Clasa 10Algebră

Combinatorică — Teorie, Formule si Exemple

Combinatorica este capitolul din programa de clasa a 10-a care dezvoltă metodele sistematice de numărare: permutări, aranjamente, combinări și binomul lui Newton. La examenul de Bacalaureat la Matematică M1, combinatorica apare aproape în fiecare sesiune la Subiectul I, Exercițiul 4 (5 puncte), fie ca problemă de numărare directă, fie în legătură cu probabilitățile sau cu dezvoltarea binomială. Stăpânirea formulelor CnkC_n^k, AnkA_n^k și PnP_n, împreună cu principiile de numărare și identitățile binomiale, este esențială pentru un punctaj complet. Acest capitol face și legătura cu probabilitățile clasice, unde combinările se folosesc pentru a calcula cazuri favorabile și cazuri posibile.

Factorialul unui număr natural

Factorialul lui nn (notat n!n!) este produsul tuturor numerelor naturale de la 11 la nn: n!=1⋅2⋅3⋯n,n∈N∗,0!=1 (prin convenție)n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n, \quad n \in \mathbb{N}^*, \qquad 0! = 1 \text{ (prin convenție)} Valori uzuale (de memorat): 1!=11!=1, 2!=22!=2, 3!=63!=6, 4!=244!=24, 5!=1205!=120, 6!=7206!=720, 7!=50407!=5040, 10!=3 628 80010!=3\,628\,800. Recurența fundamentală: n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! — utilă pentru simplificări în fracții cu factoriale. Proprietăți importante:
  • n!n! este mereu un număr par pentru n≥2n \geq 2
  • n!n! este divizibil cu orice număr natural ≤n\leq n
  • Pentru simplificări, se scrie factorialul mai mare în funcție de cel mai mic: 8!=8⋅7⋅6!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!
usorExercițiu de bază
Simplificați 8!6!\dfrac{8!}{6!}.
1
5 puncte
Scriem 8!=8⋅7⋅6!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!, deci 8!6!=8⋅7⋅6!6!=8⋅7=56\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 8 \cdot 7 = 56.
mediuExercițiu de antrenament
Calculați 10!8!⋅2!+7!5!\dfrac{10!}{8! \cdot 2!} + \dfrac{7!}{5!}.
1
3 puncte
Prima fracție: 10!8!⋅2!=10⋅9⋅8!8!⋅2=10⋅92=45\dfrac{10!}{8! \cdot 2!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45.
2
1 punct
A doua fracție: 7!5!=7⋅6⋅5!5!=7⋅6=42\dfrac{7!}{5!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42.
3
1 punct
Rezultat: 45+42=8745 + 42 = 87.

Permutări — aranjarea tuturor elementelor

Permutările numără în câte moduri poți aranja toate cele nn elemente distincte ale unei mulțimi: Pn=n!P_n = n! Interpretare: Pe prima poziție ai nn alegeri, pe a doua n−1n-1, ..., pe ultima 11. Deci Pn=n⋅(n−1)⋅…⋅1=n!P_n = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1 = n!. Când folosești permutări: Când trebuie să aranjezi TOATE elementele dintr-o mulțime (de exemplu, ordinea în care se așază persoanele pe un rând).
usorExercițiu de bază
În câte moduri se pot așeza 5 elevi pe un rând?
1
5 puncte
Aranjăm toate cele 5 elemente → permutări: P5=5!=120P_5 = 5! = 120 moduri.
mediuExercițiu cu restricție
În câte moduri se pot aranja literele cuvântului BACUL astfel încât B și L să nu fie pe pozițiile extreme (prima și ultima)?
1
1 punct
Total aranjamente fără restricții: P5=5!=120P_5 = 5! = 120.
2
2 puncte
Aranjamente cu B și L pe pozițiile extreme: B pe prima și L pe ultima, sau L pe prima și B pe ultima → 22 variante pentru extreme. Restul de 3 litere se aranjează în 3!=63! = 6 moduri.
3
1 punct
Aranjamente nefavorabile: 2⋅6=122 \cdot 6 = 12.
4
1 punct
Aranjamente favorabile: 120−12=108120 - 12 = 108.

Aranjamente și combinări — selecția a k elemente din n

Aranjamente — alegi kk elemente din nn și ordinea contează: Ank=n!(n−k)!=n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) Combinări — alegi kk elemente din nn și ordinea NU contează: Cnk=n!k!(n−k)!=Ankk!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!} Proprietăți esențiale ale combinărilor:
  • Cn0=Cnn=1C_n^0 = C_n^n = 1 (nu alegi nimic sau alegi tot)
  • Cn1=nC_n^1 = n (alegi un singur element)
  • Simetria: Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k} (a alege kk elemente echivalează cu a lăsa n−kn-k)
  • Recurența lui Pascal: Cnk=Cn−1k−1+Cn−1kC_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k
Cum alegi formula corectă: Întreabă-te: dacă schimb ordinea elementelor selectate, obțin o situație diferită? Da → aranjament (AnkA_n^k). Nu → combinare (CnkC_n^k).
usorExercițiu standard
Câte comitete de 3 persoane se pot forma dintr-un grup de 8 persoane?
1
5 puncte
Ordinea în comitet nu contează → combinări: C83=8!3!⋅5!=8⋅7⋅63⋅2⋅1=56C_8^3 = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56.
mediuAntrenament M1
Câte numere de 4 cifre distincte se pot forma cu cifrele {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} astfel încât numărul să fie par?
1
2 puncte
Numărul este par → ultima cifră este 22 sau 44 (2 variante).
2
2 puncte
Primele 3 cifre: alese din cele 4 cifre rămase, în ordine → A43=4⋅3⋅2=24A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 variante.
3
1 punct
Total: 2×24=482 \times 24 = 48 numere.
mediuBac — Subiectul I
Dintr-o clasă de 20 de elevi trebuie ales un grup de 4 elevi care să conțină exact 2 fete, știind că în clasă sunt 12 băieți și 8 fete. În câte moduri se poate face selecția?
1
2 puncte
Alegem 2 fete din 8: C82=8!2!⋅6!=8⋅72=28C_8^2 = \dfrac{8!}{2! \cdot 6!} = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28.
2
2 puncte
Alegem 2 băieți din 12: C122=12!2!⋅10!=12⋅112=66C_{12}^2 = \dfrac{12!}{2! \cdot 10!} = \dfrac{12 \cdot 11}{2} = 66.
3
1 punct
Prin principiul înmulțirii: 28×66=184828 \times 66 = 1848 moduri.

Principiile adunării, înmulțirii și complementarului

Principiul adunării: Dacă un eveniment se poate produce în mm moduri SAU în nn moduri (cazuri disjuncte, fără suprapunere), atunci total sunt m+nm + n moduri. Principiul înmulțirii: Dacă un prim pas se face în mm moduri și, independent, un al doilea pas în nn moduri, atunci ambii pași împreună se fac în m⋅nm \cdot n moduri. Principiul complementarului: Uneori e mult mai ușor să numeri ce NU vrei și să scazi din total: Cazuri favorabile=Total−Cazuri nefavorabile\text{Cazuri favorabile} = \text{Total} - \text{Cazuri nefavorabile} Complementarul este tehnica-cheie pentru probleme de tipul „cel puțin un element cu o proprietate", „cel puțin o vocală", „cel puțin o cifră pară" etc.
mediuProblemă de numărare
Câte șiruri de 3 litere din {A,B,C,D}\{A, B, C, D\} (cu repetiție permisă) conțin cel puțin o literă AA?
1
2 puncte
Total șiruri de 3 litere (cu repetiție): 43=644^3 = 64.
2
2 puncte
Șiruri fără nicio literă AA (din {B,C,D}\{B, C, D\}): 33=273^3 = 27.
3
1 punct
Prin complementar, cel puțin un AA: 64−27=3764 - 27 = 37.
mediuAntrenament BAC
Câte numere naturale de 3 cifre au toate cifrele distincte?
1
2 puncte
Cifra sutelor: 99 variante (de la 11 la 99, nu poate fi 00).
2
1 punct
Cifra zecilor: 99 variante (orice cifră din {0,1,...,9}\{0,1,...,9\} mai puțin cifra sutelor).
3
1 punct
Cifra unităților: 88 variante (mai puțin cele două cifre deja folosite).
4
1 punct
Prin principiul înmulțirii: 9⋅9⋅8=6489 \cdot 9 \cdot 8 = 648 numere.

Binomul lui Newton — dezvoltarea puterii unei sume

Formula binomului lui Newton dezvoltă (a+b)n(a+b)^n ca sumă de n+1n+1 termeni: (a+b)n=∑k=0nCnk an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, a^{n-k} b^k Termenul general (termenul de rang k+1k+1, cu kk pornind de la 00): Tk+1=Cnk an−kbkT_{k+1} = C_n^k \, a^{n-k} b^k Identități fundamentale (de memorat):
  • ∑k=0nCnk=2n\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n (se obține din (1+1)n(1+1)^n)
  • ∑k=0n(−1)kCnk=0\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0 (se obține din (1−1)n(1-1)^n)
  • Suma coeficienților pe ranguri pare = suma pe ranguri impare: Cn0+Cn2+…=Cn1+Cn3+…=2n−1C_n^0 + C_n^2 + \ldots = C_n^1 + C_n^3 + \ldots = 2^{n-1}
Recurența lui Pascal: Cnk=Cn−1k−1+Cn−1kC_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k — permite construirea triunghiului lui Pascal rând cu rând.
mediuBac Model — Subiectul I
Găsiți termenul care nu conține xx (termenul liber) din dezvoltarea (x2+1x)9\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^9.
1
3 puncte
Termenul general: Tk+1=C9k(x2)9−k(1x)k=C9k⋅x18−2k⋅x−k=C9k⋅x18−3kT_{k+1} = C_9^k (x^2)^{9-k} \left(\dfrac{1}{x}\right)^k = C_9^k \cdot x^{18-2k} \cdot x^{-k} = C_9^k \cdot x^{18-3k}.
2
1 punct
Termenul liber: puterea lui xx este 00, deci 18−3k=0⇒k=618-3k = 0 \Rightarrow k = 6.
3
1 punct
T7=C96=C93=9⋅8⋅73!=5046=84T_7 = C_9^6 = C_9^3 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} = \dfrac{504}{6} = 84.
mediuBac 2024 — Subiectul I
Determinați coeficientul lui x3x^3 în dezvoltarea (1+x)7(1+x)^7.
1
2 puncte
Identificăm a=1a=1, b=xb=x, n=7n=7. Termenul general: Tk+1=C7k⋅17−k⋅xk=C7k⋅xkT_{k+1} = C_7^k \cdot 1^{7-k} \cdot x^k = C_7^k \cdot x^k.
2
3 puncte
Termenul cu x3x^3: k=3k = 3, deci coeficientul este C73=7⋅6⋅53!=2106=35C_7^3 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \dfrac{210}{6} = 35.
greuBac — Subiectul I (variantă avansată)
Calculați suma C100+C101+C102+…+C1010C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + \ldots + C_{10}^{10}.
1
3 puncte
Aplicăm identitatea ∑k=0nCnk=2n\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n cu n=10n = 10.
2
2 puncte
Rezultat: 210=10242^{10} = 1024.

Ecuații și inecuații cu permutări, aranjamente și combinări

La BAC și în culegeri apar frecvent ecuații de forma: Cn2=15,An3=60,Pn=120C_n^2 = 15, \quad A_n^3 = 60, \quad P_n = 120 Metoda de rezolvare:
  1. Se înlocuiește formula (ex. Cn2=n(n−1)2C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}) și se obține o ecuație în nn.
  2. Se rezolvă ecuația (de regulă ecuație de gradul al II-lea).
  3. Se verifică condițiile: n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și n≥kn \geq k (pentru AnkA_n^k sau CnkC_n^k).
Relația-cheie: Cnk=Ankk!C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!}, deci Ank=k!⋅CnkA_n^k = k! \cdot C_n^k.
mediuExercițiu frecvent la BAC
Rezolvați ecuația Cn2=28C_n^2 = 28.
1
2 puncte
Cn2=n(n−1)2=28⇒n(n−1)=56C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2} = 28 \Rightarrow n(n-1) = 56.
2
2 puncte
n2−n−56=0⇒Δ=1+224=225⇒n=1+152=8n^2 - n - 56 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 + 224 = 225 \Rightarrow n = \dfrac{1 + 15}{2} = 8 (soluția negativă n=−7n = -7 se respinge).
3
1 punct
Verificăm: C82=8⋅72=28C_8^2 = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28 ✓. Deci n=8n = 8.
mediuAntrenament M1
Determinați n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât An3=4⋅Cn2A_n^3 = 4 \cdot C_n^2.
1
2 puncte
Scriem formulele: An3=n(n−1)(n−2)A_n^3 = n(n-1)(n-2) și Cn2=n(n−1)2C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}.
2
2 puncte
Ecuația devine n(n−1)(n−2)=4⋅n(n−1)2=2n(n−1)n(n-1)(n-2) = 4 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1). Pentru n≥3n \geq 3, simplificăm cu n(n−1)≠0n(n-1) \neq 0: n−2=2n - 2 = 2, deci n=4n = 4.
3
1 punct
Verificare: A43=4⋅3⋅2=24A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24, 4⋅C42=4⋅6=244 \cdot C_4^2 = 4 \cdot 6 = 24 ✓. Deci n=4n = 4.

Greșeli frecvente la combinatorică

✗
Confundă aranjamentele cu combinările
✓Dacă ordinea contează → AnkA_n^k. Dacă ordinea nu contează → CnkC_n^k.
Întreabă-te: dacă schimb ordinea elementelor selectate, obțin o situație diferită? Da → aranjament. Nu → combinare. De exemplu, un comitet de 3 persoane este combinare, dar un clasament de 3 persoane este aranjament.
✗
Formula combinărilor scrisă greșit: Cnk=n!k!C_n^k = \dfrac{n!}{k!}
✓Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} — se împarte la ambii factori
Formula combinărilor are doi factori la numitor: k!k! și (n−k)!(n-k)!. Uitarea factorului (n−k)!(n-k)! dă un rezultat mult mai mare decât cel corect.
✗
La binomul lui Newton: termenul de rang kk este Tk=Cnkan−kbkT_k = C_n^k a^{n-k} b^k
✓Termenul de rang k+1k+1 este Tk+1=Cnkan−kbkT_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k (indicele kk pornește de la 0)
Primul termen se obține cu k=0k=0 și este T1=Cn0an=anT_1 = C_n^0 a^n = a^n. Dacă confunzi rangul cu indicele, vei obține un termen diferit. La BAC, această eroare costă puncte la determinarea termenului liber sau a coeficientului.
✗
Simetria combinărilor: Cnk=Cnk+1C_n^k = C_n^{k+1}
✓Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k} (simetria corectă)
Simetria spune că a alege kk elemente echivalează cu a lăsa n−kn-k elemente. Dacă k>n/2k > n/2, poți calcula mai simplu Cnn−kC_n^{n-k}. De exemplu: C108=C102=45C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45.
✗
Se uită de 0!=10! = 1 și scriu 0!=00! = 0
✓0!=10! = 1 este o convenție fundamentală
Convenția 0!=10! = 1 asigură consistența formulelor. De exemplu, Cn0=n!0!⋅n!=1C_n^0 = \dfrac{n!}{0! \cdot n!} = 1 funcționează doar dacă 0!=10! = 1. Greșeala 0!=00! = 0 duce la împărțire la 00.
✗
Numără de două ori aceleași situații (supranumărare)
✓Verifică dacă nu ai cazuri care se suprapun; dacă da, scade intersecția
Principiul adunării funcționează doar pentru cazuri disjuncte. Dacă mulțimile se suprapun, folosește formula incluziune-excludere: ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.

Strategii pentru combinatorică la examenul de Bacalaureat

Combinatorica apare la Subiectul I, Exercițiul 4 (5 puncte). Tipuri frecvente: calcul direct de CnkC_n^k sau AnkA_n^k în probleme de numărare, termenul general al binomului (termen liber sau coeficientul lui xmx^m), ecuații combinatorice (Cn2=15C_n^2 = 15), și numărul de funcții sau submulțimi cu proprietăți date.
Termenul general — algoritm standard: (1) Scrie Tk+1=Cnkan−kbkT_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k; (2) Simplifică puterile lui xx într-un singur exponent; (3) Egalează exponentul cu 00 (termen liber) sau cu mm (coeficientul lui xmx^m); (4) Rezolvă ecuația în kk; (5) Înlocuiește kk pentru a calcula termenul.
Identitatea Cn0+Cn1+…+Cnn=2nC_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n apare frecvent la Subiectul I și se demonstrează din (1+1)n=2n(1+1)^n = 2^n. Varianta alternată ∑(−1)kCnk=0\sum (-1)^k C_n^k = 0 vine din (1−1)n=0(1-1)^n = 0. Memorează ambele identități.
Simplificarea factorialelor: Nu calcula n!n! complet — simplifică fracțiile înainte. De exemplu, 12!10!⋅2!=12⋅112=66\dfrac{12!}{10! \cdot 2!} = \dfrac{12 \cdot 11}{2} = 66. Calculul lui 12!=479 001 60012! = 479\,001\,600 este inutil și predispune la erori.
Timp recomandat: Un exercițiu de combinatorică de 5 puncte trebuie rezolvat în 4-6 minute. Identifică rapid tipul (P, A sau C), aplică formula, simplifică. Nu pierde timp scriind fracții cu factoriale mari.

Formularul complet de combinatorică

Factorialul
n!=1⋅2⋯nn! = 1 \cdot 2 \cdots n, 0!=1\quad 0! = 1
Recurență: n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!
Permutări
Pn=n!P_n = n!
Toate cele nn elemente aranjate pe nn poziții.
Aranjamente
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}
kk elemente din nn, ordinea contează.
Combinări
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
kk elemente din nn, ordinea nu contează.
Legătura A-C
Ank=k!⋅CnkA_n^k = k! \cdot C_n^k
Aranjamentele sunt combinări ordonate.
Simetria combinărilor
Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}
Utilă când k>n/2k > n/2: calculezi Cnn−kC_n^{n-k} mai simplu.
Recurența lui Pascal
Cnk=Cn−1k−1+Cn−1kC_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k
Baza triunghiului lui Pascal.
Binomul lui Newton
(a+b)n=∑k=0nCnk an−kbk(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k \, a^{n-k} b^k
Dezvoltarea cu n+1n+1 termeni.
Termenul general (Newton)
Tk+1=Cnk an−kbkT_{k+1} = C_n^k \, a^{n-k} b^k
kk pornește de la 00; primul termen este T1T_1.
Suma combinărilor
∑k=0nCnk=2n\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n
Din (1+1)n=2n(1+1)^n = 2^n.
Suma alternată
∑k=0n(−1)kCnk=0\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0
Din (1−1)n=0(1-1)^n = 0.

Capitole inrudite

ProbabilitățiNumere complexeProgresii aritmetice

Exerciteaza 171 probleme de Combinatorică

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 298 grile de Combinatorică

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.