Clasa 11Algebră

Determinanți — Teorie, Formule si Exemple

Determinanții sunt o temă fundamentală din programa de clasa a 11-a, Matematică M1, prezentă aproape în fiecare variantă de Bacalaureat la Subiectul II. Determinantul este un număr real asociat oricărei matrice pătrate care arată dacă matricea este inversabilă (det⁡A≠0\det A \neq 0) sau singulară (det⁡A=0\det A = 0). Calculul determinanților este esențial pentru găsirea matricei inverse, pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin regula lui Cramer și pentru demonstrarea diverselor proprietăți ale matricelor. Determinantul de ordin 2 se calculează printr-o singură scădere, iar cel de ordin 3 cel mai rapid prin regula lui Sarrus. Pentru ordine mai mari se folosește dezvoltarea Laplace pe linia sau coloana cu cele mai multe zerouri.

Determinantul de ordin 2

Determinantul matricei pătrate A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} este: det⁡A=∣abcd∣=ad−bc\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc Regula: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Semnificație: det⁡A≠0  ⟺  A\det A \neq 0 \iff A este inversabilă. det⁡A=0  ⟺  \det A = 0 \iff liniile (sau coloanele) sunt proporționale.
usorExercițiu de bază
Calculați det⁡A\det A și det⁡B\det B, unde A=(3514)A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} și B=(2613)B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
1
2 puncte
det⁡A=3⋅4−5⋅1=12−5=7≠0\det A = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 1 = 12 - 5 = 7 \neq 0, deci AA este inversabilă.
2
2 puncte
det⁡B=2⋅3−6⋅1=6−6=0\det B = 2 \cdot 3 - 6 \cdot 1 = 6 - 6 = 0. Matricea BB nu este inversabilă — linia 2 este 12\frac{1}{2} din linia 1.
mediuTip Bac — determinant cu parametru
Determinați valorile lui m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care matricea A=(m23m−1)A = \begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m-1 \end{pmatrix} nu este inversabilă.
1
3 puncte
Matricea nu este inversabilă   ⟺  det⁡A=0\iff \det A = 0. Calculăm: det⁡A=m(m−1)−2⋅3=m2−m−6\det A = m(m-1) - 2 \cdot 3 = m^2 - m - 6.
2
3 puncte
Rezolvăm m2−m−6=0m^2 - m - 6 = 0. Discriminantul: Δ=1+24=25\Delta = 1 + 24 = 25. Soluțiile: m=1±52m = \frac{1 \pm 5}{2}, deci m=3m = 3 sau m=−2m = -2.

Determinantul de ordin 3 — Regula lui Sarrus

Pentru A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, regula Sarrus: Pasul 1: Rescrie primele 2 coloane la dreapta matricei. Pasul 2: Suma produselor pe 3 diagonale de sus-jos (semnul ++): +a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32+ a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} Pasul 3: Minus suma produselor pe 3 diagonale de jos-sus (semnul −-): −a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} det⁡A=(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)−(a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33)\det A = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) Atenție: Regula Sarrus funcționează DOAR pentru ordinul 3, nu pentru 4 sau mai mare!
mediuTip Bac Subiectul II.1
Calculați det⁡A\det A, unde A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
1
3 puncte
Aplicăm Sarrus. Diagonale principale (++): 1⋅1⋅0+2⋅4⋅5+3⋅0⋅6=0+40+0=401\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 = 0 + 40 + 0 = 40.
2
3 puncte
Diagonale secundare (−-): 3⋅1⋅5+1⋅4⋅6+2⋅0⋅0=15+24+0=393\cdot1\cdot5 + 1\cdot4\cdot6 + 2\cdot0\cdot0 = 15 + 24 + 0 = 39.
3
1 punct
det⁡A=40−39=1\det A = 40 - 39 = 1.
mediuTip Bac Subiectul II
Calculați ∣2−1304−2105∣\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -2 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}.
1
3 puncte
Diagonale principale (++): 2⋅4⋅5+(−1)⋅(−2)⋅1+3⋅0⋅0=40+2+0=422 \cdot 4 \cdot 5 + (-1)\cdot(-2)\cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 0 = 40 + 2 + 0 = 42.
2
3 puncte
Diagonale secundare (−-): 3⋅4⋅1+2⋅(−2)⋅0+(−1)⋅0⋅5=12+0+0=123 \cdot 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 \cdot 5 = 12 + 0 + 0 = 12.
3
1 punct
det⁡=42−12=30\det = 42 - 12 = 30.

Minori, cofactori și dezvoltarea Laplace

Minorul MijM_{ij} al elementului aija_{ij} = determinantul matricei obținute ștergând linia ii și coloana jj. Cofactorul Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}. Semnul (−1)i+j(-1)^{i+j} urmează tabloul de șah: (+−+−+−+−+)\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} Dezvoltarea Laplace pe linia ii: det⁡A=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin\det A = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} Strategie: Alege linia sau coloana cu cele mai multe elemente egale cu zero — calculul se simplifică maxim.
mediuTip Bac
Calculați ∣201310104∣\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{vmatrix} prin dezvoltare Laplace pe coloana 2.
1
2 puncte
Coloana 2 are două zerouri: a12=0a_{12}=0, a22=1a_{22}=1, a32=0a_{32}=0. Singurul termen nenul este a22=1a_{22}=1.
2
4 puncte
det⁡=a22⋅A22=1⋅(−1)2+2⋅∣2114∣=1⋅1⋅(8−1)=7\det = a_{22} \cdot A_{22} = 1 \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot (8-1) = 7.
mediuTip Bac — dezvoltare pe linia 1
Calculați ∣30−1215004∣\begin{vmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} prin dezvoltare Laplace pe linia 3.
1
2 puncte
Linia 3 are două zerouri: a31=0a_{31}=0, a32=0a_{32}=0, a33=4a_{33}=4. Singurul termen nenul este a33⋅A33a_{33} \cdot A_{33}.
2
2 puncte
A33=(−1)3+3⋅∣3021∣=1⋅(3⋅1−0⋅2)=3A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = 3.
3
2 puncte
det⁡=4⋅3=12\det = 4 \cdot 3 = 12.

Proprietățile determinanților — transpusă, produs, scalar

Aceste proprietăți sunt utile atât la calculul determinanților, cât și la demonstrații:
  • Interschimbând două linii (sau coloane), determinantul își schimbă semnul.
  • Dacă o linie este proporțională cu alta (sau este toată zero), det⁡A=0\det A = 0.
  • Factorul comun dintr-o linie se scoate în față: dacă o linie are factor λ\lambda, det⁡A=λ⋅det⁡A′\det A = \lambda \cdot \det A' (unde A′A' are linia împărțită la λ\lambda).
  • det⁡(λA)=λndet⁡A\det(\lambda A) = \lambda^n \det A pentru matrice n×nn \times n — factorul iese din fiecare linie!
  • det⁡(AT)=det⁡A\det(A^T) = \det A — liniile și coloanele sunt interschimbabile.
  • det⁡(A⋅B)=det⁡A⋅det⁡B\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B — determinantul produsului.
  • Operații elementare: adăugând la o linie un multiplu al alteia, determinantul nu se schimbă.
mediuTip Bac
Găsiți valorile lui xx pentru care ∣x102x101x∣=0\begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ 2 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{vmatrix} = 0.
1
4 puncte
Dezvoltăm pe linia 1: det⁡=x(x2−1)−1(2x−0)+0=x3−x−2x=x3−3x\det = x(x^2-1) - 1(2x-0) + 0 = x^3-x-2x = x^3-3x.
2
2 puncte
x3−3x=0⇒x(x2−3)=0⇒x=0x^3-3x = 0 \Rightarrow x(x^2-3) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=±3x = \pm\sqrt{3}.
mediuAplicație proprietăți
Dacă det⁡A=5\det A = 5 și AA este matrice 3×33 \times 3, calculați det⁡(2A)\det(2A), det⁡(AT)\det(A^T) și det⁡(A2)\det(A^2).
1
2 puncte
det⁡(2A)=23⋅det⁡A=8⋅5=40\det(2A) = 2^3 \cdot \det A = 8 \cdot 5 = 40 (factorul 2 iese din fiecare dintre cele 3 linii).
2
2 puncte
det⁡(AT)=det⁡A=5\det(A^T) = \det A = 5 (transpusa nu schimbă determinantul).
3
2 puncte
det⁡(A2)=det⁡(A⋅A)=det⁡A⋅det⁡A=52=25\det(A^2) = \det(A \cdot A) = \det A \cdot \det A = 5^2 = 25 (proprietatea multiplicativă).

Greșeli frecvente

✗
Aplic regula Sarrus pentru o matrice 4×44 \times 4
✓Regula Sarrus se aplică EXCLUSIV pentru ordinul 3. Pentru 4×44 \times 4 și mai mare: dezvoltare Laplace.
Regula Sarrus este o simplificare specifică ordinului 3. Aplicarea ei la ordinul 4 dă rezultat greșit.
✗
det⁡(2A)=2⋅det⁡A\det(2A) = 2 \cdot \det A (pentru o matrice 3×33 \times 3)
✓det⁡(2A)=23⋅det⁡A=8⋅det⁡A\det(2A) = 2^3 \cdot \det A = 8 \cdot \det A pentru o matrice 3×33 \times 3.
Factorul λ\lambda iese din fiecare linie separat. La o matrice n×nn \times n: det⁡(λA)=λndet⁡A\det(\lambda A) = \lambda^n \det A.
✗
Semn greșit la cofactor — uit că A12=(−1)1+2M12=−M12A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}
✓Semnul cofactorului este (−1)i+j(-1)^{i+j}. Pe poziția (1,2)(1,2): (−1)3=−1(-1)^3 = -1.
Folosește tabloul de șah: +,−,++,-,+ pe prima linie, −,+,−-,+,- pe a doua, etc. Nu ghici semnul.
✗
Confund det⁡(A+B)\det(A+B) cu det⁡A+det⁡B\det A + \det B
✓det⁡(A+B)≠det⁡A+det⁡B\det(A+B) \neq \det A + \det B în general. Numai det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B.
Determinantul este multiplicativ față de produs, nu aditiv față de sumă. Verifică cu un contraexemplu simplu 2×22 \times 2.
✗
La Sarrus, încurc ordinea termenilor pe diagonalele secundare
✓Diagonalele secundare merg de jos-stânga spre dreapta-sus: pornesc de la a13a_{13}, a11a_{11}, a12a_{12} (prima poziție din fiecare diagonală).
Desenează matricea extinsă cu primele 2 coloane repetate la dreapta. Trasează fizic cele 6 diagonale pentru a evita erorile de semn.

Sfaturi pentru determinanți la Bacalaureat

Sarrus în 30 de secunde: Scrie matricea 3×33 \times 3, adaugă primele 2 coloane la dreapta. Calculează 3 diagonale de sus-jos (semn ++) și 3 diagonale de jos-sus (semn −-). Adună, scade. Exersează până devine automat.
Alegerea liniei/coloanei la Laplace: Identifică linia sau coloana cu cele mai multe elemente nule înainte de a calcula. Un singur element nenul = un singur determinant de ordin 2 de calculat. Economisești timp prețios la examen.
Determinantul și sistemele: det⁡A≠0\det A \neq 0 înseamnă că sistemul AX=BAX = B are soluție unică (aplici Cramer). det⁡A=0\det A = 0 înseamnă că trebuie analiză cu teorema Rouché-Capelli.
Determinant cu parametru: La "găsiți mm astfel încât det⁡A=0\det A = 0", calculați det⁡A\det A ca polinom în mm și rezolvați ecuația. Verificați și că valorile găsite nu duc la contradicții în enunț.
Verificare rapidă: După ce calculați un determinant 3×33 \times 3, verificați rezultatul alegând altă linie/coloană pentru Laplace sau aplicând Sarrus. Cele 30 de secunde în plus vă pot salva de la o eroare de calcul care se propagă.
Operații elementare pentru simplificare: Înainte de a aplica Sarrus sau Laplace, adăugați la o linie un multiplu al alteia pentru a obține zerouri. Determinantul nu se schimbă, dar calculul devine mult mai simplu.

Formule esențiale pentru determinanți

Determinant 2×2
∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
Diagonala principală minus diagonala secundară.
Regula Sarrus (3×3)
det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}
Trei diagonale ++, trei diagonale −-. Doar pentru ordinul 3!
Cofactor
Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
Semnul urmează tabloul de șah.
Dezvoltare Laplace (linia ii)
det⁡A=∑jaijAij\det A = \sum_{j} a_{ij} A_{ij}
Funcționează pe orice linie sau coloană.
Scalar scos
det⁡(λA)=λndet⁡A\det(\lambda A) = \lambda^n \det A
Factorul iese din toate nn linii.
Produs de matrice
det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B
Se deduce că det⁡(A−1)=1/det⁡A\det(A^{-1}) = 1 / \det A.
Transpusă
det⁡(AT)=det⁡A\det(A^T) = \det A
Liniile și coloanele sunt echivalente la calculul determinantului.
Matrice inversă
det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}
Rezultă din det⁡(A⋅A−1)=det⁡In=1\det(A \cdot A^{-1}) = \det I_n = 1.
Putere
det⁡(Ak)=(det⁡A)k\det(A^k) = (\det A)^k
Se aplică repetat proprietatea multiplicativă.

Capitole inrudite

MatriciSisteme de Ecuații LiniareGrupuriNumere Complexe

Exerciteaza 282 probleme de Determinanți

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 282 grile de Determinanți

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.