Clasa 10Algebră

Funcția de gradul al II-lea — Teorie, Formule si Exemple

Funcția de gradul al II-lea f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (cu a≠0a \neq 0) este unul dintre cele mai importante capitole din programa de clasa a 10-a și apare constant la Bacalaureat Matematică M1. La examen, o găsești la Subiectul I, Exercițiul 2 (5 puncte) — cu ecuații și inecuații de gradul al II-lea, calcule prin relațiile lui Viete, studiul semnului funcției și probleme cu parametri pe rădăcini. Discriminantul Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac, relațiile lui Viete și forma canonică sunt instrumente esențiale care revin la fiecare sesiune BAC. Stăpânirea acestui capitol îți dă baza și pentru studiul funcțiilor de la Subiectul III (derivate, monotonie, puncte de extrem).

Discriminantul și rădăcinile ecuației de gradul al II-lea

Ecuația de gradul al II-lea: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, cu a≠0a \neq 0. Discriminantul: Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac Formula rădăcinilor: x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} Discuție după semnul discriminantului:
  • Δ>0\Delta > 0: ecuația are două rădăcini reale distincte x1≠x2x_1 \neq x_2
  • Δ=0\Delta = 0: ecuația are o rădăcină reală dublă x1=x2=−b2ax_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}
  • Δ<0\Delta < 0: ecuația nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe conjugate)
Descompunerea trinomului (când Δ≥0\Delta \geq 0): ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)
usorExercițiu de bază
Rezolvați ecuația x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.
1
2 puncte
Identificăm a=1a = 1, b=−5b = -5, c=6c = 6. Calculăm Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1>0\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0.
2
3 puncte
Aplicăm formula: x1,2=5±12x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}, deci x1=2x_1 = 2 și x2=3x_2 = 3.
mediuExercițiu clasa a 10-a
Rezolvați ecuația 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0.
1
2 puncte
Identificăm a=2a = 2, b=3b = 3, c=−2c = -2. Calculăm Δ=9−4⋅2⋅(−2)=9+16=25>0\Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 > 0.
2
3 puncte
x1,2=−3±54x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm 5}{4}, deci x1=−3+54=12x_1 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2} și x2=−3−54=−2x_2 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2.
mediuDiscuție după discriminant
Arătați că ecuația x2−4x+5=0x^2 - 4x + 5 = 0 nu are soluții reale.
1
3 puncte
Calculăm Δ=(−4)2−4⋅1⋅5=16−20=−4<0\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0.
2
2 puncte
Deoarece Δ<0\Delta < 0, ecuația nu admite rădăcini reale.

Relațiile lui Viete — sumă și produs de rădăcini

Dacă x1,x2x_1, x_2 sunt rădăcinile ecuației ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, atunci: x1+x2=−bax1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} Relațiile lui Viete sunt adesea mai rapide decât formula rădăcinilor: dacă problema cere o expresie simetrică în x1x_1 și x2x_2, o poți calcula direct din sumă și produs, fără să afli rădăcinile individual. Expresii simetrice frecvente la BAC:
  • x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2
  • x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)
  • 1x1+1x2=x1+x2x1x2\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}
  • ∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}
Reconstituirea ecuației din rădăcini: dacă x1+x2=Sx_1 + x_2 = S și x1x2=Px_1 x_2 = P, ecuația este x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0.
mediuTip frecvent BAC
Ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0 are rădăcinile x1,x2x_1, x_2. Calculați x12+x22x_1^2 + x_2^2.
1
2 puncte
Din Viete: x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 și x1x2=1x_1 x_2 = 1.
2
3 puncte
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16−2=14x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14.
mediuBAC M1 — expresii cu Viete
Fie x1,x2x_1, x_2 rădăcinile ecuației x2−3x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0. Calculați 1x1+1x2\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}.
1
2 puncte
Din Viete: x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 și x1x2=1x_1 x_2 = 1.
2
3 puncte
1x1+1x2=x1+x2x1x2=31=3\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{3}{1} = 3.
greuBAC M1 — reconstituirea ecuației
Determinați ecuația de gradul al II-lea cu coeficienți reali ale cărei rădăcini verifică x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 și x1⋅x2=7x_1 \cdot x_2 = 7.
1
2 puncte
Ecuația cu suma S=6S = 6 și produsul P=7P = 7 este x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0.
2
3 puncte
Deci ecuația este x2−6x+7=0x^2 - 6x + 7 = 0. Verificare: Δ=36−28=8>0\Delta = 36 - 28 = 8 > 0, deci are două rădăcini reale distincte.

Graficul parabolei și forma canonică

Forma canonică (obținută prin completarea pătratului): f(x)=a(x+b2a)2−Δ4af(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a} Coordonatele vârfului parabolei: V=(−b2a,  −Δ4a)V = \left(-\frac{b}{2a},\; -\frac{\Delta}{4a}\right)
  • xV=−b2ax_V = -\dfrac{b}{2a} — abscisa vârfului, care este și axa de simetrie a parabolei
  • yV=−Δ4a=f(xV)y_V = -\dfrac{\Delta}{4a} = f(x_V) — valoarea minimă (dacă a>0a>0) sau maximă (dacă a<0a<0)
Orientarea parabolei:
  • a>0a > 0: parabolă cu ramuri în sus (forma U), vârful este punct de minim
  • a<0a < 0: parabolă cu ramuri în jos (forma inversă), vârful este punct de maxim
Intersecții cu axele:
  • Cu OyOy: punctul (0,c)(0, c) — se obține punând x=0x = 0
  • Cu OxOx: punctele (x1,0)(x_1, 0) și (x2,0)(x_2, 0) — rădăcinile ecuației f(x)=0f(x) = 0 (dacă Δ≥0\Delta \geq 0)
usorExercițiu standard clasa a 10-a
Determinați vârful parabolei f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1.
1
2 puncte
Identificăm a=2a=2, b=−4b=-4, c=1c=1. Calculăm Δ=(−4)2−4⋅2⋅1=16−8=8\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8.
2
3 puncte
xV=−−42⋅2=1x_V = -\dfrac{-4}{2 \cdot 2} = 1 și yV=−84⋅2=−1y_V = -\dfrac{8}{4 \cdot 2} = -1. Vârful este V=(1,−1)V = (1, -1).
mediuBAC M1 — valoarea maximă/minimă
Determinați valoarea maximă a funcției f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5.
1
2 puncte
Avem a=−1<0a = -1 < 0, deci parabola are ramuri în jos și funcția admite un maxim în vârf. Calculăm Δ=36−20=16\Delta = 36 - 20 = 16.
2
3 puncte
xV=−62⋅(−1)=3x_V = -\dfrac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 și yV=−164⋅(−1)=4y_V = -\dfrac{16}{4 \cdot (-1)} = 4. Valoarea maximă este f(3)=4f(3) = 4.
mediuExercițiu — forma canonică
Scrieți funcția f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11 în formă canonică.
1
2 puncte
Calculăm xV=−−62=3x_V = -\dfrac{-6}{2} = 3 și Δ=36−44=−8\Delta = 36 - 44 = -8.
2
3 puncte
Forma canonică: f(x)=1⋅(x−3)2−−84=(x−3)2+2f(x) = 1 \cdot (x - 3)^2 - \dfrac{-8}{4} = (x-3)^2 + 2. Observăm că f(x)≥2>0f(x) \geq 2 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Semnul funcției de gradul al II-lea și rezolvarea inecuațiilor

Regula generală pentru semnul trinomului (când a>0a > 0 și Δ>0\Delta > 0, cu rădăcini x1<x2x_1 < x_2):
  • f(x)<0f(x) < 0 pentru x∈(x1,x2)x \in (x_1, x_2) — parabola este sub axa OxOx între rădăcini
  • f(x)>0f(x) > 0 pentru x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) — pozitivă în exteriorul rădăcinilor
  • f(x1)=f(x2)=0f(x_1) = f(x_2) = 0
Cazuri speciale importante:
  • Δ<0\Delta < 0 și a>0a > 0: f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (parabola nu atinge axa OxOx)
  • Δ<0\Delta < 0 și a<0a < 0: f(x)<0f(x) < 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
  • Δ=0\Delta = 0 și a>0a > 0: f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu f(x)=0f(x) = 0 doar în xVx_V
  • Δ=0\Delta = 0 și a<0a < 0: f(x)≤0f(x) \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu f(x)=0f(x) = 0 doar în xVx_V
Regulă mnemonică: dacă a>0a > 0, funcția este negativă ÎNTRE rădăcini și pozitivă ÎN EXTERIOR. Dacă a<0a < 0, se inversează. Metoda tabelului de semn: (1) calculezi rădăcinile, (2) construiești tabelul cu semnul lui ff pe fiecare interval, (3) citești soluția inecuației.
mediuTip frecvent BAC, Subiectul I
Rezolvați inecuația x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0.
1
2 puncte
Rezolvăm ecuația: x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0. Δ=25−24=1\Delta = 25 - 24 = 1, rădăcinile sunt x1=2x_1 = 2 și x2=3x_2 = 3.
2
3 puncte
Deoarece a=1>0a = 1 > 0, funcția este pozitivă în exteriorul rădăcinilor: x2−5x+6>0  ⟺  x∈(−∞,2)∪(3,+∞)x^2 - 5x + 6 > 0 \iff x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty).
mediuBAC M1 — inecuație cu delta negativ
Rezolvați inecuația x2−2x+3>0x^2 - 2x + 3 > 0.
1
2 puncte
Calculăm Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0. Ecuația x2−2x+3=0x^2 - 2x + 3 = 0 nu are rădăcini reale.
2
3 puncte
Deoarece a=1>0a = 1 > 0 și Δ<0\Delta < 0, funcția este strict pozitivă pe tot R\mathbb{R}. Soluția este x∈Rx \in \mathbb{R} (orice număr real verifică inecuația).
greuBAC M1 — inecuație cu coeficient negativ
Rezolvați inecuația −2x2+8x−6≤0-2x^2 + 8x - 6 \leq 0.
1
2 puncte
Rezolvăm −2x2+8x−6=0-2x^2 + 8x - 6 = 0, sau echivalent x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 (împărțim prin −2-2, atenție la sensul inecuației!). Rădăcinile: x1=1x_1 = 1, x2=3x_2 = 3.
2
3 puncte
Revenind la inecuația inițială, a=−2<0a = -2 < 0 deci funcția este pozitivă ÎNTRE rădăcini și negativă în exterior. Cererea f(x)≤0f(x) \leq 0 dă x∈(−∞,1]∪[3,+∞)x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty).

Probleme cu parametri — condiții pe rădăcinile ecuației

Când se cere ca ecuația ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 (cu coeficienți depinzând de parametrul mm) să aibă rădăcini cu proprietăți impuse, se scriu simultan mai multe condiții: Două rădăcini reale distincte pozitive (a≠0a \neq 0):
  1. Δ>0\Delta > 0 — rădăcinile există și sunt distincte
  2. x1+x2>0x_1 + x_2 > 0 — suma este pozitivă
  3. x1⋅x2>0x_1 \cdot x_2 > 0 — produsul este pozitiv
Două rădăcini reale distincte negative:
  1. Δ>0\Delta > 0
  2. x1+x2<0x_1 + x_2 < 0
  3. x1⋅x2>0x_1 \cdot x_2 > 0 (produsul a două numere negative este pozitiv!)
Două rădăcini reale distincte cu semne opuse:
  1. Δ>0\Delta > 0
  2. x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0 (produsul negativ)
Două rădăcini reale distincte în intervalul (p,q)(p, q):
  1. Δ>0\Delta > 0
  2. a⋅f(p)>0a \cdot f(p) > 0 și a⋅f(q)>0a \cdot f(q) > 0
  3. p<xV<qp < x_V < q
Important: Rezolvi fiecare condiție separat și la final faci intersecția tuturor soluțiilor. Nu uita să impui și a≠0a \neq 0 când aa depinde de mm!
greuProblemă tip BAC cu parametri
Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care ecuația mx2−2(m+1)x+m+4=0mx^2 - 2(m+1)x + m + 4 = 0 are două rădăcini reale pozitive distincte.
1
2 puncte
Trebuie m≠0m \neq 0. Calculăm Δ=4(m+1)2−4m(m+4)=4(m2+2m+1−m2−4m)=4(1−2m)\Delta = 4(m+1)^2 - 4m(m+4) = 4(m^2+2m+1-m^2-4m) = 4(1-2m). Condiția Δ>0\Delta > 0 dă 1−2m>01-2m > 0, adică m<12m < \dfrac{1}{2}.
2
1 punct
Suma >0> 0: x1+x2=2(m+1)m>0x_1+x_2 = \dfrac{2(m+1)}{m} > 0, adică m+1m>0\dfrac{m+1}{m} > 0, deci m∈(−∞,−1)∪(0,+∞)m \in (-\infty,-1) \cup (0,+\infty).
3
1 punct
Produsul >0> 0: x1x2=m+4m>0x_1 x_2 = \dfrac{m+4}{m} > 0, deci m∈(−∞,−4)∪(0,+∞)m \in (-\infty,-4) \cup (0,+\infty).
4
1 punct
Intersecția condițiilor (m≠0m \neq 0, m<12m < \frac{1}{2}, m∈(−∞,−1)∪(0,+∞)m \in (-\infty,-1) \cup (0,+\infty), m∈(−∞,−4)∪(0,+∞)m \in (-\infty,-4) \cup (0,+\infty)): m∈(−∞,−4)∪(0,12)m \in (-\infty, -4) \cup \left(0, \dfrac{1}{2}\right).
mediuBAC M1 — rădăcini de semne opuse
Determinați valorile lui m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care ecuația x2+2mx+m−2=0x^2 + 2mx + m - 2 = 0 are două rădăcini reale de semne contrare.
1
3 puncte
Pentru rădăcini de semne contrare, este suficient ca produsul să fie negativ: x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0. Din Viete: x1x2=m−2<0x_1 x_2 = m - 2 < 0, deci m<2m < 2.
2
2 puncte
Verificăm: dacă x1x2<0x_1 x_2 < 0, atunci automat Δ>0\Delta > 0 (deoarece Δ=4m2−4(m−2)=4m2−4m+8=4(m−12)2+7>0\Delta = 4m^2 - 4(m-2) = 4m^2 - 4m + 8 = 4(m-\frac{1}{2})^2 + 7 > 0 pentru orice mm). Răspuns: m∈(−∞,2)m \in (-\infty, 2).

Natura rădăcinilor și condiții cu discriminantul

Multe probleme BAC cer să determinați valorile parametrului mm pentru care o ecuație are un anumit tip de rădăcini. Totul se reduce la semnul discriminantului: Ecuația are rădăcini reale (nu neapărat distincte): Δ≥0\Delta \geq 0 Ecuația are rădăcini reale distincte: Δ>0\Delta > 0 Ecuația are rădăcini reale egale (rădăcină dublă): Δ=0\Delta = 0 Ecuația NU are rădăcini reale: Δ<0\Delta < 0 Atenție la cazul a=0a = 0: dacă coeficientul aa depinde de mm, pentru a=0a = 0 ecuația devine de gradul I (nu mai este de gradul al II-lea). Trebuie tratat separat sau exclus din soluție.
mediuBAC M1 — condiție pe delta
Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care ecuația (m−1)x2+2mx+m+3=0(m-1)x^2 + 2mx + m + 3 = 0 are rădăcini reale distincte.
1
2 puncte
Trebuie m≠1m \neq 1 (pentru ca ecuația să fie de gradul al II-lea). Calculăm Δ=4m2−4(m−1)(m+3)=4m2−4(m2+2m−3)=−8m+12\Delta = 4m^2 - 4(m-1)(m+3) = 4m^2 - 4(m^2+2m-3) = -8m + 12.
2
3 puncte
Condiția Δ>0\Delta > 0 dă −8m+12>0-8m + 12 > 0, adică m<32m < \dfrac{3}{2}. Cu m≠1m \neq 1: m∈(−∞,32)∖{1}m \in \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right) \setminus \{1\}.
mediuExercițiu clasa a 10-a
Pentru ce valori ale lui mm ecuația x2−2mx+m2−1=0x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0 are rădăcină dublă?
1
3 puncte
Condiția Δ=0\Delta = 0: Δ=4m2−4(m2−1)=4m2−4m2+4=4\Delta = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4.
2
2 puncte
Δ=4≠0\Delta = 4 \neq 0 pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. Deci nu există nicio valoare a lui mm pentru care ecuația are rădăcină dublă.

Greșeli frecvente la funcția de gradul al II-lea

✗
Δ=b2+4ac\Delta = b^2 + 4ac
✓Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac (semnul este minus!)
O greșeală de semn la discriminant invalidează toată rezolvarea. Verifică mereu: b2b^2 MINUS 4ac4ac.
✗
Vârful parabolei este la xV=b2ax_V = \dfrac{b}{2a}
✓xV=−b2ax_V = -\dfrac{b}{2a} (nu uita semnul minus!)
Forma canonică conține termenul (x+b2a)2(x + \frac{b}{2a})^2, deci vârful este la x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.
✗
a>0a > 0 înseamnă că f(x)>0f(x) > 0 pentru orice xx
✓a>0a > 0 înseamnă că parabola are ramuri în sus, dar dacă Δ>0\Delta > 0, funcția este negativă între rădăcini
Semnul lui aa determină orientarea parabolei, nu semnul funcției pe întregul domeniu.
✗
La probleme cu parametru: rezolv doar o condiție (de exemplu doar Δ>0\Delta > 0)
✓Impui simultan toate condițiile cerute: Δ>0\Delta > 0, condiția pe sumă, condiția pe produs, apoi faci intersecția
Omiterea unei condiții duce la soluții false. De exemplu, Δ>0\Delta > 0 singur nu garantează că rădăcinile sunt pozitive.
✗
Uit să verific a≠0a \neq 0 când aa depinde de parametrul mm
✓Impun mereu a≠0a \neq 0 ca primă condiție, apoi tratez separat cazul a=0a = 0
Dacă a=0a = 0, ecuația devine de gradul I și trebuie tratată separat. Este o greșeală clasică la BAC.
✗
Împart inecuația prin aa fără să schimb sensul când a<0a < 0
✓Când împarți o inecuație prin un număr negativ, sensul inecuației se inversează
Exemplu: −2x2+4x>0-2x^2 + 4x > 0 devine x2−2x<0x^2 - 2x < 0 (nu >0> 0!) după împărțirea prin −2-2.

Sfaturi pentru examenul de Bacalaureat

Funcția de gradul al II-lea apare la Subiectul I, Exercițiul 2 (5 puncte). Cele mai frecvente cerințe: calculul cu relațiile lui Viete (x12+x22x_1^2+x_2^2, x13+x23x_1^3+x_2^3, 1x1+1x2\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}), semnul funcției, rezolvarea inecuațiilor, condiții pe rădăcini cu parametru.
Relațiile lui Viete sunt cea mai rapidă cale la BAC: x1+x2=−b/ax_1+x_2 = -b/a, x1x2=c/ax_1 x_2 = c/a. Majoritatea problemelor cer expresii simetrice care se calculează direct din sumă și produs, fără a afla x1x_1 și x2x_2 individual. Memorează formulele pentru x12+x22x_1^2 + x_2^2 și 1x1+1x2\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}.
Tabelul de semn este obligatoriu la inecuații. Nu ghici semnul funcției! Construiește sistematic: (1) găsești rădăcinile, (2) marchezi semnul lui ff pe fiecare interval, (3) citești soluția. La BAC, acest tabel este cerut explicit în barem.
La probleme cu parametri, scrie toate condițiile pe hârtie înainte de a calcula: a≠0a \neq 0, Δ>0\Delta > 0 (sau ≥0\geq 0), condiția pe sumă, condiția pe produs. Rezolvă fiecare inecuație separat, apoi intersectează. Lucrând ordonat eviți pierderea de puncte.
Verifică-ți rezultatul! Dacă ai găsit x1=2x_1 = 2, x2=3x_2 = 3 pentru x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0, verifică rapid: 2+3=5=−(−5)/12 + 3 = 5 = -(-5)/1 și 2⋅3=6=6/12 \cdot 3 = 6 = 6/1. La BAC, 30 de secunde de verificare te pot salva de la pierderea a 5 puncte.

Toate formulele pe scurt

Discriminantul
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Δ>0\Delta>0: două rădăcini reale distincte; Δ=0\Delta=0: rădăcină dublă; Δ<0\Delta<0: fără rădăcini reale.
Formula rădăcinilor
x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
Valabilă pentru orice ecuație de gradul al II-lea cu a≠0a \neq 0.
Relația lui Viete — suma rădăcinilor
x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}
Suma rădăcinilor, fără a le calcula individual.
Relația lui Viete — produsul rădăcinilor
x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}
Produsul rădăcinilor, fără a le calcula individual.
Coordonatele vârfului parabolei
V=(−b2a,  −Δ4a)V = \left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)
Punct de minim dacă a>0a>0, punct de maxim dacă a<0a<0.
Forma canonică
f(x)=a(x+b2a)2−Δ4af(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}
Obținută prin completarea pătratului. Pune în evidență vârful parabolei.
Semnul trinomului (cazul standard)
f(x)<0  ⟺  x∈(x1,x2)f(x) < 0 \iff x \in (x_1, x_2) pentru a>0a>0, Δ>0\Delta>0
Parabola cu ramuri în sus: negativă ÎNTRE rădăcini, pozitivă în exterior.
Suma pătratelor rădăcinilor
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2
Expresie simetrică frecventă la BAC, calculată direct din Viete.
Suma inverselor rădăcinilor
1x1+1x2=x1+x2x1x2\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2}
Altă expresie frecventă la BAC, calculată direct din Viete (cu x1x2≠0x_1 x_2 \neq 0).
Reconstituirea ecuației din rădăcini
x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0, unde S=x1+x2S = x_1+x_2, P=x1x2P = x_1 x_2
Construiește ecuația de gradul al II-lea cunoscând suma și produsul rădăcinilor.

Capitole inrudite

Ecuații iraționaleNumere complexeDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor

Exerciteaza 191 probleme de Funcția de gradul al II-lea

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 297 grile de Funcția de gradul al II-lea

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.