Clasa 10Algebră

Statistică Descriptivă — Teorie, Formule si Exemple

Statistica descriptivă este capitolul din clasa a 10-a care organizează și rezumă datele prin indicatori precum media, mediana, modul, varianța și abaterea standard. Deși nu apare ca subiect separat la Bacalaureat Matematica M1 (Mate-Info), este inclusă la BAC pentru profilul Tehnologic și alte profiluri. Conceptul de medie aritmetică și noțiunile de dispersie sunt utile în problemele de probabilități de la BAC M1, iar înțelegerea lor consolidează raționamentul matematic general.

Media aritmetică, mediana și modul

Media aritmetică a datelor

x_1, x_2, \ldots, x_n

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Media ponderată (fiecare valoare

x_i

cu ponderea

w_i

\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}

Mediana = valoarea din mijloc după sortarea crescătoare.

$n$ impar: termenul de rang $\dfrac{n+1}{2}$
$n$ par: media termenilor de rang $\dfrac{n}{2}$ și $\dfrac{n}{2}+1$

Modul (moda) = valoarea cu cea mai mare frecvență. Un set poate fi amodal, unimodal sau bimodal.

usorExercițiu de bază

Calculați media, mediana și modul pentru:

3, 7, 5, 3, 9, 5, 3, 8

2 puncte

Media:

\bar{x} = \dfrac{3+7+5+3+9+5+3+8}{8} = \dfrac{43}{8} = 5{,}375

2 puncte

Mediana: Sortăm:

3, 3, 3, 5, 5, 7, 8, 9

n=8

(par), mediana

= \dfrac{5+5}{2} = 5

1 punct

Modul: Valoarea 3 apare de 3 ori (cel mai frecvent) → modul

= 3

mediuExercițiu cu date grupate

Notele la un test ale unui grup de 10 elevi sunt:

4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10

. Calculați media, mediana și modul.

2 puncte

Media:

\bar{x} = \dfrac{4+5+5+6+7+7+7+8+9+10}{10} = \dfrac{68}{10} = 6{,}8

2 puncte

Mediana: Datele sunt deja ordonate,

n = 10

(par). Mediana

= \dfrac{x_5 + x_6}{2} = \dfrac{7 + 7}{2} = 7

1 punct

Modul: Valoarea

7

apare de 3 ori (cel mai frecvent) → modul

= 7

. Observăm că media (

6{,}8

) < mediana (

7

) = modul (

7

), ceea ce indică o distribuție ușor asimetrică la stânga.

Varianța și abaterea standard

Amplitudinea:

R = x_{\max} - x_{\min}

— cel mai simplu indicator, sensibil la valori extreme. Varianța populației (media pătratelor abaterilor față de medie):

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

Formula simplificată (utilă pentru calcule):

\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2

Abaterea standard:

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

— în aceleași unități ca datele. Varianța eșantionului (corecția Bessel, pentru estimare statistică):

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

mediuExercițiu de antrenament

Calculați varianța și abaterea standard pentru datele:

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

1 punct

Media:

\bar{x} = \dfrac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \dfrac{40}{8} = 5

2 puncte

\sigma^2 = \dfrac{(2-5)^2+(4-5)^2+(4-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{8}

2 puncte

\sigma^2 = \dfrac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8} = \dfrac{32}{8} = 4

\sigma = \sqrt{4} = 2

mediuExercițiu cu formula simplificată

Calculați varianța pentru datele

1, 3, 5, 7

folosind formula simplificată

\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2

2 puncte

Media:

\bar{x} = \dfrac{1+3+5+7}{4} = \dfrac{16}{4} = 4

. Pătratul mediei:

\bar{x}^2 = 16

2 puncte

Media pătratelor:

\overline{x^2} = \dfrac{1^2+3^2+5^2+7^2}{4} = \dfrac{1+9+25+49}{4} = \dfrac{84}{4} = 21

1 punct

\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 21 - 16 = 5

. Abaterea standard:

\sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}24

Frecvențe absolute, relative și tabelul de distribuție

Frecvența absolută

n_i

= numărul de apariții ale valorii

x_i

. Frecvența relativă

f_i = \dfrac{n_i}{n}

, cu

\sum f_i = 1

(sau

100\%

). Media din tabel de frecvențe:

\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \sum f_i x_i

Tipuri de reprezentări grafice: histogramă (date continue, grupe de clase), diagrama cu bare (date discrete), diagrama circulară (proporții procentuale).

mediuExercițiu cu tabel de frecvențe

Un lot de 20 de produse are notele de calitate: nota 5 apare de 2 ori, nota 7 de 8 ori, nota 9 de 10 ori. Calculați media.

3 puncte

Media ponderată:

\bar{x} = \dfrac{2 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 10 \cdot 9}{2+8+10} = \dfrac{10+56+90}{20}

2 puncte

\bar{x} = \dfrac{156}{20} = 7{,}8

mediuExercițiu cu frecvențe relative

Într-un sondaj, elevii au fost întrebați câte ore pe zi petrec la sport. Răspunsurile: 0 ore — 5 elevi, 1 oră — 12 elevi, 2 ore — 8 elevi, 3 ore — 5 elevi. Calculați frecvențele relative, media și mediana.

2 puncte

Total:

n = 5 + 12 + 8 + 5 = 30

. Frecvențe relative:

f_0 = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}

f_1 = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}

f_2 = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}

f_3 = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}

. Verificare:

\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{1}{6} = 1

✓.

2 puncte

Media:

\bar{x} = \dfrac{0 \cdot 5 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{30} = \dfrac{0 + 12 + 16 + 15}{30} = \dfrac{43}{30} \approx 1{,}43

ore.

1 punct

Mediana:

n = 30

(par), mediana este media termenilor de rang 15 și 16. Frecvențe cumulate:

5, 17, 25, 30

. Termenii 15 și 16 sunt ambele în grupa „1 oră" (pozițiile 6-17). Mediana

= 1

oră.

Greșeli frecvente

✗

Media este întotdeauna o valoare din setul de date

✓Media poate fi un număr care nu apare în set (ex: media lui 3, 4, 5 este 4, dar media lui 3, 5, 7 este 5 — care apare, iar media lui 2, 7 este 4{,}5 — care nu apare)

Media este un calcul matematic, nu o observație. Poate fi și un număr zecimal, chiar și pentru date întregi.

✗

Varianța și abaterea standard sunt același lucru

✓Varianța

\sigma^2

are unități pătrate; abaterea standard

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

are aceleași unități ca datele

Dacă datele sunt în cm, varianța e în cm², abaterea standard în cm. Se preferă

\sigma

pentru interpretare practică.

✗

La mediana cu

n

par: aleg unul din cei doi termeni din mijloc

✓La

n

par: mediana = media aritmetică a celor doi termeni din mijloc (de rang

n/2

și

n/2+1

)

Nu se alege niciunul dintre cei doi; se calculează media lor. Dacă termenii sunt egali, mediana = acea valoare.

✗

Uit să sortez datele înainte de a calcula mediana

✓Mediana se calculează DUPĂ sortarea crescătoare a datelor

Mediana este valoarea din mijlocul seriei ORDONATE. Fără sortare, termenul din mijloc nu are nicio semnificație statistică.

Statistica la examenul de Bac

La Bac M1 (Mate-Info): Statistica descriptivă NU apare ca subiect separat. Nu vei fi testat explicit pe varianță sau mediană la Bac M1. Totuși, media aritmetică apare în probleme numerice și în contexte de probabilități.

La profilul Tehnologic: Statistica apare explicit. Exercițiile cer calculul mediei, medianei, modului și frecvențelor din tabele de date. Antrenează-te cu tabele de frecvențe și formula mediei ponderate.

Formula simplificată pentru varianță:

\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2

— calculezi separat media pătratelor și pătratul mediei. Este mai rapidă decât calculul individual al abaterilor, mai ales cu multe date.

Verificare rapidă: Suma frecvențelor relative trebuie să fie 1 (sau

100\%

). Dacă nu, ai o eroare la calculul frecvențelor. Folosește această proprietate pentru auto-verificare.

Toate formulele pe scurt

Media aritmetică

\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

Suma valorilor împărțită la numărul de valori.

Media ponderată

\bar{x}_w = \dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}

Fiecare valoare contribuie proporțional cu ponderea sa.

Amplitudinea

R = x_{\max} - x_{\min}

Cel mai simplu indicator de dispersie.

Varianța (populație)

\sigma^2 = \dfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2

Media pătratelor abaterilor față de medie.

Varianță — formulă simplificată

\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2

Media pătratelor minus pătratul mediei.

Abaterea standard

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

Rădăcina varianței; în aceleași unități ca datele.

Frecvența relativă

f_i = \dfrac{n_i}{n}

\quad \sum f_i = 1

Proporția aparițiilor valorii

x_i

în total.

Capitole inrudite

Probabilități Procente Combinatorică Matematică Financiară

Exerciteaza 107 probleme de Statistică Descriptivă

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 293 grile de Statistică Descriptivă

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică Descriptivă cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.