Clasa 10Algebră

Probabilități — Teorie, Formule si Exemple

Probabilitățile fac parte din programa de clasa a 10-a și apar constant la Bacalaureat Matematică M1, de regulă la Subiectul I (5 puncte). Acest capitol măsoară șansa de producere a unui eveniment, cu valori între 0 (imposibil) și 1 (sigur). Problemele de la BAC combină aproape întotdeauna probabilitățile cu combinatorica — se folosesc combinări

C_n^k

sau aranjamente

A_n^k

pentru a număra cazurile favorabile și cele posibile. Stăpânirea regulii complementarului, a evenimentelor independente și a schemei lui Bernoulli este esențială pentru rezolvarea rapidă și corectă a exercițiilor de la examen.

Definiția clasică a probabilității și proprietăți fundamentale

Spațiul eșantionului

\Omega

= mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleator. Un eveniment este orice submulțime

A \subseteq \Omega

. Probabilitatea clasică (cazuri echiprobabile):

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{numărul de cazuri favorabile}}{\text{numărul total de cazuri posibile}}

Proprietăți fundamentale:

$0 \leq P(A) \leq 1$ pentru orice eveniment $A$
$P(\Omega) = 1$ (evenimentul sigur)
$P(\emptyset) = 0$ (evenimentul imposibil)
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ (probabilitatea evenimentului contrar)

Atenție: Formula clasică se aplică doar când toate rezultatele din

\Omega

sunt echiprobabile (au aceeași șansă de apariție).

usorExercițiu de bază

O urnă conține 3 bile roșii și 5 bile albe. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie?

2 puncte

Determinăm spațiul eșantionului:

|\Omega| = 3 + 5 = 8

bile, toate cu aceeași șansă de extragere.

1 punct

Cazuri favorabile (bile roșii):

|A| = 3

2 puncte

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{3}{8}

usorExercițiu de bază

Se aruncă un zar. Care este probabilitatea ca rezultatul să fie un număr par?

2 puncte

\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

, deci

|\Omega| = 6

1 punct

Evenimentul favorabil:

A = \{2, 4, 6\}

, deci

|A| = 3

2 puncte

P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Reuniunea, intersecția și complementarul evenimentelor

Complementarul (evenimentul contrar):

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Extrem de util când evenimentul „cel puțin unu" e greu de calculat direct:

P(\text{cel puțin unu}) = 1 - P(\text{niciunul})

Reuniunea (formula incluziunii și excluderii):

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Dacă

A

și

B

sunt mutual exclusive (incompatibile,

A \cap B = \emptyset

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Intersecția pentru evenimente independente:

A, B \text{ independente} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Două evenimente sunt independente dacă producerea unuia nu influențează probabilitatea celuilalt.

mediuBac M1, Subiectul I

Din 5 băieți și 3 fete se alege un comitet de 3 persoane. Care este probabilitatea ca în comitet să fie cel puțin o fată?

1 punct

Total moduri de a alege comitetul:

|\Omega| = C_8^3 = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = 56

2 puncte

Folosim complementarul. Evenimentul contrar

\bar{A}

: „nicio fată" = „toți 3 sunt băieți".

|\bar{A}| = C_5^3 = 10

2 puncte

P(\bar{A}) = \dfrac{10}{56} = \dfrac{5}{28}

. Deci

P(A) = 1 - \dfrac{5}{28} = \dfrac{23}{28}

mediuExercițiu de antrenament

Într-o clasă, probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să practice fotbal este

0{,}4

, să practice baschet este

0{,}3

, iar să practice ambele sporturi este

0{,}1

. Care este probabilitatea ca elevul să practice cel puțin un sport?

1 punct

Fie

A

= „practică fotbal",

B

= „practică baschet". Avem

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}3

P(A \cap B) = 0{,}1

3 puncte

Aplicăm formula reuniunii:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}6

1 punct

Probabilitatea ca elevul să practice cel puțin un sport este

0{,}6

Probabilitatea condiționată și regula înmulțirii

Probabilitatea lui $A$ condiționată de $B$ (probabilitatea ca

A

să se producă, știind că

B

s-a produs):

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0

De aici rezultă regula înmulțirii (utilă la extrageri succesive fără întoarcere):

P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)

Formula probabilității totale (dacă

B_1, B_2, \ldots, B_n

formează o partiție a lui

\Omega

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)

Cazul simplu (partiție cu

B

și

\bar{B}

P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\bar{B}) \cdot P(\bar{B})

mediuExercițiu de antrenament

Dintr-un pachet de 52 de cărți de joc se extrag două cărți pe rând, fără întoarcere. Care este probabilitatea ca ambele să fie ași?

2 puncte

Fie

A_1

= „prima carte este as" și

A_2

= „a doua carte este as".

P(A_1) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}

2 puncte

Condiționat de

A_1

: rămân 3 ași din 51 de cărți.

P(A_2 | A_1) = \dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{17}

1 punct

P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{17} = \dfrac{1}{221}

mediuBac M1, Subiectul I

O cutie conține 4 bile albe și 6 bile negre. Se extrag 2 bile pe rând, fără întoarcere. Care este probabilitatea ca prima bilă să fie albă și a doua neagră?

2 puncte

Fie

A

= „prima bilă albă",

B

= „a doua bilă neagră".

P(A) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

2 puncte

Dacă prima a fost albă, rămân 3 albe și 6 negre (9 bile).

P(B|A) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}

1 punct

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{15}

Schema lui Bernoulli pentru probe independente repetate

Se aplică când avem

n

probe independente, fiecare cu aceeași probabilitate de succes

p

(și de eșec

q = 1-p

). Probabilitatea de a obține exact $k$ succese din

n

probe:

P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, 2, \ldots, n\}

Cum se recunoaște la BAC:

Experimentul se repetă de $n$ ori în condiții identice
Rezultatele probelor sunt independente
La fiecare probă, probabilitatea de succes este aceeași ( $p$ )
Se cere probabilitatea de a obține exact $k$ succese

Cazuri speciale:

$P(X = 0) = (1-p)^n$ — niciun succes
$P(X = n) = p^n$ — toate succese
$P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$ — cel puțin un succes (complementar!)

mediuBac M1 Model, Subiectul I

Se aruncă un zar de 4 ori. Care este probabilitatea de a obține exact 2 rezultate de „6"?

1 punct

Identificăm parametrii:

n = 4

probe,

k = 2

succese,

p = \dfrac{1}{6}

1-p = \dfrac{5}{6}

2 puncte

P(X=2) = C_4^2 \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = 6 \cdot \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{25}{36}

2 puncte

P(X=2) = \dfrac{6 \cdot 25}{1296} = \dfrac{150}{1296} = \dfrac{25}{216}

mediuBac M1, Subiectul I

O monedă este aruncată de 5 ori. Care este probabilitatea de a obține cel puțin un rezultat de „cap"?

2 puncte

Folosim complementarul:

P(\text{cel puțin un cap}) = 1 - P(\text{niciun cap})

2 puncte

P(\text{niciun cap}) = P(X=0) = C_5^0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}

1 punct

P(\text{cel puțin un cap}) = 1 - \dfrac{1}{32} = \dfrac{31}{32}

Probleme de probabilități cu combinatorică la BAC

Majoritatea problemelor de probabilitate de la BAC se rezolvă prin numărare cu ajutorul formulelor de combinatorică: Când folosești combinări

C_n^k

: ordinea NU contează (comitete, grupe, selecții). Când folosești aranjamente

A_n^k

: ordinea CONTEAZĂ (șiruri, coduri, clasamente). Schema generală de rezolvare:

Identifică spațiul eșantionului $\Omega$ și calculează $|\Omega|$
Identifică evenimentul favorabil $A$ și calculează $|A|$
Aplică $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$
Verifică dacă e mai simplu prin complementar

Principiul înmulțirii: Dacă evenimentul favorabil necesită condiții simultane pe grupuri independente, înmulțește numărul de cazuri din fiecare grup.

mediuBac M1, Subiectul I

Dintr-un grup de 6 elevi (4 băieți și 2 fete) se aleg 3 pentru un proiect. Care este probabilitatea ca exact o fată să fie aleasă?

1 punct

|\Omega| = C_6^3 = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = 20

3 puncte

Exact o fată: alegem 1 fată din 2 și 2 băieți din 4.

|A| = C_2^1 \cdot C_4^2 = 2 \cdot 6 = 12

1 punct

P(A) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}

greuBac M1, Subiectul I

Se formează numere de 4 cifre distincte din mulțimea

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

. Care este probabilitatea ca numărul format să fie par?

1 punct

Total numere de 4 cifre distincte (ordinea contează):

|\Omega| = A_6^4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360

3 puncte

Numărul este par dacă ultima cifră este

2

4

6

(3 alegeri). Primele 3 poziții:

A_5^3 = 60

aranjamente din cifrele rămase.

1 punct

|A| = 3 \cdot 60 = 180

. Deci

P(A) = \dfrac{180}{360} = \dfrac{1}{2}

Greșeli frecvente la probabilități

✗

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

fără a verifica incompatibilitatea

✓

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Formula simplificată (fără scăderea intersecției) este validă DOAR când

A

și

B

sunt mutual exclusive (

A \cap B = \emptyset

). În caz contrar, intersecția se numără de două ori.

✗

Confuzia între „independent" și „mutual exclusiv"

✓Independente:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

. Mutual exclusive:

A \cap B = \emptyset

Sunt concepte complet diferite! Dacă

P(A) > 0

și

P(B) > 0

, evenimentele nu pot fi simultan independente și mutual exclusive.

✗

P(A|B) = P(B|A)

✓În general

P(A|B) \neq P(B|A)

; ele sunt legate prin formula lui Bayes.

De exemplu, P(plouă | e noros) este diferit de P(e noros | plouă). Cele două probabilități condiționate nu sunt egale decât în cazuri particulare.

✗

La schema Bernoulli:

P(X = k) = p^k (1-p)^{n-k}

fără coeficientul binomial

✓

P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Fără

C_n^k

calculezi probabilitatea unui singur aranjament fix de succese și eșecuri, nu a tuturor aranjamentelor posibile. De exemplu, la 4 aruncări cu zarul, „6, 6, altceva, altceva" nu este singurul mod de a obține exact 2 de „6".

✗

Folosirea combinărilor când ordinea contează (sau invers)

✓Ordinea nu contează

\Rightarrow C_n^k

. Ordinea contează

\Rightarrow A_n^k

La formarea unui comitet, ordinea nu contează (folosim

C_n^k

). La formarea unui număr sau a unui cod, ordinea contează (folosim

A_n^k

n^k

Strategii și sfaturi pentru probabilități la Bacalaureat

Probabilitățile apar la Subiectul I (5 puncte) aproape în fiecare sesiune de BAC M1. Tipuri frecvente: extragere din urnă, formare de comitete cu combinări, aruncări de zaruri/monede, schema Bernoulli. Rezolvă cât mai multe modele de BAC din anii anteriori.

Complementarul economisește timp. Când vezi „cel puțin un...", „cel puțin o...", calculează

1 - P(\text{niciunul})

. Este mult mai rapid decât să numeri toate cazurile favorabile (

k=1

k=2

, ...,

k=n

) separat.

Identifică tipul de numărare înainte de a calcula. Comitete, delegații, grupuri

\Rightarrow

combinări

C_n^k

. Numere, coduri, parole, clasamente

\Rightarrow

aranjamente

A_n^k

sau produs cartezian

n^k

. Alegerea greșită a formulei duce la un răspuns greșit.

Verifică-ți rezultatul: Probabilitatea trebuie să fie între 0 și 1. Dacă obții un număr mai mare ca 1 sau negativ, ai făcut o greșeală de calcul. De asemenea, simplifică fracțiile — la BAC se punctează rezultatul simplificat.

La schema Bernoulli, scrie explicit toți parametrii (

n

k

p

1-p

) înainte de a substitui în formulă. Aceasta previne erorile și arată evaluatorului că stăpânești metoda.

Toate formulele de probabilități pe scurt

Probabilitatea clasică

P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}

Cazuri favorabile împărțit la cazuri posibile (echiprobabile).

Complementarul

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Util pentru „cel puțin unu":

P(\text{cel puțin unu}) = 1 - P(\text{niciunul})

Reuniunea

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Formula incluziunii și excluderii. Se simplifică dacă evenimentele sunt incompatibile.

Evenimente mutual exclusive

A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Evenimentele nu se pot produce simultan.

Probabilitate condiționată

P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilitatea lui

A

știind că

B

s-a produs.

Evenimente independente

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Producerea unuia nu influențează probabilitatea celuilalt.

Regula înmulțirii

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Utilă la extrageri succesive fără întoarcere.

Formula probabilității totale

P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\bar{B}) \cdot P(\bar{B})

Descompune probabilitatea pe cazurile complementare

B

și

\bar{B}

Schema lui Bernoulli

P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

n

probe independente cu probabilitate de succes

p

, exact

k

succese.

Capitole inrudite

Combinatorică Statistică descriptivă Procente Algebră și calcule cu numere reale

Exerciteaza 413 probleme de Probabilități

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 298 grile de Probabilități

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.