Clasa 11Algebră

Sisteme de Ecuații Liniare — Teorie, Formule si Exemple

Sistemele de ecuații liniare sunt o temă centrală din programa de clasa a 11-a, Matematică M1, prezentă în aproape fiecare variantă de Bacalaureat la Subiectul II. Un sistem liniar se scrie matriceal ca

AX = B

și se rezolvă prin regula lui Cramer (când

\det A \neq 0

) sau prin metoda Gauss (eliminare gaussiană). Cel mai frecvent tip de problemă la BAC este un sistem

3 \times 3

cu parametru, unde trebuie să discuți compatibilitatea folosind teorema Rouché-Capelli. Stăpânirea acestor metode presupune cunoașterea solidă a calculului cu matrice și determinanți — cele trei teme formează un bloc inseparabil la Subiectul II.

Forma matriceală a unui sistem liniar

Un sistem de

n

ecuații cu

n

necunoscute:

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

se scrie compact ca

A \cdot X = B

, unde:

$A = (a_{ij})_{n \times n}$ — matricea coeficienților (matricea sistemului)
$X$ — vectorul necunoscutelor ( $n \times 1$ )
$B$ — vectorul termenilor liberi ( $n \times 1$ )

Matricea extinsă

\tilde{A} = (A \mid B)

se obține adăugând coloana

B

la dreapta matricei

A

. Se folosește în metoda Gauss și în analiza Rouché-Capelli. Rangul unei matrice este ordinul celui mai mare minor nenul, adică numărul maxim de linii (sau coloane) liniar independente. Sistem omogen — când

B = O

(toți termenii liberi sunt 0). Un sistem omogen are întotdeauna cel puțin soluția banală

x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0

usorExercițiu de bază

Scrieți în formă matriceală sistemul

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 1 \end{cases}

2 puncte

Identificăm coeficienții:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

2 puncte

Forma matriceală:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

. Matricea extinsă:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 5 \\ 1 & -3 & | & 1 \end{pmatrix}

usorExercițiu de bază — sistem 3x3

Scrieți matricea sistemului și matricea extinsă pentru:

\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 3x - y + 2z = 1 \\ 2x + y + z = 4 \end{cases}

2 puncte

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

3 puncte

Matricea extinsă:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}

. Verificăm:

\det A = 1(-1-2) - 2(3-4) + (-1)(3+2) = -3 + 2 - 5 = -6 \neq 0

Teorema Rouche-Capelli și compatibilitatea sistemului

Teorema Rouché-Capelli stabilește câte soluții are un sistem liniar

AX = B

n

necunoscute: | Condiție | Tip sistem | Număr de soluții | |---|---|---| |

\text{rang}(A) \neq \text{rang}(\tilde{A})

| Incompatibil |

0

soluții | |

\text{rang}(A) = \text{rang}(\tilde{A}) = n

| Compatibil determinat | Exact

1

soluție | |

\text{rang}(A) = \text{rang}(\tilde{A}) = r < n

| Compatibil nedeterminat |

\infty

soluții (

n - r

necunoscute libere) | Observație importantă: Rangul matricei extinse

\tilde{A}

este întotdeauna

\geq \text{rang}(A)

(adăugarea unei coloane nu scade rangul). Deci singurele posibilități sunt

\text{rang}(\tilde{A}) = \text{rang}(A)

\text{rang}(\tilde{A}) = \text{rang}(A) + 1

. Cazul pătratic (

n

ecuații,

n

necunoscute) se simplifică:

$\det A \neq 0 \Rightarrow \text{rang}(A) = n \Rightarrow$ soluție unică — aplici Cramer
$\det A = 0 \Rightarrow \text{rang}(A) < n \Rightarrow$ fie incompatibil, fie nedeterminat — aplici Gauss

mediuTip BAC — discuție cu parametru

Discutați compatibilitatea sistemului

\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = k \end{cases}

în funcție de

k \in \mathbb{R}

2 puncte

Calculăm

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0

. Deoarece

\det A = 0

, Cramer nu se aplică. Trecem la analiza Rouché-Capelli.

3 puncte

Matricea extinsă:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 2 & | & k \end{pmatrix}

\text{rang}(A) = 1

(liniile sunt proporționale:

L_2 = 2L_1

). Pentru

\text{rang}(\tilde{A})

: minorul

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} = k - 4

3 puncte

Dacă $k = 4$ :

\text{rang}(\tilde{A}) = 1 = \text{rang}(A) < 2

— sistem compatibil nedeterminat. Soluția generală:

x = 2 - t

y = t

t \in \mathbb{R}

. Dacă $k \neq 4$ :

\text{rang}(\tilde{A}) = 2 \neq 1 = \text{rang}(A)

— sistem incompatibil.

mediuTip BAC — sistem 3x3 cu parametru

Determinați valorile lui

m \in \mathbb{R}

pentru care sistemul

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + my + z = 0 \\ x + y + mz = 0 \end{cases}

este compatibil determinat.

2 puncte

Sistemul este compatibil determinat

\Leftrightarrow \det A \neq 0

. Calculăm:

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix}

3 puncte

Dezvoltăm pe prima linie (sau Sarrus):

\det A = m^2 + 1 + 1 - m - m - 1 = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2

2 puncte

\det A = 0 \Leftrightarrow (m-1)^2 = 0 \Leftrightarrow m = 1

. Deci sistemul este compatibil determinat pentru orice

m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}

Regula lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor

Regula lui Cramer rezolvă orice sistem pătrat cu

\det A \neq 0

(sistem compatibil determinat). Formula generală:

x_k = \dfrac{\det A_k}{\det A}

, unde

A_k

se obține din

A

înlocuind coloana $k$ cu vectorul termenilor liberi

B

. Algoritmul pentru un sistem $3 \times 3$ :

Calculezi $\det A$ — dacă este $0$ , Cramer nu se aplică
Calculezi $\det A_1$ (coloana 1 din $A$ este înlocuită cu $B$ )
Calculezi $\det A_2$ (coloana 2 din $A$ este înlocuită cu $B$ )
Calculezi $\det A_3$ (coloana 3 din $A$ este înlocuită cu $B$ )
$x = \dfrac{\det A_1}{\det A}$ , $\quad y = \dfrac{\det A_2}{\det A}$ , $\quad z = \dfrac{\det A_3}{\det A}$

Total: 4 determinanți de ordin 3 (calculați prin Sarrus sau dezvoltare Laplace). Echivalent: Dacă

\det A \neq 0

, soluția se poate scrie și ca

X = A^{-1} \cdot B

mediuTip BAC — Subiectul II

Rezolvați prin regula lui Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}

3 puncte

\det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3 = -4 - 3 = -7 \neq 0

. Sistemul este compatibil determinat, deci Cramer se aplică.

3 puncte

\det A_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 5 \cdot(-2) - 1 \cdot 4 = -14

\quad \det A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = -7

2 puncte

x = \dfrac{\det A_1}{\det A} = \dfrac{-14}{-7} = 2

\quad y = \dfrac{\det A_2}{\det A} = \dfrac{-7}{-7} = 1

. Verificare:

2(2) + 1 = 5

✓,

3(2) - 2(1) = 4

✓.

mediuTip BAC — sistem 3x3

Rezolvați prin regula lui Cramer:

\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}

3 puncte

\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1-2) - 1(-2-1) + 1(4+1) = -1 + 3 + 5 = 7 \neq 0

2 puncte

\det A_1 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 4(1-2) - 1(-3-1) + 1(6+1) = -4 + 4 + 7 = 7

3 puncte

\det A_2 = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3-1) - 4(-2-1) + 1(2-3) = -4 + 12 - 1 = 7

\det A_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1-6) - 1(2-3) + 4(4+1) = -7 + 1 + 20 = 14

2 puncte

x = \dfrac{7}{7} = 1

y = \dfrac{7}{7} = 1

z = \dfrac{14}{7} = 2

. Verificare:

1+1+2=4

✓,

2-1+2=3

✓,

1+2-2=1

✓.

Metoda Gauss (eliminare gaussiană) și forma treaptă

Metoda Gauss funcționează pentru orice sistem, inclusiv când

\det A = 0

, și este obligatorie la BAC în cazul sistemelor cu parametru care devin incompatibile sau nedeterminate. Operații elementare pe linii (nu schimbă mulțimea soluțiilor):

$L_i \leftarrow \lambda \cdot L_i$ — înmulțirea unei linii cu un scalar $\lambda \neq 0$
$L_i \leftarrow L_i + \lambda \cdot L_j$ — adăugarea la o linie a unui multiplu al alteia
$L_i \leftrightarrow L_j$ — interschimbarea a două linii

Algoritmul:

Scrieți matricea extinsă $\tilde{A} = (A \mid B)$
Prin operații elementare pe linii, aduceți la formă treaptă (eșalon): zerouri sub diagonala principală
Comparați $\text{rang}(A)$ cu $\text{rang}(\tilde{A})$ și aplicați Rouché-Capelli
Dacă sistemul este compatibil determinat: substituție înapoi (back-substitution) din ultima ecuație spre prima

Forma treaptă (eșalon): fiecare linie nenulă începe cu un element nenul aflat mai la dreapta decât cel de pe linia precedentă.

mediuTip BAC — sistem 3x3 compatibil determinat

Rezolvați prin metoda Gauss:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases}

3 puncte

Matricea extinsă:

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 1 & -1 & 2 & | & 5 \end{pmatrix}

. Aplicăm

L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1

și

L_3 \leftarrow L_3 - L_1

3 puncte

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & -3 & | & -11 \\ 0 & -2 & 1 & | & -1 \end{pmatrix}

. Aplicăm

L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2

3 puncte

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & -3 & | & -11 \\ 0 & 0 & 7 & | & 21 \end{pmatrix}

. Substituție înapoi:

7z = 21 \Rightarrow z = 3

;

-y - 3(3) = -11 \Rightarrow y = 2

;

x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1

greuTip BAC — discuție completă cu parametru

Discutați și rezolvați sistemul în funcție de

m \in \mathbb{R}

\begin{cases} x + my = 1 \\ mx + y = m \end{cases}

2 puncte

\det A = \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 1 \end{vmatrix} = 1 - m^2 = (1 - m)(1 + m)

. Valorile critice:

m = 1

și

m = -1

3 puncte

Dacă $m \neq \pm 1$ (

\det A \neq 0

): aplicăm Cramer.

\det A_1 = \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 1 \end{vmatrix} = 1 - m^2

\det A_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ m & m \end{vmatrix} = m - m = 0

. Deci

x = \dfrac{1 - m^2}{1 - m^2} = 1

y = \dfrac{0}{1 - m^2} = 0

. Soluție unică:

(x, y) = (1, 0)

2 puncte

Dacă $m = 1$ : Sistemul devine

\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}

— ecuații identice.

\text{rang}(A) = \text{rang}(\tilde{A}) = 1 < 2

— compatibil nedeterminat. Soluția generală:

x = 1 - t

y = t

t \in \mathbb{R}

2 puncte

Dacă $m = -1$ : Sistemul devine

\begin{cases} x - y = 1 \\ -x + y = -1 \end{cases}

— a doua ecuație este

(-1) \cdot

prima, deci ecuații proporționale.

\text{rang}(A) = \text{rang}(\tilde{A}) = 1 < 2

— compatibil nedeterminat. Soluția generală:

x = 1 + t

y = t

t \in \mathbb{R}

greuTip BAC — sistem omogen

Determinați valorile lui

a \in \mathbb{R}

pentru care sistemul omogen

\begin{cases} x + ay + z = 0 \\ ax + y + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}

admite și soluții nenule.

2 puncte

Un sistem omogen admite soluții nenule

\Leftrightarrow \det A = 0

. Calculăm

\det A = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}

3 puncte

Prin Sarrus:

\det A = a + a + 1 - 1 - 1 - a^3 = 2a - a^3 = a(2 - a^2)

. Alternativ:

a(\sqrt{2} - a)(\sqrt{2} + a)

3 puncte

\det A = 0 \Leftrightarrow a = 0

a^2 = 2 \Leftrightarrow a = \pm\sqrt{2}

. Deci sistemul admite soluții nenule pentru

a \in \{-\sqrt{2},\, 0,\, \sqrt{2}\}

Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă

Când

\det A \neq 0

, matricea

A

este inversabilă și soluția sistemului

AX = B

se obține direct:

X = A^{-1} \cdot B

Această metodă este echivalentă cu Cramer, dar este utilă în special când:

Matricea inversă $A^{-1}$ este deja calculată (sau cerută la un punct anterior)
Trebuie rezolvate mai multe sisteme cu aceeași matrice $A$ dar cu diferiți $B$

Formulă pentru inversa matricei $2 \times 2$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Pentru matrice $3 \times 3$ :

A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^{*}

, unde

A^{*}

este adjuncta (transpusa matricei cofactorilor).

mediuTip BAC — inversă 2x2

Rezolvați sistemul

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + y = 3 \end{cases}

folosind matricea inversă.

4 puncte

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

\det A = 3 - 2 = 1 \neq 0

A^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

4 puncte

X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 6 \\ -8 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

. Deci

x = 2

y = 1

mediuExercițiu combinat

Știind că

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

, rezolvați ecuația matriceală

AX = \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix}

3 puncte

\det A = 3 - 2 = 1

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

4 puncte

X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 - 13 \\ -10 + 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

. Verificare:

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix}

✓.

Greșeli frecvente la sistemele de ecuații liniare

✗

Aplic regula lui Cramer fără să verific mai întâi că

\det A \neq 0

✓Calculez întotdeauna

\det A

ca prim pas. Dacă

\det A = 0

, Cramer nu se aplică — trec la Gauss.

Regula lui Cramer funcționează exclusiv pentru sisteme compatibil determinate (

\det A \neq 0

). Aplicarea ei cu

\det A = 0

duce la împărțire la zero.

✗

La formarea matricei

A_k

, înlocuiesc o linie cu termenii liberi în loc de coloana

k

✓La

A_k

se înlocuiește coloana $k$ (nu linia!) cu vectorul coloană

B

al termenilor liberi.

Confuzia linie-coloană este cea mai frecventă eroare la Cramer. Coloana

k

corespunde necunoscutei

x_k

✗

Concluzionez că

\det A = 0

înseamnă „sistemul nu are soluții"

✓

\det A = 0

înseamnă doar că Cramer nu se aplică. Sistemul poate fi incompatibil (0 soluții) SAU compatibil nedeterminat (

\infty

soluții). Trebuie analiză suplimentară prin Rouché-Capelli.

De exemplu, sistemul omogen

AX = O

\det A = 0

are mereu infinit de soluții nenule, nu zero soluții.

✗

La metoda Gauss, aplic operații elementare și pe coloana termenilor liberi separat

✓Operațiile elementare se aplică simultan pe toată linia din matricea extinsă, inclusiv termenul liber.

Dacă aplici

L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1

, trebuie să scazi din fiecare element al liniei 2 (inclusiv termenul liber) dublul elementului corespunzător de pe linia 1.

✗

La discuția cu parametru, uit să analizez separat fiecare valoare critică a parametrului

✓După ce găsesc valorile

m

pentru care

\det A = 0

, analizez fiecare valoare separat: înlocuiesc

m

în sistem și determin rangurile.

Două valori diferite ale parametrului pot duce la situații diferite: una poate da sistem incompatibil, alta compatibil nedeterminat.

Sfaturi pentru rezolvarea sistemelor liniare la BAC

Algoritmul standard la Subiectul II: (1) Calculezi

\det A

. (2) Dacă

\det A \neq 0

: aplici Cramer, găsești soluția unică, verifici prin substituție. (3) Dacă

\det A = 0

: scrii matricea extinsă, aplici Gauss, compari rangurile. Nu săriți niciun pas — fiecare valorează puncte.

Cramer vs Gauss — când folosești ce: Sistemele

3 \times 3

fără parametru cu

\det A \neq 0

se rezolvă cel mai rapid prin Cramer (4 determinanți Sarrus). Gauss devine obligatoriu când

\det A = 0

sau când problema cere explicit „metoda Gauss". La probleme cu parametru, calculează

\det A

ca funcție de parametru, apoi discută cazurile.

Verificarea soluției prin substituție valorează 1-2 puncte la BAC și durează sub un minut. Înlocuiți valorile găsite în toate ecuațiile originale. Nu verificați doar într-o singură ecuație — asta nu demonstrează corectitudinea completă.

Legătura matrice-determinanți-sisteme: La Subiectul II, cele 3-4 cerințe formează adesea un lanț: (a) calculează

\det A

, (b) află

A^{-1}

, (c) rezolvă

AX = B

. Folosiți rezultatele de la cerințele anterioare — nu recalculați determinantul dacă l-ați obținut deja!

Probleme cu parametru — schema completă: Fie

\det A = P(m)

un polinom în

m

. Rezolvați

P(m) = 0

pentru valorile critice. Apoi: (1) pentru

m \neq

valorile critice — Cramer, soluție unică; (2) pentru fiecare valoare critică — înlocuiți în matricea extinsă, aplicați Gauss, verificați dacă sistemul este compatibil nedeterminat sau incompatibil.

Formular de sisteme liniare — Cramer, Gauss, Rouché-Capelli

Formă matriceală

AX = B

A

= matricea coeficienților,

X

= vectorul necunoscutelor,

B

= vectorul termenilor liberi.

Regula lui Cramer

x_k = \dfrac{\det A_k}{\det A}

\det A \neq 0

A_k

= matricea

A

cu coloana

k

înlocuită prin

B

. Total:

n + 1

determinanți de calculat.

Soluție unică (Rouche-Capelli)

\text{rang}(A) = \text{rang}(\tilde{A}) = n

Rangul egal cu numărul de necunoscute garantează soluție unică. Echivalent cu

\det A \neq 0

în cazul pătratic.

Infinit de soluții (Rouche-Capelli)

\text{rang}(A) = \text{rang}(\tilde{A}) = r < n

Există

n - r

necunoscute libere (parametri). Soluția depinde de

n - r

parametri reali.

Sistem incompatibil (Rouche-Capelli)

\text{rang}(A) \neq \text{rang}(\tilde{A})

Ranguri diferite: nu există nicio soluție. Întotdeauna

\text{rang}(\tilde{A}) = \text{rang}(A) + 1

în acest caz.

Soluție prin matricea inversă

X = A^{-1} \cdot B

\det A \neq 0

Echivalent cu Cramer. Utilă când

A^{-1}

este deja calculată sau cerută la un alt punct.

Sistem omogen — soluții nenule

AX = O

are soluții

\neq O \Leftrightarrow \det A = 0

Sistemul omogen are mereu soluția banală

X = O

. Soluții nenule există doar dacă

\det A = 0

Capitole inrudite

Matrici Determinanți Aplicații ale derivatelor Sisteme de ecuații neliniare (cls. 9)

Exerciteaza 131 probleme de Sisteme de Ecuații Liniare

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 278 grile de Sisteme de Ecuații Liniare

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.