Clasa 9Geometrie

Vectori — Teorie, Formule si Exemple

Vectorii sunt obiecte matematice caracterizate prin lungime (modul), direcție și sens, reprezentate ca segmente orientate în plan. Se studiază în clasa a 9-a și constituie unul dintre capitolele esențiale ale geometriei. La examenul de Bacalaureat, Matematica M1, vectorii apar frecvent la Subiectul I (5 puncte): calculul modulului, produsul scalar, verificarea perpendicularității, demonstrarea coliniarității punctelor și aplicarea regulii triunghiului. Capitolul stă la baza geometriei analitice din clasa a 10-a și este necesar pentru înțelegerea ecuațiilor dreptei, a cercului și a conicelor.

Vectorul liber: definiție, coordonate și modul

Vectorul AB→\overrightarrow{AB} este un segment orientat de la punctul AA (origine) la punctul BB (extremitate). Un vector este complet determinat de trei caracteristici: lungime (modul), direcție și sens. Vectori egali: Doi vectori sunt egali dacă au aceeași lungime, aceeași direcție și același sens. În plan, vectorii egali formează clase de echivalență numite vectori liberi. Coordonatele vectorului AB→\overrightarrow{AB} determinat de punctele A(xA,yA)A(x_A, y_A) și B(xB,yB)B(x_B, y_B): AB→=(xB−xA,  yB−yA)\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A) Modulul vectorului v⃗(x,y)\vec{v}(x, y): ∣v⃗∣=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} Distanța dintre două puncte (echivalentă cu modulul AB→\overrightarrow{AB}): ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} Vectorul nul: 0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0), cu ∣0⃗∣=0|\vec{0}| = 0. Atenție la sens: AB→≠BA→\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}; avem BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.
usorTip Bac, Subiectul I
Fie A(1,2)A(1, 2) și B(4,6)B(4, 6). Calculați AB→\overrightarrow{AB} și ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|.
1
2 puncte
AB→=(4−1,  6−2)=(3,4)\overrightarrow{AB} = (4 - 1,\; 6 - 2) = (3, 4).
2
3 puncte
∣AB→∣=32+42=9+16=25=5|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie A(−2,3)A(-2, 3) și B(1,−1)B(1, -1). Calculați coordonatele vectorilor AB→\overrightarrow{AB} și BA→\overrightarrow{BA}, apoi verificați că ∣AB→∣=∣BA→∣|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BA}|.
1
2 puncte
AB→=(1−(−2),  −1−3)=(3,−4)\overrightarrow{AB} = (1 - (-2),\; -1 - 3) = (3, -4).
2
1 punct
BA→=(−2−1,  3−(−1))=(−3,4)=−AB→\overrightarrow{BA} = (-2 - 1,\; 3 - (-1)) = (-3, 4) = -\overrightarrow{AB}.
3
2 puncte
∣AB→∣=9+16=5|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5 și ∣BA→∣=9+16=5|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{9 + 16} = 5. Modulele sunt egale. □\square

Adunarea, scăderea și înmulțirea vectorilor cu scalari

Adunarea vectorilor u⃗(x1,y1)\vec{u}(x_1, y_1) și v⃗(x2,y2)\vec{v}(x_2, y_2): u⃗+v⃗=(x1+x2,  y1+y2)\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2) Scăderea vectorilor: u⃗−v⃗=(x1−x2,  y1−y2)\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2) Înmulțirea cu un scalar λ∈R\lambda \in \mathbb{R}: λ⋅u⃗=(λx1,  λy1),∣λu⃗∣=∣λ∣⋅∣u⃗∣\lambda \cdot \vec{u} = (\lambda x_1,\; \lambda y_1), \quad |\lambda \vec{u}| = |\lambda| \cdot |\vec{u}| Regula triunghiului (adunarea vectorilor): AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} Regula paralelogramului: Dacă OA→=u⃗\overrightarrow{OA} = \vec{u} și OB→=v⃗\overrightarrow{OB} = \vec{v}, iar OACBOACB este paralelogram, atunci OC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{OC} = \vec{u} + \vec{v}. Vectorul poziție: OP→=(xP,yP)\overrightarrow{OP} = (x_P, y_P) este vectorul de la origine la punctul PP.
usorExercițiu de bază
Fie u⃗(3,−1)\vec{u}(3, -1) și v⃗(−2,5)\vec{v}(-2, 5). Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} și 2u⃗−3v⃗2\vec{u} - 3\vec{v}.
1
1 punct
u⃗+v⃗=(3+(−2),  −1+5)=(1,4)\vec{u} + \vec{v} = (3 + (-2),\; -1 + 5) = (1, 4).
2
2 puncte
u⃗−v⃗=(3−(−2),  −1−5)=(5,−6)\vec{u} - \vec{v} = (3 - (-2),\; -1 - 5) = (5, -6).
3
2 puncte
2u⃗−3v⃗=(6,−2)−(−6,15)=(6+6,  −2−15)=(12,−17)2\vec{u} - 3\vec{v} = (6, -2) - (-6, 15) = (6 + 6,\; -2 - 15) = (12, -17).
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie A(1,2)A(1, 2), B(4,6)B(4, 6), C(5,2)C(5, 2). Verificați regula triunghiului: AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
1
3 puncte
AB→=(3,4)\overrightarrow{AB} = (3, 4), BC→=(1,−4)\overrightarrow{BC} = (1, -4), AC→=(4,0)\overrightarrow{AC} = (4, 0).
2
2 puncte
AB→+BC→=(3+1,  4+(−4))=(4,0)=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3 + 1,\; 4 + (-4)) = (4, 0) = \overrightarrow{AC}. □\square

Mijlocul segmentului și centrul de greutate al triunghiului

Mijlocul segmentului ABAB: M=(xA+xB2,  yA+yB2)M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right) Echivalent vectorial: OM→=OA→+OB→2\overrightarrow{OM} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}. Centrul de greutate al triunghiului ABCABC: G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) Proprietatea centrului de greutate: GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} Sau echivalent, pentru orice punct OO: OA→+OB→+OC→=3OG→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG} Centrul de greutate împarte medianele în raportul 2:12:1 de la vârf la mijlocul laturii opuse.
usorExercițiu de bază
Fie A(2,−1)A(2, -1), B(6,3)B(6, 3), C(4,5)C(4, 5). Calculați centrul de greutate GG al triunghiului ABCABC.
1
5 puncte
G=(2+6+43,  −1+3+53)=(123,  73)=(4,  73)G = \left(\dfrac{2+6+4}{3},\; \dfrac{-1+3+5}{3}\right) = \left(\dfrac{12}{3},\; \dfrac{7}{3}\right) = \left(4,\; \dfrac{7}{3}\right).
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie A(1,3)A(1, 3) și B(5,−1)B(5, -1). Determinați punctul CC astfel încât M(3,1)M(3, 1) să fie mijlocul segmentului ABAB, apoi verificați rezultatul.
1
3 puncte
Mijlocul segmentului ABAB: M=(1+52,  3+(−1)2)=(3,  1)M = \left(\dfrac{1+5}{2},\; \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = \left(3,\; 1\right).
2
2 puncte
Se confirmă că M(3,1)M(3, 1) este într-adevăr mijlocul lui ABAB, deoarece coordonatele obținute coincid cu cele date. □\square
mediuTip Bac, Subiectul I
Se dau A(0,2)A(0, 2), B(6,0)B(6, 0) și centrul de greutate G(2,2)G(2, 2). Determinați vârful CC.
1
3 puncte
Din G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) obținem: 0+6+xC3=2⇒xC=0\dfrac{0 + 6 + x_C}{3} = 2 \Rightarrow x_C = 0.
2
2 puncte
2+0+yC3=2⇒yC=4\dfrac{2 + 0 + y_C}{3} = 2 \Rightarrow y_C = 4. Deci C(0,4)C(0, 4).

Produsul scalar: calcul, unghi și perpendicularitate

Produsul scalar este un număr real (nu un vector), definit în două moduri echivalente: Definiție geometrică: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta unde θ\theta este unghiul dintre cei doi vectori. Calcul în coordonate u⃗(x1,y1)\vec{u}(x_1, y_1), v⃗(x2,y2)\vec{v}(x_2, y_2): u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 Proprietăți ale produsului scalar:
  • Comutativitate: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • Distributivitate: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2
Condiția de perpendicularitate: u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0⇔x1x2+y1y2=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 (Deoarece cos⁡90°=0\cos 90° = 0.) Formula unghiului dintre doi vectori: cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} Formula modulului sumei (identitatea paralelogramului): ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+2u⃗⋅v⃗+∣v⃗∣2|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie u⃗(2,−1)\vec{u}(2, -1) și v⃗(1,3)\vec{v}(1, 3). Calculați produsul scalar și unghiul θ\theta dintre ei.
1
2 puncte
u⃗⋅v⃗=2⋅1+(−1)⋅3=2−3=−1\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 2 - 3 = -1.
2
1 punct
∣u⃗∣=4+1=5|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}; ∣v⃗∣=1+9=10|\vec{v}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.
3
2 puncte
cos⁡θ=−15⋅10=−150=−152=−210\cos\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{-1}{\sqrt{50}} = \dfrac{-1}{5\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{10}.
mediuTip Bac, Subiectul I
Arătați că vectorii a⃗(3,4)\vec{a}(3, 4) și b⃗(−8,6)\vec{b}(-8, 6) sunt perpendiculari.
1
3 puncte
a⃗⋅b⃗=3⋅(−8)+4⋅6=−24+24=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-8) + 4 \cdot 6 = -24 + 24 = 0.
2
2 puncte
Deoarece a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, rezultă a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}. □\square
greuTip Bac, Subiectul I
Fie u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} cu ∣u⃗∣=3|\vec{u}| = 3, ∣v⃗∣=4|\vec{v}| = 4 și u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6. Calculați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}|.
1
3 puncte
∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+2u⃗⋅v⃗+∣v⃗∣2=9+12+16=37|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 = 9 + 12 + 16 = 37.
2
2 puncte
∣u⃗+v⃗∣=37|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{37}.

Coliniaritatea vectorilor și a punctelor în plan

Vectori coliniari: u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} sunt coliniari (paraleli sau cu sensuri opuse) dacă există λ∈R\lambda \in \mathbb{R} cu u⃗=λv⃗\vec{u} = \lambda \vec{v}. Condiția în coordonate (determinantul este zero): u⃗(x1,y1)∥v⃗(x2,y2)⇔x1y2−x2y1=0\vec{u}(x_1, y_1) \parallel \vec{v}(x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 Aceasta se scrie și sub formă de determinant: ∣x1y1x2y2∣=0\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = 0 Coliniaritatea a trei puncte A,B,CA, B, C: A,B,C coliniare⇔AB→∥AC→⇔AB→=λAC→,  λ∈RA, B, C \text{ coliniare} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC}, \; \lambda \in \mathbb{R} Metoda alternativă (cu determinant 3×33 \times 3): ∣xAyA1xByB1xCyC1∣=0⇔A,B,C coliniare\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow A, B, C \text{ coliniare} Acest determinant este util și la calculul ariei triunghiului: AABC=12∣Δ∣\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2}|\Delta|.
mediuTip Bac, Subiectul I
Arătați că A(1,1)A(1, 1), B(3,5)B(3, 5), C(2,3)C(2, 3) sunt coliniare.
1
2 puncte
AB→=(3−1,5−1)=(2,4)\overrightarrow{AB} = (3-1, 5-1) = (2, 4); AC→=(2−1,3−1)=(1,2)\overrightarrow{AC} = (2-1, 3-1) = (1, 2).
2
3 puncte
AB→=2⋅AC→\overrightarrow{AB} = 2 \cdot \overrightarrow{AC}, deci vectorii sunt coliniari, prin urmare AA, BB, CC sunt coliniare. □\square
mediuTip Bac, Subiectul I
Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât A(1,2)A(1, 2), B(3,m)B(3, m), C(5,8)C(5, 8) să fie coliniare.
1
2 puncte
AB→=(2,  m−2)\overrightarrow{AB} = (2,\; m - 2); AC→=(4,  6)\overrightarrow{AC} = (4,\; 6).
2
3 puncte
Condiția de coliniaritate: 2⋅6−4(m−2)=0⇒12−4m+8=0⇒4m=20⇒m=52 \cdot 6 - 4(m - 2) = 0 \Rightarrow 12 - 4m + 8 = 0 \Rightarrow 4m = 20 \Rightarrow m = 5.

Greșeli frecvente la vectori

✗
AB→=BA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}
✓BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}
Vectorii au sens! Inversarea originii și extremității schimbă semnul tuturor coordonatelor.
✗
Produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} este un vector
✓Produsul scalar este un număr real (scalar)
Spre deosebire de produsul vectorial (studiat în spațiul 3D), produsul scalar este întotdeauna un număr real.
✗
∣AB∣2=(xB−xA)+(yB−yA)|AB|^2 = (x_B - x_A) + (y_B - y_A) (fără pătrate)
✓∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
Se ridică la pătrat fiecare diferență de coordonate — formula provine din teorema lui Pitagora.
✗
u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} dacă ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}|
✓u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} dacă și numai dacă u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0
Perpendicularitatea nu depinde de lungimile vectorilor, ci de unghiul dintre ei (produsul scalar zero).
✗
Coliniaritate prin x1x2+y1y2=0x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
✓Coliniaritate prin x1y2−x2y1=0x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 (determinant, nu produs scalar)
Produsul scalar zero indică perpendicularitate. Pentru coliniaritate se verifică determinantul (produsul în cruce).
✗
G=(xA+xB+xC2,  yA+yB+yC2)G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{2},\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{2}\right)
✓G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)
Se împarte la 3 (trei vârfuri), nu la 2. Împărțirea la 2 este formula mijlocului segmentului.

Strategii pentru vectori la examenul de Bacalaureat

Vectorii apar la Subiectul I (materie clasa a 9-a, 5 puncte). Algoritmul de bază: calculezi coordonatele vectorilor din coordonatele punctelor, apoi aplici formulele de modul, produs scalar sau coliniaritate.
Tipuri frecvente la Bac: calculul lungimilor și distanțelor, verificarea perpendicularității (u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0), verificarea coliniarității (x1y2−x2y1=0x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0), calculul unghiurilor, determinarea centrului de greutate.
Proprietatea centrului de greutate este utilă în demonstrații: GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} și, pentru orice punct OO: OA→+OB→+OC→=3OG→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.
Verificare rapidă: Dacă trebuie să arăți că un patrulater ABCDABCD este paralelogram, verifică AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} (coordonate egale). Pentru dreptunghi, arată în plus că AB→⋅AD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0.
Atenție la redactare: Scrie explicit formulele folosite și valorile obținute la fiecare pas. Nu sări etape — la Bac se acordă puncte parțiale pentru pașii intermediari corecți.

Toate formulele pe scurt

Coordonatele vectorului ABAB
AB→=(xB−xA,  yB−yA)\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)
Coordonatele = extremitate minus origine.
Modulul vectorului
∣v⃗∣=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
Lungimea vectorului v⃗(x,y)\vec{v}(x, y).
Adunarea vectorilor
u⃗+v⃗=(x1+x2,  y1+y2)\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)
Se adună coordonatele corespunzătoare.
Înmulțirea cu scalar
λu⃗=(λx1,  λy1)\lambda \vec{u} = (\lambda x_1,\; \lambda y_1)
Se înmulțește fiecare coordonată cu scalarul.
Mijlocul segmentului
M=(xA+xB2,  yA+yB2)M = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)
Media aritmetică a coordonatelor capetelor.
Centrul de greutate
G=(xA+xB+xC3,  yA+yB+yC3)G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)
Media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri.
Produsul scalar (coordonate)
u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
Rezultatul este un număr real, nu un vector.
Unghiul dintre vectori
cos⁡θ=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22\cos\theta = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}
Se obține din definiția geometrică a produsului scalar.
Condiție de perpendicularitate
u⃗⊥v⃗⇔x1x2+y1y2=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Produsul scalar este zero.
Condiție de coliniaritate
u⃗∥v⃗⇔x1y2−x2y1=0\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
Determinantul componentelor este zero.
Regula triunghiului
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
Adunarea vectorilor cu un punct comun.

Capitole inrudite

TrigonometrieGeometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrie

Exerciteaza 312 probleme de Vectori

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 132 grile de Vectori

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.