Clasa 9Geometrie

Vectori — Teorie, Formule si Exemple

Vectorii sunt obiecte matematice caracterizate prin lungime (modul), direcție și sens, reprezentate ca segmente orientate în plan. Se studiază în clasa a 9-a și constituie unul dintre capitolele esențiale ale geometriei. La examenul de Bacalaureat, Matematica M1, vectorii apar frecvent la Subiectul I (5 puncte): calculul modulului, produsul scalar, verificarea perpendicularității, demonstrarea coliniarității punctelor și aplicarea regulii triunghiului. Capitolul stă la baza geometriei analitice din clasa a 10-a și este necesar pentru înțelegerea ecuațiilor dreptei, a cercului și a conicelor.

Vectorul liber: definiție, coordonate și modul

Vectorul AB\overrightarrow{AB} este un segment orientat de la punctul AA (origine) la punctul BB (extremitate). Un vector este complet determinat de trei caracteristici: lungime (modul), direcție și sens. Vectori egali: Doi vectori sunt egali dacă au aceeași lungime, aceeași direcție și același sens. În plan, vectorii egali formează clase de echivalență numite vectori liberi. Coordonatele vectorului AB\overrightarrow{AB} determinat de punctele A(xA,yA)A(x_A, y_A) și B(xB,yB)B(x_B, y_B): AB=(xBxA,  yByA)\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A) Modulul vectorului v(x,y)\vec{v}(x, y): v=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} Distanța dintre două puncte (echivalentă cu modulul AB\overrightarrow{AB}): AB=(xBxA)2+(yByA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} Vectorul nul: 0=(0,0)\vec{0} = (0, 0), cu 0=0|\vec{0}| = 0. Atenție la sens: ABBA\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}; avem BA=AB\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.
usorTip Bac, Subiectul I
Fie A(1,2)A(1, 2) și B(4,6)B(4, 6). Calculați AB\overrightarrow{AB} și AB|\overrightarrow{AB}|.
1
2 puncte
AB=(41,  62)=(3,4)\overrightarrow{AB} = (4 - 1,\; 6 - 2) = (3, 4).
2
3 puncte
AB=32+42=9+16=25=5|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie A(2,3)A(-2, 3) și B(1,1)B(1, -1). Calculați coordonatele vectorilor AB\overrightarrow{AB} și BA\overrightarrow{BA}, apoi verificați că AB=BA|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BA}|.
1
2 puncte
AB=(1(2),  13)=(3,4)\overrightarrow{AB} = (1 - (-2),\; -1 - 3) = (3, -4).
2
1 punct
BA=(21,  3(1))=(3,4)=AB\overrightarrow{BA} = (-2 - 1,\; 3 - (-1)) = (-3, 4) = -\overrightarrow{AB}.
3
2 puncte
AB=9+16=5|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5 și BA=9+16=5|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{9 + 16} = 5. Modulele sunt egale. \square

Adunarea, scăderea și înmulțirea vectorilor cu scalari

Adunarea vectorilor u(x1,y1)\vec{u}(x_1, y_1) și v(x2,y2)\vec{v}(x_2, y_2): u+v=(x1+x2,  y1+y2)\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2) Scăderea vectorilor: uv=(x1x2,  y1y2)\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2) Înmulțirea cu un scalar λR\lambda \in \mathbb{R}: λu=(λx1,  λy1),λu=λu\lambda \cdot \vec{u} = (\lambda x_1,\; \lambda y_1), \quad |\lambda \vec{u}| = |\lambda| \cdot |\vec{u}| Regula triunghiului (adunarea vectorilor): AB+BC=AC\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} Regula paralelogramului: Dacă OA=u\overrightarrow{OA} = \vec{u} și OB=v\overrightarrow{OB} = \vec{v}, iar OACBOACB este paralelogram, atunci OC=u+v\overrightarrow{OC} = \vec{u} + \vec{v}. Vectorul poziție: OP=(xP,yP)\overrightarrow{OP} = (x_P, y_P) este vectorul de la origine la punctul PP.
usorExercițiu de bază
Fie u(3,1)\vec{u}(3, -1) și v(2,5)\vec{v}(-2, 5). Calculați u+v\vec{u} + \vec{v}, uv\vec{u} - \vec{v} și 2u3v2\vec{u} - 3\vec{v}.
1
1 punct
u+v=(3+(2),  1+5)=(1,4)\vec{u} + \vec{v} = (3 + (-2),\; -1 + 5) = (1, 4).
2
2 puncte
uv=(3(2),  15)=(5,6)\vec{u} - \vec{v} = (3 - (-2),\; -1 - 5) = (5, -6).
3
2 puncte
2u3v=(6,2)(6,15)=(6+6,  215)=(12,17)2\vec{u} - 3\vec{v} = (6, -2) - (-6, 15) = (6 + 6,\; -2 - 15) = (12, -17).
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie A(1,2)A(1, 2), B(4,6)B(4, 6), C(5,2)C(5, 2). Verificați regula triunghiului: AB+BC=AC\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
1
3 puncte
AB=(3,4)\overrightarrow{AB} = (3, 4), BC=(1,4)\overrightarrow{BC} = (1, -4), AC=(4,0)\overrightarrow{AC} = (4, 0).
2
2 puncte
AB+BC=(3+1,  4+(4))=(4,0)=AC\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3 + 1,\; 4 + (-4)) = (4, 0) = \overrightarrow{AC}. \square

Mijlocul segmentului și centrul de greutate al triunghiului

Mijlocul segmentului ABAB: M=(xA+xB2,  yA+yB2)M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right) Echivalent vectorial: OM=OA+OB2\overrightarrow{OM} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}. Centrul de greutate al triunghiului ABCABC: G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) Proprietatea centrului de greutate: GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} Sau echivalent, pentru orice punct OO: OA+OB+OC=3OG\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG} Centrul de greutate împarte medianele în raportul 2:12:1 de la vârf la mijlocul laturii opuse.
usorExercițiu de bază
Fie A(2,1)A(2, -1), B(6,3)B(6, 3), C(4,5)C(4, 5). Calculați centrul de greutate GG al triunghiului ABCABC.
1
5 puncte
G=(2+6+43,  1+3+53)=(123,  73)=(4,  73)G = \left(\dfrac{2+6+4}{3},\; \dfrac{-1+3+5}{3}\right) = \left(\dfrac{12}{3},\; \dfrac{7}{3}\right) = \left(4,\; \dfrac{7}{3}\right).
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie A(1,3)A(1, 3) și B(5,1)B(5, -1). Determinați punctul CC astfel încât M(3,1)M(3, 1) să fie mijlocul segmentului ABAB, apoi verificați rezultatul.
1
3 puncte
Mijlocul segmentului ABAB: M=(1+52,  3+(1)2)=(3,  1)M = \left(\dfrac{1+5}{2},\; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = \left(3,\; 1\right).
2
2 puncte
Se confirmă că M(3,1)M(3, 1) este într-adevăr mijlocul lui ABAB, deoarece coordonatele obținute coincid cu cele date. \square
mediuTip Bac, Subiectul I
Se dau A(0,2)A(0, 2), B(6,0)B(6, 0) și centrul de greutate G(2,2)G(2, 2). Determinați vârful CC.
1
3 puncte
Din G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) obținem: 0+6+xC3=2xC=0\dfrac{0 + 6 + x_C}{3} = 2 \Rightarrow x_C = 0.
2
2 puncte
2+0+yC3=2yC=4\dfrac{2 + 0 + y_C}{3} = 2 \Rightarrow y_C = 4. Deci C(0,4)C(0, 4).

Produsul scalar: calcul, unghi și perpendicularitate

Produsul scalar este un număr real (nu un vector), definit în două moduri echivalente: Definiție geometrică: uv=uvcosθ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta unde θ\theta este unghiul dintre cei doi vectori. Calcul în coordonate u(x1,y1)\vec{u}(x_1, y_1), v(x2,y2)\vec{v}(x_2, y_2): uv=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 Proprietăți ale produsului scalar:
  • Comutativitate: uv=vu\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • Distributivitate: u(v+w)=uv+uw\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • uu=u2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2
Condiția de perpendicularitate: uvuv=0x1x2+y1y2=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 (Deoarece cos90°=0\cos 90° = 0.) Formula unghiului dintre doi vectori: cosθ=uvuv=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} Formula modulului sumei (identitatea paralelogramului): u+v2=u2+2uv+v2|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie u(2,1)\vec{u}(2, -1) și v(1,3)\vec{v}(1, 3). Calculați produsul scalar și unghiul θ\theta dintre ei.
1
2 puncte
uv=21+(1)3=23=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 2 - 3 = -1.
2
1 punct
u=4+1=5|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}; v=1+9=10|\vec{v}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.
3
2 puncte
cosθ=1510=150=152=210\cos\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{-1}{\sqrt{50}} = \dfrac{-1}{5\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}.
mediuTip Bac, Subiectul I
Arătați că vectorii a(3,4)\vec{a}(3, 4) și b(8,6)\vec{b}(-8, 6) sunt perpendiculari.
1
3 puncte
ab=3(8)+46=24+24=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-8) + 4 \cdot 6 = -24 + 24 = 0.
2
2 puncte
Deoarece ab=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, rezultă ab\vec{a} \perp \vec{b}. \square
greuTip Bac, Subiectul I
Fie u\vec{u} și v\vec{v} cu u=3|\vec{u}| = 3, v=4|\vec{v}| = 4 și uv=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6. Calculați u+v|\vec{u} + \vec{v}|.
1
3 puncte
u+v2=u2+2uv+v2=9+12+16=37|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 = 9 + 12 + 16 = 37.
2
2 puncte
u+v=37|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{37}.

Coliniaritatea vectorilor și a punctelor în plan

Vectori coliniari: u\vec{u} și v\vec{v} sunt coliniari (paraleli sau cu sensuri opuse) dacă există λR\lambda \in \mathbb{R} cu u=λv\vec{u} = \lambda \vec{v}. Condiția în coordonate (determinantul este zero): u(x1,y1)v(x2,y2)x1y2x2y1=0\vec{u}(x_1, y_1) \parallel \vec{v}(x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 Aceasta se scrie și sub formă de determinant: x1y1x2y2=0\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = 0 Coliniaritatea a trei puncte A,B,CA, B, C: A,B,C coliniareABACAB=λAC,  λRA, B, C \text{ coliniare} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC}, \; \lambda \in \mathbb{R} Metoda alternativă (cu determinant 3×33 \times 3): xAyA1xByB1xCyC1=0A,B,C coliniare\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow A, B, C \text{ coliniare} Acest determinant este util și la calculul ariei triunghiului: AABC=12Δ\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2}|\Delta|.
mediuTip Bac, Subiectul I
Arătați că A(1,1)A(1, 1), B(3,5)B(3, 5), C(2,3)C(2, 3) sunt coliniare.
1
2 puncte
AB=(31,51)=(2,4)\overrightarrow{AB} = (3-1, 5-1) = (2, 4); AC=(21,31)=(1,2)\overrightarrow{AC} = (2-1, 3-1) = (1, 2).
2
3 puncte
AB=2AC\overrightarrow{AB} = 2 \cdot \overrightarrow{AC}, deci vectorii sunt coliniari, prin urmare AA, BB, CC sunt coliniare. \square
mediuTip Bac, Subiectul I
Determinați mRm \in \mathbb{R} astfel încât A(1,2)A(1, 2), B(3,m)B(3, m), C(5,8)C(5, 8) să fie coliniare.
1
2 puncte
AB=(2,  m2)\overrightarrow{AB} = (2,\; m - 2); AC=(4,  6)\overrightarrow{AC} = (4,\; 6).
2
3 puncte
Condiția de coliniaritate: 264(m2)=0124m+8=04m=20m=52 \cdot 6 - 4(m - 2) = 0 \Rightarrow 12 - 4m + 8 = 0 \Rightarrow 4m = 20 \Rightarrow m = 5.

Greșeli frecvente la vectori

AB=BA\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}
BA=AB\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}
Vectorii au sens! Inversarea originii și extremității schimbă semnul tuturor coordonatelor.
Produsul scalar uv\vec{u} \cdot \vec{v} este un vector
Produsul scalar este un număr real (scalar)
Spre deosebire de produsul vectorial (studiat în spațiul 3D), produsul scalar este întotdeauna un număr real.
AB2=(xBxA)+(yByA)|AB|^2 = (x_B - x_A) + (y_B - y_A) (fără pătrate)
AB=(xBxA)2+(yByA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
Se ridică la pătrat fiecare diferență de coordonate — formula provine din teorema lui Pitagora.
uv\vec{u} \perp \vec{v} dacă u=v|\vec{u}| = |\vec{v}|
uv\vec{u} \perp \vec{v} dacă și numai dacă uv=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
Perpendicularitatea nu depinde de lungimile vectorilor, ci de unghiul dintre ei (produsul scalar zero).
Coliniaritate prin x1x2+y1y2=0x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Coliniaritate prin x1y2x2y1=0x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 (determinant, nu produs scalar)
Produsul scalar zero indică perpendicularitate. Pentru coliniaritate se verifică determinantul (produsul în cruce).
G=(xA+xB+xC2,  yA+yB+yC2)G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{2},\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{2}\right)
G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)
Se împarte la 3 (trei vârfuri), nu la 2. Împărțirea la 2 este formula mijlocului segmentului.

Strategii pentru vectori la examenul de Bacalaureat

Vectorii apar la Subiectul I (materie clasa a 9-a, 5 puncte). Algoritmul de bază: calculezi coordonatele vectorilor din coordonatele punctelor, apoi aplici formulele de modul, produs scalar sau coliniaritate.
Tipuri frecvente la Bac: calculul lungimilor și distanțelor, verificarea perpendicularității (uv=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0), verificarea coliniarității (x1y2x2y1=0x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0), calculul unghiurilor, determinarea centrului de greutate.
Proprietatea centrului de greutate este utilă în demonstrații: GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} și, pentru orice punct OO: OA+OB+OC=3OG\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.
Verificare rapidă: Dacă trebuie să arăți că un patrulater ABCDABCD este paralelogram, verifică AB=DC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} (coordonate egale). Pentru dreptunghi, arată în plus că ABAD=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0.
Atenție la redactare: Scrie explicit formulele folosite și valorile obținute la fiecare pas. Nu sări etape — la Bac se acordă puncte parțiale pentru pașii intermediari corecți.

Toate formulele pe scurt

Coordonatele vectorului ABAB
AB=(xBxA,  yByA)\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)
Coordonatele = extremitate minus origine.
Modulul vectorului
v=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
Lungimea vectorului v(x,y)\vec{v}(x, y).
Adunarea vectorilor
u+v=(x1+x2,  y1+y2)\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)
Se adună coordonatele corespunzătoare.
Înmulțirea cu scalar
λu=(λx1,  λy1)\lambda \vec{u} = (\lambda x_1,\; \lambda y_1)
Se înmulțește fiecare coordonată cu scalarul.
Mijlocul segmentului
M=(xA+xB2,  yA+yB2)M = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)
Media aritmetică a coordonatelor capetelor.
Centrul de greutate
G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)
Media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri.
Produsul scalar (coordonate)
uv=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
Rezultatul este un număr real, nu un vector.
Unghiul dintre vectori
cosθ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22\cos\theta = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}
Se obține din definiția geometrică a produsului scalar.
Condiție de perpendicularitate
uvx1x2+y1y2=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Produsul scalar este zero.
Condiție de coliniaritate
uvx1y2x2y1=0\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
Determinantul componentelor este zero.
Regula triunghiului
AB+BC=AC\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
Adunarea vectorilor cu un punct comun.
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.