Clasa 10Geometrie

Geometrie Analitică — Teorie, Formule si Exemple

Geometria analitică este unul dintre cele mai importante capitole din programa de matematică pentru clasa a 10-a și apare frecvent la examenul de Bacalaureat, profil M1. La BAC, geometria analitică se regăsește de regulă la Subiectul I, Exercițiul 5 (5 puncte), cu cerințe privind ecuația dreptei, poziția relativă a dreptelor (paralelism, perpendicularitate), distanța de la un punct la o dreaptă, aria unui triunghi din coordonate sau ecuația cercului. Capitolul conectează algebra cu geometria: figurile geometrice sunt studiate prin coordonate carteziene și ecuații algebrice. Stăpânirea formulelor de distanță, a ecuațiilor dreptei și a ecuației cercului este esențială pentru obținerea punctajului maxim la acest exercițiu de la BAC.

Distanța dintre două puncte, mijlocul segmentului și aria triunghiului

Distanța dintre două puncte A(x1,y1)A(x_1, y_1) și B(x2,y2)B(x_2, y_2): d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} Formula rezultă din teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic format de proiecțiile punctelor pe axe. Mijlocul segmentului ABAB: M=(x1+x22,  y1+y22)M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\right) Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Aria triunghiului cu vârfurile A(xA,yA)A(x_A, y_A), B(xB,yB)B(x_B, y_B), C(xC,yC)C(x_C, y_C): A=12 ∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣\mathcal{A} = \frac{1}{2}\,|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)| Această formulă provine din dezvoltarea determinantului de ordin 3 al matricei coordonatelor. Modulul asigură că aria este pozitivă indiferent de ordinea vârfurilor.
usorExercițiu de bază
Calculați distanța dintre punctele A(1,−2)A(1, -2) și B(4,2)B(4, 2).
1
3 puncte
Aplicăm formula distanței: d(A,B)=(4−1)2+(2−(−2))2d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2}.
2
2 puncte
d(A,B)=9+16=25=5d(A,B) = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
usorExercițiu de bază
Calculați aria triunghiului cu vârfurile A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0), C(1,3)C(1,3).
1
3 puncte
Aplicăm formula: A=12∣0(0−3)+4(3−0)+1(0−0)∣\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}|0(0-3)+4(3-0)+1(0-0)|.
2
2 puncte
A=12∣0+12+0∣=6\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}|0 + 12 + 0| = 6 u.p.
mediuAntrenament BAC
Fie A(2,1)A(2, 1) și B(8,5)B(8, 5). Determinați coordonatele mijlocului MM al segmentului ABAB și verificați că d(A,M)=d(M,B)d(A,M) = d(M,B).
1
2 puncte
Mijlocul: M=(2+82,1+52)=(5,3)M = \left(\dfrac{2+8}{2}, \dfrac{1+5}{2}\right) = (5, 3).
2
2 puncte
d(A,M)=(5−2)2+(3−1)2=9+4=13d(A,M) = \sqrt{(5-2)^2+(3-1)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}.
3
1 punct
d(M,B)=(8−5)2+(5−3)2=9+4=13d(M,B) = \sqrt{(8-5)^2+(5-3)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}. Deci d(A,M)=d(M,B)d(A,M) = d(M,B) (confirmare).

Formele ecuației dreptei: explicită, punct-pantă, generală și bicanonică

Forma generală (implicită): ax+by+c=0ax + by + c = 0, unde aa și bb nu sunt simultan nuli. Forma explicită (panta-intercept): y=mx+ny = mx + n, unde mm este panta dreptei, iar nn este ordonata la origine (punctul de intersecție cu axa OyOy). Panta dreptei prin A(x1,y1)A(x_1,y_1) și B(x2,y2)B(x_2,y_2) (cu x1≠x2x_1 \neq x_2): m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} Panta reprezintă tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu axa OxOx pozitivă: m=tg⁡αm = \operatorname{tg}\alpha. Forma punct-pantă (dreapta prin A(x0,y0)A(x_0,y_0) cu pantă mm): y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) Forma bicanonică (dreapta care intersectează OxOx în (a,0)(a,0) și OyOy în (0,b)(0,b), cu a,b≠0a, b \neq 0): xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 Dreapta prin două puncte A(x1,y1)A(x_1,y_1) și B(x2,y2)B(x_2,y_2): x−x1x2−x1=y−y1y2−y1\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
usorExercițiu standard
Găsiți ecuația dreptei care trece prin A(2,1)A(2, 1) și B(5,7)B(5, 7).
1
2 puncte
Panta: m=7−15−2=63=2m = \dfrac{7-1}{5-2} = \dfrac{6}{3} = 2.
2
3 puncte
Formă punct-pantă: y−1=2(x−2)⇒y=2x−3y - 1 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 3, adică 2x−y−3=02x - y - 3 = 0.
mediuBAC M1, model
Scrieți ecuația dreptei care trece prin originea O(0,0)O(0,0) și prin punctul P(3,−6)P(3, -6).
1
2 puncte
Panta: m=−6−03−0=−2m = \dfrac{-6 - 0}{3 - 0} = -2.
2
3 puncte
Dreapta trece prin origine, deci n=0n = 0: y=−2xy = -2x, adică 2x+y=02x + y = 0.
mediuExercițiu BAC
Scrieți ecuația dreptei în formă bicanonică dacă dreapta trece prin A(3,0)A(3, 0) și B(0,4)B(0, 4).
1
2 puncte
Intersecția cu OxOx: (3,0)(3, 0), deci a=3a = 3. Intersecția cu OyOy: (0,4)(0, 4), deci b=4b = 4.
2
3 puncte
Forma bicanonică: x3+y4=1\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1, echivalent cu 4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0.

Paralelism, perpendicularitate, unghiul dintre drepte și distanța punct-dreaptă

Paralele: d1∥d2  ⟺  m1=m2d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2 (și d1≠d2d_1 \neq d_2). Perpendiculare: d1⊥d2  ⟺  m1⋅m2=−1d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1. Distanța de la punctul M(x0,y0)M(x_0, y_0) la dreapta ax+by+c=0ax+by+c=0: d(M,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} Distanța dintre două drepte paralele d1:ax+by+c1=0d_1: ax+by+c_1=0 și d2:ax+by+c2=0d_2: ax+by+c_2=0: d(d1,d2)=∣c1−c2∣a2+b2d(d_1, d_2) = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}} Unghiul dintre două drepte cu pantele m1m_1 și m2m_2 (cu 1+m1m2≠01 + m_1 m_2 \neq 0): tg⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\operatorname{tg}\theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right| Dacă 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0, dreptele sunt perpendiculare (θ=90°\theta = 90°).
usorExercițiu standard
Găsiți ecuația dreptei perpendiculare pe 2x−y+3=02x - y + 3 = 0 care trece prin A(1,2)A(1,2).
1
2 puncte
Panta dreptei date: y=2x+3y = 2x + 3, deci m1=2m_1 = 2. Panta perpendicularei: m2=−12m_2 = -\dfrac{1}{2}.
2
3 puncte
Ecuația: y−2=−12(x−1)⇒x+2y−5=0y - 2 = -\dfrac{1}{2}(x-1) \Rightarrow x + 2y - 5 = 0.
mediuBAC Model, Subiectul I
Calculați distanța de la punctul M(3,−1)M(3, -1) la dreapta 3x−4y+5=03x - 4y + 5 = 0.
1
3 puncte
Aplicăm formula: d=∣3⋅3−4⋅(−1)+5∣9+16d = \dfrac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{9+16}}.
2
2 puncte
d=∣9+4+5∣5=185d = \dfrac{|9 + 4 + 5|}{5} = \dfrac{18}{5}.
mediuAntrenament BAC
Determinați ecuația dreptei paralele cu d:3x−y+2=0d: 3x - y + 2 = 0 care trece prin punctul P(1,4)P(1, 4).
1
2 puncte
Panta dreptei dd: y=3x+2y = 3x + 2, deci m=3m = 3. Dreapta paralelă are aceeași pantă m=3m = 3.
2
3 puncte
Ecuația: y−4=3(x−1)⇒3x−y+1=0y - 4 = 3(x - 1) \Rightarrow 3x - y + 1 = 0.
mediuExercițiu tip BAC
Calculați distanța dintre dreptele paralele d1:2x−3y+6=0d_1: 2x - 3y + 6 = 0 și d2:2x−3y−7=0d_2: 2x - 3y - 7 = 0.
1
3 puncte
Dreptele au aceiași coeficienți a=2a = 2, b=−3b = -3, deci sunt paralele. Aplicăm formula: d=∣6−(−7)∣4+9d = \dfrac{|6 - (-7)|}{\sqrt{4 + 9}}.
2
2 puncte
d=1313=131313=13d = \dfrac{13}{\sqrt{13}} = \dfrac{13\sqrt{13}}{13} = \sqrt{13}.

Ecuația cercului, tangenta la cerc și poziția relativă dreaptă-cerc

Forma canonică — cerc cu centrul C(a,b)C(a,b) și raza rr: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 Forma generală: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, unde centrul este (−D2,−E2)\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right) și raza r=(D2)2+(E2)2−Fr = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F}. Condiția de existență a cercului: (D2)2+(E2)2−F>0\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{E}{2}\right)^2 - F > 0. Ecuația tangentei la cercul x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 în punctul P(x0,y0)P(x_0,y_0) de pe cerc: x0x+y0y=r2x_0 x + y_0 y = r^2 Ecuația tangentei la cercul (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 în punctul P(x0,y0)P(x_0,y_0) de pe cerc: (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) = r^2 Poziția dreptei față de cerc (cerc cu centru CC, raza rr, dreaptă dd):
  • d(C,d)<rd(C, d) < r — dreapta este secantă (intersectează cercul în 2 puncte)
  • d(C,d)=rd(C, d) = r — dreapta este tangentă (atinge cercul într-un singur punct)
  • d(C,d)>rd(C, d) > r — dreapta este exterioară (nu intersectează cercul)
mediuAntrenament M1
Găsiți centrul și raza cercului x2+y2−6x+4y−3=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0.
1
3 puncte
D=−6D = -6, E=4E = 4, F=−3F = -3. Centrul: (−−62,−42)=(3,−2)\left(-\dfrac{-6}{2}, -\dfrac{4}{2}\right) = (3, -2).
2
2 puncte
r=32+(−2)2−(−3)=9+4+3=16=4r = \sqrt{3^2 + (-2)^2 - (-3)} = \sqrt{9 + 4 + 3} = \sqrt{16} = 4.
mediuBAC M1, model
Scrieți ecuația cercului cu centrul C(2,−1)C(2, -1) și care trece prin punctul A(5,3)A(5, 3).
1
3 puncte
Raza: r=d(C,A)=(5−2)2+(3−(−1))2=9+16=5r = d(C, A) = \sqrt{(5-2)^2+(3-(-1))^2} = \sqrt{9+16} = 5.
2
2 puncte
Ecuația: (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25.
greuExercițiu tip BAC, varianta de examen
Determinați poziția dreptei d:3x+4y−10=0d: 3x + 4y - 10 = 0 față de cercul x2+y2=4x^2 + y^2 = 4.
1
3 puncte
Centrul cercului: O(0,0)O(0,0), raza r=2r = 2. Distanța de la OO la dd: d(O,d)=∣3⋅0+4⋅0−10∣9+16=105=2d(O, d) = \dfrac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{10}{5} = 2.
2
2 puncte
Deoarece d(O,d)=2=rd(O, d) = 2 = r, dreapta dd este tangentă la cerc.

Condiția de coliniaritate a trei puncte și concurența a trei drepte

Coliniaritate: Trei puncte A(xA,yA)A(x_A, y_A), B(xB,yB)B(x_B, y_B), C(xC,yC)C(x_C, y_C) sunt coliniare dacă și numai dacă: xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)=0x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) = 0 Echivalent, aria triunghiului ABCABC este zero. Concurența a trei drepte: Dreptele d1d_1, d2d_2, d3d_3 sunt concurente (se intersectează într-un singur punct) dacă sistemul format din cele trei ecuații are o soluție unică. Practic, se găsește punctul de intersecție a două drepte și se verifică dacă aparține și celei de-a treia.
usorExercițiu de bază
Verificați dacă punctele A(1,2)A(1, 2), B(3,6)B(3, 6), C(5,10)C(5, 10) sunt coliniare.
1
3 puncte
Aplicăm condiția: 1(6−10)+3(10−2)+5(2−6)=−4+24−20=01(6 - 10) + 3(10 - 2) + 5(2 - 6) = -4 + 24 - 20 = 0.
2
2 puncte
Deoarece rezultatul este 00, punctele AA, BB, CC sunt coliniare.
mediuAntrenament M1
Determinați valoarea lui k∈Rk \in \mathbb{R} pentru care punctele A(1,3)A(1, 3), B(2,5)B(2, 5), C(4,k)C(4, k) sunt coliniare.
1
2 puncte
Condiția de coliniaritate: 1(5−k)+2(k−3)+4(3−5)=01(5 - k) + 2(k - 3) + 4(3 - 5) = 0.
2
3 puncte
5−k+2k−6−8=0⇒k−9=0⇒k=95 - k + 2k - 6 - 8 = 0 \Rightarrow k - 9 = 0 \Rightarrow k = 9.

Greșeli frecvente la geometrie analitică

✗
Perpendicularitate: m1=m2m_1 = m_2. Paralelism: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1
✓Paralele: m1=m2m_1 = m_2. Perpendiculare: m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1.
Confuzia dintre paralelism și perpendicularitate este cea mai frecventă greșeală. Inversarea condițiilor duce la răspuns complet greșit.
✗
d(M,d)=∣ax0+by0+c∣d(M, d) = |ax_0 + by_0 + c| (fără împărțire la a2+b2\sqrt{a^2+b^2})
✓d(M,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M, d) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Numitorul normalizează formula. Fără el, distanța se schimbă dacă înmulțești ecuația dreptei cu o constantă.
✗
Centrul cercului din x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 este (D,E)(D, E)
✓Centrul este (−D2,−E2)\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)
Se completează la pătrat: (x+D/2)2−D2/4+…=0(x + D/2)^2 - D^2/4 + \ldots = 0, deci centrul are semn schimbat și coeficient 1/21/2.
✗
La drepte verticale, aplic m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1 pentru perpendicularitate
✓Dreapta verticală (x=ax = a) nu are pantă; perpendiculara sa este dreaptă orizontală (y=by = b)
Formula pantelor nu se aplică pentru drepte verticale. O dreaptă orizontală (m=0m=0) este perpendiculară pe orice dreaptă verticală.
✗
La aria triunghiului, uit să pun modul: A=12(xA(yB−yC)+…)\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}(x_A(y_B-y_C)+\ldots)
✓A=12 ∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|
Fără valoare absolută, aria poate ieși negativă în funcție de ordinea vârfurilor. Modulul garantează un rezultat pozitiv.
✗
Confund intersecțiile cu axele: la forma bicanonică xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1, cred că aa e pe OyOy
✓aa este abscisa intersecției cu OxOx (punctul (a,0)(a,0)), iar bb este ordonata intersecției cu OyOy (punctul (0,b)(0,b))
Verificare rapidă: dacă y=0y=0 în xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1, obținem x=ax=a (intersecția cu OxOx).

Strategii pentru geometria analitică la examenul de Bacalaureat

Geometria analitică apare la Subiectul I, Exercițiul 5 (5 puncte). Tipuri frecvente: ecuația dreptei prin două puncte, verificarea paralelismului sau perpendicularității, distanța de la punct la dreaptă, aria triunghiului din coordonate, ecuația cercului.
Forma preferată la BAC: Folosește forma generală ax+by+c=0ax+by+c=0 pentru verificarea perpendicularității și paralelismului. Forma explicită y=mx+ny=mx+n este utilă pentru calculul rapid al pantei și al ordonatei la origine.
Aria triunghiului cu formula coordonatelor este mult mai rapidă decât calculul clasic bază ×\times înălțime. Memorează formula: 12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣\dfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)| și exersează aplicarea ei directă.
Timp recomandat: Un exercițiu de geometrie analitică la Subiectul I se rezolvă în 4-6 minute. Scrie direct formula necesară (distanță, pantă, arie), nu reconstroi demonstrația de fiecare dată.
Verificare rapidă: După ce obții ecuația dreptei prin AA și BB, verifică înlocuind coordonatele ambelor puncte. Dacă ambele verifică ecuația, răspunsul este corect. Similar, la cerc, verifică că un punct de pe cerc satisface ecuația.
Atenție la cazuri particulare: Dreptele verticale (x=kx = k) nu au pantă, deci formulele cu mm nu se aplică direct. La BAC, dacă apare o dreaptă verticală, tratează separat acest caz.

Toate formulele de geometrie analitică pe scurt

Distanța AA-BB
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
Teorema lui Pitagora în plan.
Mijlocul ABAB
M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)
Media coordonatelor capetelor.
Aria triunghiului
A=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|
Formula cu determinanți. Modulul asigură valoare pozitivă.
Panta dreptei
m=y2−y1x2−x1m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Dreapta prin două puncte distincte cu x1≠x2x_1 \neq x_2.
Forma punct-pantă
y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)
Dreapta prin A(x0,y0)A(x_0,y_0) cu panta mm.
Forma bicanonică
xa+yb=1\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1
Dreapta cu intersecțiile (a,0)(a,0) pe OxOx și (0,b)(0,b) pe OyOy.
Paralele / Perpendiculare
∥:m1=m2⊥:m1m2=−1\parallel: m_1=m_2 \quad \perp: m_1 m_2=-1
Condiții pe pante pentru paralelism și perpendicularitate.
Distanța punct-dreaptă
d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Dreapta în forma ax+by+c=0ax+by+c=0, punct M(x0,y0)M(x_0,y_0).
Distanța drepte paralele
d=∣c1−c2∣a2+b2d = \dfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Dreptele ax+by+c1=0ax+by+c_1=0 și ax+by+c2=0ax+by+c_2=0.
Ecuația cercului
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Centru C(a,b)C(a,b), raza rr.
Tangenta la cerc
x0x+y0y=r2x_0 x + y_0 y = r^2
Tangenta la cercul x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 în punctul P(x0,y0)P(x_0,y_0) de pe cerc.
Coliniaritate
xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)=0x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)=0
Condiția ca AA, BB, CC să fie coliniare.

Capitole inrudite

VectoriArii și volumeTrigonometrieFuncția de gradul I

Exerciteaza 92 probleme de Geometrie Analitică

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 302 grile de Geometrie Analitică

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.