Clasa 9Algebră

Progresii Aritmetice — Teorie, Formule si Exemple

Progresiile aritmetice sunt șiruri în care fiecare termen se obține din cel anterior adăugând o valoare fixă numită rație — de exemplu, 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, \ldots cu rația r=3r = 3. Este un capitol central din programa de clasa a 9-a. La examenul de Bacalaureat, Matematica M1, progresiile aritmetice apar frecvent la Subiectul I (5 puncte): calculul termenilor, suma primilor nn termeni sau determinarea rației din condiții date.

Definiție și termenul general

Progresia aritmetică este un șir (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} în care diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă: an+1−an=r,∀n≥1a_{n+1} - a_n = r, \quad \forall n \geq 1 Rația r∈Rr \in \mathbb{R} poate fi pozitivă, negativă sau zero. Termenul general (formula fundamentală): an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r Legând doi termeni oarecare ama_m și ana_n: an=am+(n−m)⋅ra_n = a_m + (n-m) \cdot r Monotonie:
  • r>0r > 0: șirul este strict crescător
  • r<0r < 0: șirul este strict descrescător
  • r=0r = 0: șirul este constant
usorTip Bac, Subiectul I
Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt 2,5,82, 5, 8. Aflați a20a_{20}.
1
2 puncte
Identificăm a1=2a_1 = 2 și rația r=5−2=3r = 5 - 2 = 3.
2
3 puncte
a20=a1+19r=2+19⋅3=2+57=59a_{20} = a_1 + 19r = 2 + 19 \cdot 3 = 2 + 57 = 59.
mediuTip Bac, Subiectul I
Într-o progresie aritmetică, a5=17a_5 = 17 și a12=38a_{12} = 38. Determinați a1a_1 și rr.
1
3 puncte
Din formula legăturii între doi termeni: r=a12−a512−5=38−177=217=3r = \dfrac{a_{12} - a_5}{12 - 5} = \dfrac{38 - 17}{7} = \dfrac{21}{7} = 3.
2
2 puncte
a1=a5−4r=17−4⋅3=17−12=5a_1 = a_5 - 4r = 17 - 4 \cdot 3 = 17 - 12 = 5.

Suma primilor n termeni

Formula sumei — două variante echivalente: Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} Folosită când cunoști atât a1a_1 cât și ana_n (suma extremelor, înmulțită cu numărul de termeni). Sn=n[2a1+(n−1)r]2S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2} Folosită când nu cunoști ana_n — doar a1a_1 și rr. Cazuri particulare importante: 1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} 1+3+5+…+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2
usorTip Bac, Subiectul I
Calculați S20S_{20} pentru progresia 2,5,8,…2, 5, 8, \ldots
1
Din exercițiul anterior: a1=2a_1 = 2, r=3r = 3, a20=59a_{20} = 59.
2
5 puncte
S20=20(a1+a20)2=20⋅(2+59)2=20⋅612=610S_{20} = \dfrac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \dfrac{20 \cdot (2 + 59)}{2} = \dfrac{20 \cdot 61}{2} = 610.
mediuTip Bac, Subiectul I
Suma primilor nn termeni ai unei progresii aritmetice este Sn=3n2−nS_n = 3n^2 - n. Aflați a1a_1, rr și ana_n.
1
2 puncte
a1=S1=3⋅1−1=2a_1 = S_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2.
2
2 puncte
a2=S2−S1=(12−2)−2=8a_2 = S_2 - S_1 = (12 - 2) - 2 = 8. Deci r=a2−a1=8−2=6r = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6.
3
1 punct
an=Sn−Sn−1=3n2−n−[3(n−1)2−(n−1)]=6n−4a_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 - n - [3(n-1)^2 - (n-1)] = 6n - 4. Verificare: a1=6−4=2a_1 = 6 - 4 = 2 ✓

Media aritmetică, simetrie și notații convenabile

Proprietatea de medie aritmetică — fiecare termen (din al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi: an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} Condiția ca a,b,ca, b, c să fie în P.A.: 2b=a+c2b = a + c Simetria sumei — termenii simetrici față de mijloc au aceeași sumă: a1+an=a2+an−1=…a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots Notații convenabile (reduc calculele):
  • Trei numere în P.A.: a−r, a, a+ra - r,\ a,\ a + r (suma lor = 3a3a)
  • Patru numere în P.A.: a−3d, a−d, a+d, a+3da - 3d,\ a - d,\ a + d,\ a + 3d (suma = 4a4a)
Observație: formula an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r este o funcție liniară în nn. Graficul punctelor (n,an)(n, a_n) se află pe o dreaptă.
mediuTip Bac, Subiectul I
Trei numere formează o progresie aritmetică și au suma 1818 și produsul 162162. Determinați numerele.
1
2 puncte
Notăm cele trei numere ca a−r, a, a+ra - r,\ a,\ a + r. Suma: (a−r)+a+(a+r)=3a=18(a-r) + a + (a+r) = 3a = 18, deci a=6a = 6.
2
2 puncte
Produsul: (6−r)⋅6⋅(6+r)=6(36−r2)=162(6-r) \cdot 6 \cdot (6+r) = 6(36 - r^2) = 162, deci 36−r2=2736 - r^2 = 27, adică r2=9r^2 = 9, r=±3r = \pm 3.
3
1 punct
Numerele sunt 3,6,93, 6, 9 (pentru r=3r = 3) sau 9,6,39, 6, 3 (pentru r=−3r = -3) — același șir, ordine opusă.
usorTip Bac, Subiectul I
Dacă x−1x - 1, 2x+32x + 3 și 5x+15x + 1 sunt în progresie aritmetică, aflați valoarea lui xx.
1
2 puncte
Aplicăm condiția de P.A.: 2(2x+3)=(x−1)+(5x+1)2(2x + 3) = (x - 1) + (5x + 1).
2
2 puncte
4x+6=6x4x + 6 = 6x, deci 6=2x6 = 2x, adică x=3x = 3.
3
1 punct
Verificare: termenii sunt 2,9,162, 9, 16 cu r=7r = 7. ✓

Determinarea unei progresii din condiții date

Determinarea unei P.A. din condiții multiple: Tipul 1 — Cunoscuți doi termeni ama_m și ana_n: rezolvi sistemul {am=a1+(m−1)ran=a1+(n−1)r\begin{cases} a_m = a_1 + (m-1)r \\ a_n = a_1 + (n-1)r \end{cases} prin scădere: an−am=(n−m)ra_n - a_m = (n-m)r, deci r=an−amn−mr = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}. Tipul 2 — Cunoscute SnS_n și condiții suplimentare: exprimi tot în funcție de a1a_1 și rr. Tipul 3 — Termen dat prin formulă: din an=f(n)a_n = f(n) găsești a1=f(1)a_1 = f(1) și r=f(2)−f(1)r = f(2) - f(1). Progresii aritmetice cu subindici în P.A.: dacă ap,aq,ara_p, a_q, a_r sunt în P.A., atunci 2aq=ap+ar2a_q = a_p + a_r, adică 2q=p+r2q = p + r (indicii sunt și ei în P.A.).
greuTip Bac, Subiectul I
Suma a nn termeni ai unei P.A. este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n. Determinați a1a_1, rr și termenul care este egal cu 5353.
1
2 puncte
a1=S1=2+3=5a_1 = S_1 = 2 + 3 = 5.
2
2 puncte
an=Sn−Sn−1=(2n2+3n)−[2(n−1)2+3(n−1)]=4n+1a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - [2(n-1)^2 + 3(n-1)] = 4n + 1. Deci r=a2−a1=9−5=4r = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4.
3
1 punct
Căutăm nn cu an=53a_n = 53: 4n+1=53⇒n=134n + 1 = 53 \Rightarrow n = 13. Deci a13=53a_{13} = 53.
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică cu a3=11a_3 = 11 și S7=119S_7 = 119. Aflați a1a_1, rr și a15a_{15}.
1
2 puncte
Din a3=a1+2r=11a_3 = a_1 + 2r = 11 obținem o primă ecuație. Din S7=7(2a1+6r)2=7(a1+3r)=119S_7 = \dfrac{7(2a_1 + 6r)}{2} = 7(a_1 + 3r) = 119, deci a1+3r=17a_1 + 3r = 17.
2
2 puncte
Scădem prima ecuație din a doua: (a1+3r)−(a1+2r)=17−11(a_1 + 3r) - (a_1 + 2r) = 17 - 11, deci r=6r = 6. Înlocuim: a1=11−12=−1a_1 = 11 - 12 = -1.
3
1 punct
a15=a1+14r=−1+14⋅6=−1+84=83a_{15} = a_1 + 14r = -1 + 14 \cdot 6 = -1 + 84 = 83.

Greșeli frecvente

✗
an=a1+n⋅ra_n = a_1 + n \cdot r
✓an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r
Primul termen a1a_1 corespunde lui n=1n = 1, nu n=0n = 0. Coeficientul lui rr este (n−1)(n-1), nu nn.
✗
Folosesc Sn=n(a1+an)2S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} fără a calcula mai întâi ana_n
✓Dacă nu știu ana_n, folosesc Sn=n[2a1+(n−1)r]2S_n = \dfrac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2}
Cele două formule sunt echivalente, dar a doua nu necesită calculul prealabil al lui ana_n.
✗
Presupun că rația e pozitivă
✓Rația poate fi negativă (șir descrescător) sau zero (șir constant)
Un șir 10,7,4,1,−2,…10, 7, 4, 1, -2, \ldots este progresie aritmetică cu r=−3r = -3.
✗
La trei numere în P.A., notez a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 și lucrez cu formula generală
✓Notez a−r, a, a+ra - r,\ a,\ a + r — suma lor este 3a3a, mult mai simplu
Notația simetrică elimină o necunoscută și simplifică sistemul de ecuații.

Progresiile aritmetice la examenul de Bac

Progresiile aritmetice apar la Subiectul I (5 puncte). Tipuri frecvente: găsirea lui a1a_1 și rr din două condiții date, calculul SnS_n, demonstrarea că un șir este P.A., suma primilor nn termeni dintr-un șir dat prin formulă.
Algoritmul standard: la orice problemă cu P.A., notezi imediat a1a_1 și rr, scrii formula an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r, apoi rezolvi sistemul de ecuații format din condițiile problemei.
Formula cheie de reținut: 1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}. Apare în contexte variate la toate capitolele (combinatorică, sume de șiruri, inducție matematică).
Timp recomandat: o problemă standard cu P.A. la Subiectul I ar trebui rezolvată în 3-4 minute. Dacă durează mai mult, probabil ai ales notații incomode.

Formularul complet pentru progresii aritmetice

Termenul general
an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r
Formula fundamentală a progresiei aritmetice.
Suma cu primul și ultimul termen
Sn=n(a1+an)2S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}
Când cunoști a1a_1 și ana_n.
Suma cu primul termen și rația
Sn=n[2a1+(n−1)r]2S_n = \dfrac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2}
Când nu cunoști ana_n.
Suma lui Gauss
1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}
Caz particular esențial: a1=1a_1 = 1, r=1r = 1.
Proprietatea mediei aritmetice
an=an−1+an+12a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
Fiecare termen este media aritmetică a vecinilor.
Condiție de P.A. pentru a,b,ca, b, c
2b=a+c2b = a + c
bb este media aritmetică a lui aa și cc.
Rația din doi termeni oarecare
r=an−amn−mr = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}
Util când cunoști doi termeni de indici diferiți.

Capitole inrudite

Progresii GeometriceInducție MatematicăFuncția de gradul IȘiruri de Numere Reale

Exerciteaza 137 probleme de Progresii Aritmetice

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 313 grile de Progresii Aritmetice

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.