

Elementul

a_{12}

se află pe linia 1, coloana 2:

a_{12} = 2

1 punct

Elementul

a_{23}

se află pe linia 2, coloana 3:

a_{23} = 6

usorExercițiu de bază

Scrieți matricea unitate

I_3

și verificați că este simetrică.

2 puncte

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

— are

1

pe diagonala principală și

0

în rest.

2 puncte

Verificăm:

I_3^T = I_3

(transpunerea nu schimbă nimic, deoarece

a_{ij} = a_{ji}

pentru orice

i, j

). Deci

I_3

este simetrică.

Adunarea, înmulțirea și transpusa matricelor

Adunarea și scăderea — posibilă doar pentru matrice de același tip

(m \times n)

: se adună/scad elementele de pe aceeași poziție:

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

. Înmulțirea cu un scalar $\lambda \in \mathbb{R}$ : fiecare element se înmulțește cu

\lambda

(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}

. Transpusa

A^T

: se obține schimbând liniile cu coloanele —

(A^T)_{ij} = a_{ji}

. Dacă

A

este

m \times n

, atunci

A^T

este

n \times m

. Înmulțirea

A \cdot B

: posibilă doar dacă numărul de coloane ale lui

A

este egal cu numărul de linii ale lui

B

. Dacă

A

este

m \times p

și

B

este

p \times n

, atunci

C = A \cdot B

este

m \times n

(C)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}

Proprietăți esențiale ale operațiilor:

$A + B = B + A$ (adunarea este comutativă)
$A \cdot B \neq B \cdot A$ în general (înmulțirea NU este comutativă!)
$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ (asociativitate)
$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ (distributivitate la stânga)
$(B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A$ (distributivitate la dreapta)
$A \cdot I_n = I_n \cdot A = A$ (element neutru)
$(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$ (ordinea se inversează la transpusă)
$(A + B)^T = A^T + B^T$

usorTip BAC — Subiectul II

Calculați

A \cdot B

și

B \cdot A

, unde

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

și

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

1 punct

A

este

2 \times 2

și

B

este

2 \times 2

, deci ambele produse sunt definite și rezultatul este

2 \times 2

3 puncte

A \cdot B

c_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2

c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1

c_{21} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4

c_{22} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3

. Deci

A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

3 puncte

B \cdot A

c_{11} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 3

c_{12} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 4

c_{21} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 = 1

c_{22} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 = 2

. Deci

B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

1 punct

Concluzie:

A \cdot B \neq B \cdot A

— înmulțirea matricelor nu este comutativă!

mediuTip BAC — Subiectul II

Fie

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

. Calculați

A + A^T

și arătați că rezultatul este o matrice simetrică.

2 puncte

Calculăm

A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

(liniile devin coloane).

3 puncte

A + A^T = \begin{pmatrix} 1+1 & -1+2 \\ 2+(-1) & 3+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}

3 puncte

Fie

S = A + A^T

. Atunci

S^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = S

. Deci

S

este simetrică. Acest rezultat este valabil pentru orice matrice

A

: suma

A + A^T

este întotdeauna simetrică.

Matricea inversă — condiție de existență și formula pentru matrice de ordin 2

Matricea

A

(pătrată, de ordin

n

) este inversabilă dacă există

A^{-1}

cu proprietatea

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

. Condiție necesară și suficientă:

A

este inversabilă

\iff \det A \neq 0

. Formula pentru matrice $2 \times 2$ : dacă

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\det A = ad - bc \neq 0

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Mnemonic în 3 pași: (1) swap elementele de pe diagonala principală (

a \leftrightarrow d

), (2) schimbă semnul elementelor de pe diagonala secundară (

b \to -b

c \to -c

), (3) împarte totul la

\det A

. Formula generală (pentru matrice

n \times n

A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^{*}

, unde

A^{*}

este transpusa matricei adjuncte (matricea cofactorilor transpusă). Proprietăți ale inversei:

$(A^{-1})^{-1} = A$
$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ (ordinea se inversează!)
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
$(\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda} A^{-1}$ , pentru $\lambda \neq 0$
$\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$

mediuBAC — Subiectul II

Găsiți

A^{-1}

, unde

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

, și verificați că

A \cdot A^{-1} = I_2

3 puncte

\det A = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1 \neq 0

, deci

A

este inversabilă.

3 puncte

Aplicăm formula:

A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

2 puncte

Verificare:

A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2

✓

mediuBAC — Subiectul II

Fie

A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

. Calculați

(A^T)^{-1}

2 puncte

\det A = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1 \neq 0

3 puncte

Calculăm

A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

3 puncte

Folosim proprietatea

(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T

. Deci

(A^T)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}

Ridicarea la putere a unei matrice pătrate

Puterile unei matrice pătrate $A$ de ordin $n$ :

$A^0 = I_n$ (prin convenție)
$A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n \text{ ori}}$
$A^{-n} = (A^{-1})^n$ (dacă $A$ este inversabilă)
$A^{m+n} = A^m \cdot A^n$ și $A^{mn} = (A^m)^n$

Strategia pentru calculul puterilor mari (favorizată la BAC):

Calculează $A^1, A^2, A^3$ și caută un pattern (de obicei, elementele urmează o formulă simplă funcție de exponent)
Formulează o conjectură pentru $A^n$
Demonstrează prin inducție matematică (dacă se cere demonstrație)

Cazuri speciale utile:

Dacă $A^k = I_n$ pentru un $k$ mic, atunci $A^n = A^{n \bmod k}$ (matricea este „periodică")
Dacă $A = I_n + B$ unde $B^2 = O$ , atunci $A^n = I_n + nB$ (formula binomului se simplifică)
Matricele diagonale se ridică la putere element cu element: $\text{diag}(d_1, d_2)^n = \text{diag}(d_1^n, d_2^n)$

mediuBAC — Subiectul II

Calculați

A^{10}

, unde

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

2 puncte

Calculăm

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

2 puncte

Calculăm

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

3 puncte

Observăm pattern-ul:

A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

(se poate demonstra prin inducție). Aceasta este o matrice de forma

I_2 + nB

B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

și

B^2 = O_2

1 punct

Deci

A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

greuBAC — Subiectul II

Fie

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

. Calculați

A^{2026}

3 puncte

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2

3 puncte

A^4 = (A^2)^2 = (-I_2)^2 = I_2

. Deci matricea are perioada 4:

A^n = A^{n \bmod 4}

2 puncte

2026 = 4 \cdot 506 + 2

, deci

A^{2026} = A^2 = -I_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuații matriceale sunt ecuații în care necunoscuta

X

este o matrice. Rezolvarea presupune utilizarea inversei. Tipuri fundamentale:

$A \cdot X = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B$ (înmulțim la stânga cu $A^{-1}$ )
$X \cdot A = B \Rightarrow X = B \cdot A^{-1}$ (înmulțim la dreapta cu $A^{-1}$ )
$A \cdot X \cdot B = C \Rightarrow X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$ (înmulțim la stânga cu $A^{-1}$ și la dreapta cu $B^{-1}$ )

Ordinea contează!

A^{-1} \cdot B \neq B \cdot A^{-1}

în general. Regula: inversa vine din aceeași parte din care se află matricea cunoscută (dacă

A

este la stânga lui

X

A^{-1}

vine tot la stânga, dar la stânga lui

B

). Ecuații mai complexe (frecvente la BAC):

$A \cdot X + B = C \Rightarrow A \cdot X = C - B \Rightarrow X = A^{-1}(C - B)$
$X \cdot A = X + B \Rightarrow X \cdot A - X = B \Rightarrow X(A - I_n) = B \Rightarrow X = B \cdot (A - I_n)^{-1}$

Trucul este să izolezi termenul cu

X

(ca la ecuații algebrice) și apoi să aplici inversa.

mediuBAC — Subiectul II

Fie

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

. Rezolvați ecuația matriceală

A \cdot X = I_2

2 puncte

\det A = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1 \neq 0

, deci

A

este inversabilă.

3 puncte

A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}

2 puncte

Din

A \cdot X = I_2

rezultă

X = A^{-1} \cdot I_2 = A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}

greuBAC — Subiectul II

Fie

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

. Rezolvați ecuația

A \cdot X + X = B

3 puncte

Dăm factor comun pe

X

la stânga:

A \cdot X + I_2 \cdot X = B

, adică

(A + I_2) \cdot X = B

3 puncte

A + I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

\det(A + I_2) = 4 - 0 = 4 \neq 0

, deci

(A + I_2)^{-1} = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

3 puncte

X = (A + I_2)^{-1} \cdot B = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}

Greșeli frecvente la operații cu matrice

✗

A \cdot B = B \cdot A

(tratez înmulțirea matricelor ca pe cea a numerelor reale)

✓În general

A \cdot B \neq B \cdot A

. Există excepții (ex:

A \cdot I = I \cdot A

, sau dacă una din matrice este scalară

\lambda I_n

) dar sunt cazuri speciale.

Necomutativitatea este proprietatea fundamentală care diferențiază calculul matriceal de cel cu numere reale. Verifică întotdeauna dacă poți comuta doi factori înainte de a o face.

✗

(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}

✓

(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}

— ordinea se inversează!

Se verifică ușor:

(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AI_nA^{-1} = AA^{-1} = I_n

. Gândește-te la analogia cu „dezbrăcatul": ce ai pus ultimul, scoți primul.

✗

A \cdot X = B

scriu

X = B \cdot A^{-1}

(înmulțesc la dreapta în loc de stânga)

✓La

A \cdot X = B

: înmulțesc la stânga cu

A^{-1}

, obțin

X = A^{-1} \cdot B

Dacă

A

este la stânga lui

X

, inversa vine la stânga lui

B

. La

X \cdot A = B

: inversa vine la dreapta,

X = B \cdot A^{-1}

. Regula: simplific din aceeași parte.

✗

Calculez

A^{-1}

fără să verific mai întâi că

\det A \neq 0

✓Primul pas obligatoriu la orice inversă: calculez

\det A

. Dacă

\det A = 0

, inversa nu există.

Dacă

\det A = 0

, matricea este singulară (neinversabilă) și ecuația matriceală trebuie tratată altfel (poate să nu aibă soluții sau să aibă infinitate de soluții).

✗

Confund

A^2

cu ridicarea la pătrat a fiecărui element:

A^2 \neq (a_{ij}^2)

✓

A^2 = A \cdot A

(produsul matriceal al lui

A

cu el însuși), NU matricea cu elementele ridicate la pătrat.

De exemplu,

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

, nu

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Strategii și sfaturi pentru matrici la examenul de Bacalaureat

Matricele apar la fiecare sesiune de BAC la Subiectul II (punctele 1 sau 2), valorând 5-10 puncte. Cerințe clasice: calculați

A^n

, determinați

A^{-1}

, rezolvați ecuația

AX = B

, sau arătați că o mulțime de matrice formează grup.

Formula inversei $2 \times 2$ trebuie știută pe de rost. Cei 3 pași: (1) calculezi

\det A = ad - bc

; (2) inversezi elementele de pe diagonala principală (

a \leftrightarrow d

) și schimbi semnul celor de pe diagonala secundară; (3) împarți totul la

\det A

. Exersează până devine automat.

La puteri mari, calculează primele 3 puteri și caută un pattern. De obicei fie elementele au o formulă simplă (de tipul

2n

3^n

), fie matricea este periodică (

A^k = I_n

pentru

k

mic, caz în care folosești restul împărțirii exponentului la

k

Verifică dimensiunile înainte de orice operație.

(m \times p) \cdot (p \times n) = (m \times n)

. Dacă numerele de mijloc (

p

) nu coincid, produsul nu este definit. Atenție la ordinea factorilor:

A \cdot B

poate fi definit, dar

B \cdot A

nu.

La ecuații matriceale, rescrie totul pas cu pas ca la ecuațiile cu numere reale: mută termenii fără

X

în membrul drept, dă factor comun pe

X

, apoi aplică inversa. Nu sări pași — fiecare pas intermediar aduce puncte la BAC.

Verificarea rapidă a rezultatelor: După ce calculezi

A^{-1}

, verifică un singur element din produsul

A \cdot A^{-1}

(de exemplu, elementul

(1,1)

). Dacă iese 1 (pentru diagonală) sau 0 (pentru restul), probabil ai calculat corect.

Formularul complet al matricelor — produs, inversă, transpusă, ecuații

Produs matrice

(C)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}

Element

(i,j)

din produsul

A \cdot B

= suma produselor element cu element dintre linia

i

din

A

și coloana

j

din

B

Transpusa

(A^T)_{ij} = a_{ji}

Liniile devin coloane și coloanele devin linii.

Inversa matricei 2x2

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Swap diagonala principală, minus diagonala secundară, împarte la determinant.

Condiție de inversabilitate

A

inversabilă

\iff \det A \neq 0

Dacă

\det A = 0

, matricea este singulară și inversa nu există.

Ecuație matriceală — necunoscuta la dreapta

AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B

Înmulțire la stânga cu

A^{-1}

Ecuație matriceală — necunoscuta la stânga

XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}

Înmulțire la dreapta cu

A^{-1}

Inversa unui produs

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Ordinea factorilor se inversează.

Transpusa unui produs

(AB)^T = B^T A^T

Ordinea factorilor se inversează și la transpusă.

Puteri ale matricei

A^0 = I_n, \quad A^{m+n} = A^m \cdot A^n

Regulile puterilor funcționează ca la numere reale (dar atenție la comutativitate între matrice diferite).

Proprietăți ale transpusei

(A^T)^T = A, \quad (A + B)^T = A^T + B^T, \quad (\lambda A)^T = \lambda A^T

Transpusa este involutivă și compatibilă cu adunarea și înmulțirea cu scalar.

Capitole inrudite

Determinanți Sisteme de ecuații liniare Legi de compoziție Inducție matematică (pentru demonstrarea formulei lui $A^n$)

Exerciteaza 174 probleme de Matrici

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 335 grile de Matrici

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.