Clasa 12Analiză

Integrale definite — Teorie, Formule si Exemple

Integralele definite fac parte din programa de Matematică M1, clasa a 12-a și reprezintă unul dintre cele mai importante capitole pentru examenul de Bacalaureat. La BAC, ele apar garantat în Subiectul III — de obicei la punctele (b) și (c) — unde se cere calculul unei integrale definite, al ariei unei suprafețe plane sau al unui volum de rotație. Conceptul central este formula Leibniz-Newton, care leagă primitivele (studiate anterior) de calculul efectiv al integralei. Pe lângă aplicarea directă a formulei, trebuie să stăpânești și metodele de substituție și integrare prin părți adaptate la integrale definite, precum și formulele de arie între curbe și volum de rotație. Aceste subiecte valorează de regulă 15-20 de puncte din totalul de 30 al Subiectului III, ceea ce le face decisive pentru o notă mare la BAC.

Formula Leibniz-Newton

Integrala definită a lui ff pe [a,b][a, b], dacă FF este o primitivă a lui ff: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b Interpretare geometrică:
  • Dacă f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [a,b][a,b]: integrala = aria suprafeței dintre grafic și OxOx
  • Dacă f(x)≤0f(x) \leq 0 pe [a,b][a,b]: integrala este negativă; aria geometrică este ∣∫abf dx∣|\int_a^b f\,dx|
  • Integrala poate fi negativă; aria nu poate
usorExercițiu direct
Calculați ∫0πsin⁡x dx\int_0^\pi \sin x\, dx.
1
2 puncte
Primitiva lui sin⁡x\sin x este −cos⁡x-\cos x.
2
3 puncte
[−cos⁡x]0π=(−cos⁡π)−(−cos⁡0)=1+1=2\Big[-\cos x\Big]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2.
usorExercițiu tip Bac
Calculați ∫02(x3−3x+1) dx\int_0^2 (x^3 - 3x + 1)\, dx.
1
2 puncte
Primitiva: F(x)=x44−3x22+xF(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} + x.
2
2 puncte
F(2)=164−122+2=4−6+2=0F(2) = \dfrac{16}{4} - \dfrac{12}{2} + 2 = 4 - 6 + 2 = 0. F(0)=0F(0) = 0.
3
1 punct
∫02(x3−3x+1) dx=F(2)−F(0)=0−0=0\int_0^2 (x^3-3x+1)\, dx = F(2) - F(0) = 0 - 0 = 0.

Metoda substituției la integrale definite — transformarea limitelor

Dacă x=φ(t)x = \varphi(t), dx=φ′(t) dtdx = \varphi'(t)\, dt, transformi și limitele: ∫abf(x) dx=∫φ−1(a)φ−1(b)f(φ(t))⋅φ′(t) dt\int_a^b f(x)\, dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\, dt Important: Nu te întoarce la variabila xx dacă ai transformat limitele. Evaluezi direct în noua variabilă tt.
mediuExercițiu tip substituție
Calculați ∫01xex2 dx\int_0^1 x e^{x^2}\, dx.
1
2 puncte
Substituție: t=x2t = x^2, dt=2x dxdt = 2x\, dx, deci x dx=dt2x\, dx = \dfrac{dt}{2}. Limite: x=0⇒t=0x=0 \Rightarrow t=0; x=1⇒t=1x=1 \Rightarrow t=1.
2
3 puncte
∫01xex2 dx=12∫01et dt=12[et]01=e−12\int_0^1 x e^{x^2}\, dx = \dfrac{1}{2}\int_0^1 e^t\, dt = \dfrac{1}{2}\Big[e^t\Big]_0^1 = \dfrac{e-1}{2}.
mediuExercițiu tip Bac
Calculați ∫0π/2sin⁡xcos⁡x dx\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\, dx.
1
2 puncte
Substituție: t=sin⁡xt = \sin x, dt=cos⁡x dxdt = \cos x\, dx. Limite: x=0⇒t=0x=0 \Rightarrow t=0; x=π2⇒t=1x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=1.
2
3 puncte
∫0π/2sin⁡xcos⁡x dx=∫01t dt=[t22]01=12\int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\, dx = \int_0^1 t\, dt = \left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}.

Integrare prin părți (integrală definită)

∫abu⋅v′ dx=[u⋅v]ab−∫abu′⋅v dx\int_a^b u \cdot v'\, dx = \Big[u \cdot v\Big]_a^b - \int_a^b u' \cdot v\, dx Față de cazul primitivelor, termenul liber [uv]ab[uv]_a^b se evaluează direct în capetele intervalului. Regula LIATE pentru alegerea lui uu (în ordinea priorității): Logaritmi, Inverse trigonometrice, Algebrice (polinoame), Trigonometrice, Exponențiale. Alege uu cât mai sus în listă.
mediuExercițiu clasic
Calculați ∫1eln⁡x dx\int_1^e \ln x\, dx.
1
2 puncte
Alegem u=ln⁡xu = \ln x, v′=1v' = 1. Atunci u′=1xu' = \dfrac{1}{x}, v=xv = x.
2
3 puncte
∫1eln⁡x dx=[xln⁡x]1e−∫1e1 dx=(e−0)−[x]1e=e−(e−1)=1\int_1^e \ln x\, dx = \Big[x \ln x\Big]_1^e - \int_1^e 1\, dx = (e - 0) - \Big[x\Big]_1^e = e - (e-1) = 1.
greuProblemă de antrenament
Calculați ∫0π/2xsin⁡x dx\int_0^{\pi/2} x \sin x\, dx.
1
2 puncte
Alegem u=xu = x, v′=sin⁡xv' = \sin x. Deci u′=1u' = 1, v=−cos⁡xv = -\cos x.
2
3 puncte
∫0π/2xsin⁡x dx=[−xcos⁡x]0π/2+∫0π/2cos⁡x dx\int_0^{\pi/2} x\sin x\, dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos x\, dx.
3
[−xcos⁡x]0π/2=0\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2} = 0. ∫0π/2cos⁡x dx=[sin⁡x]0π/2=1\int_0^{\pi/2}\cos x\, dx = \Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} = 1. Rezultat: 11.

Calculul ariei suprafețelor plane cu integrale definite

Aria dintre graficul lui ff și axa OxOx pe [a,b][a,b]: A=∫ab∣f(x)∣ dxA = \int_a^b |f(x)|\, dx Dacă ff nu schimbă semnul, valoarea absolută dispare. Dacă ff schimbă semnul la c∈(a,b)c \in (a,b), descompune: A=∣∫acf(x) dx∣+∣∫cbf(x) dx∣A = \left|\int_a^c f(x)\, dx\right| + \left|\int_c^b f(x)\, dx\right| Aria dintre graficele lui ff și gg (cu f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) pe [a,b][a,b]): A=∫ab[f(x)−g(x)] dxA = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx
mediuExercițiu tip Bac
Calculați aria suprafeței delimitate de y=exy = e^x, y=ey = e și x=0x = 0.
1
2 puncte
Intersecții: ex=e⇒x=1e^x = e \Rightarrow x = 1. Pe [0,1][0,1]: ex≤ee^x \leq e, deci A=∫01(e−ex) dxA = \int_0^1 (e - e^x)\, dx.
2
3 puncte
A=[ex−ex]01=(e−e)−(0−1)=0+1=1A = \Big[ex - e^x\Big]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1 u.a.
mediuExercițiu tip Bac
Calculați aria suprafeței delimitate de f(x)=x2f(x) = x^2 și g(x)=xg(x) = x.
1
2 puncte
Intersecții: x2=x⇒x=0x^2 = x \Rightarrow x=0 sau x=1x=1. Pe [0,1][0,1]: x≥x2x \geq x^2.
2
3 puncte
A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16A = \int_0^1 (x-x^2)\, dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} u.a.

Volumul corpului de rotație prin integrale definite

Volumul obținut prin rotația graficului lui ff în jurul axei OxOx pe [a,b][a,b]: V=π∫abf2(x) dxV = \pi \int_a^b f^2(x)\, dx Volumul între două curbe (rotație în jurul OxOx, cu f(x)≥g(x)≥0f(x) \geq g(x) \geq 0): V=π∫ab[f2(x)−g2(x)] dxV = \pi \int_a^b \Big[f^2(x) - g^2(x)\Big]\, dx Atenție: Formula conține f2(x)f^2(x), nu ∣f(x)∣|f(x)| — se ridică la pătrat funcția, nu modulul ei.
mediuExercițiu tip Bac
Calculați volumul corpului obținut prin rotația graficului f(x)=xf(x) = \sqrt{x} în jurul axei OxOx, pe [0,4][0, 4].
1
2 puncte
V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dxV = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\, dx = \pi \int_0^4 x\, dx.
2
3 puncte
V=π[x22]04=π⋅162=8πV = \pi \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi.
greuProblemă tip Bac
Calculați volumul corpului obținut prin rotația graficului f(x)=exf(x) = e^x în jurul axei OxOx, pe [0,1][0, 1].
1
2 puncte
V=π∫01(ex)2 dx=π∫01e2x dxV = \pi \int_0^1 (e^x)^2\, dx = \pi \int_0^1 e^{2x}\, dx.
2
3 puncte
V=π[e2x2]01=π⋅e2−12=π(e2−1)2V = \pi \left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \pi \cdot \dfrac{e^2 - 1}{2} = \dfrac{\pi(e^2-1)}{2}.

Greșeli frecvente la integralele definite

✗
∫abf(x) dx=F(a)−F(b)\int_a^b f(x)\, dx = F(a) - F(b)
✓∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
Ordinea este FF(capăt superior) −- FF(capăt inferior). Inversând, semnul întregii integrale se schimbă.
✗
Aria = ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\, dx fără a verifica semnul lui ff
✓Aria = ∫ab∣f(x)∣ dx\int_a^b |f(x)|\, dx; integrala definită poate fi negativă, aria nu
Dacă ff are valori negative, integrala definită dă o valoare negativă. Aria geometrică folosește modulul sau descompune pe subintervale.
✗
La substituție, nu transform limitele de integrare
✓Când x=φ(t)x = \varphi(t), limitele aa și bb devin φ−1(a)\varphi^{-1}(a) și φ−1(b)\varphi^{-1}(b)
Limitele trebuie transformate în funcție de noua variabilă. Dacă uiți, evaluezi primitiva în valorile greșite.
✗
Nu verific primitiva prin derivare
✓Derivez rezultatul și verific că obțin integranda
Un calcul de derivată de 30 de secunde poate salva toți punctele unui subpunct.
✗
La volum, scriu V=π∫abf(x) dxV = \pi \int_a^b f(x)\, dx în loc de f2(x)f^2(x)
✓V=π∫abf2(x) dxV = \pi \int_a^b f^2(x)\, dx — funcția se ridică la pătrat
Formula de volum conține f2(x)f^2(x), nu f(x)f(x). Confuzia cu formula de arie este una dintre cele mai frecvente erori la BAC.

Integralele definite la examenul de Bac

Integralele definite apar garantat la Subiectul III. Structura tipică: (a) calculați primitiva sau demonstrați o relație, (b) calculați integrala definită, (c) calculați aria sau volumul. Subpunctele sunt dependente — o eroare de la (a) se propagă în tot exercițiul.
Strategia pentru arie: Desenează (sau imaginează) graficul. Identifică pe ce interval funcția este pozitivă sau negativă. Dacă funcția taie axa OxOx, descompune integrala pe subintervale și aplică modulul pe fiecare.
Valori utile de memorat: ∫01ex dx=e−1\int_0^1 e^x\, dx = e-1; ∫0πsin⁡x dx=2\int_0^\pi \sin x\, dx = 2; ∫ab1x dx=ln⁡ba\int_a^b \dfrac{1}{x}\, dx = \ln\dfrac{b}{a} (pentru 0<a<b0 < a < b); ∫01xn dx=1n+1\int_0^1 x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1}.
Verificare rapidă: După ce calculezi primitiva, derivează rezultatul mental sau pe ciornă. Dacă obții integranda, primitiva e corectă. Această verificare durează 30 de secunde și previne pierderea a 5-10 puncte.
Arie vs. Volum: La arie folosești ∫∣f(x)∣ dx\int |f(x)|\, dx; la volum folosești π∫f2(x) dx\pi\int f^2(x)\, dx. Nu confunda cele două formule — este o greșeală frecventă sub presiunea timpului.

Formulele esențiale pentru integrale definite

Leibniz-Newton
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
FF este o primitivă a lui ff.
Linearitate
∫ab[αf+βg] dx=α∫abf dx+β∫abg dx\int_a^b [\alpha f + \beta g]\, dx = \alpha \int_a^b f\, dx + \beta \int_a^b g\, dx
Constante și sumă se tratează separat.
Aditivitate pe interval
∫abf dx=∫acf dx+∫cbf dx\int_a^b f\, dx = \int_a^c f\, dx + \int_c^b f\, dx
Valabil pentru orice cc, nu neapărat c∈[a,b]c \in [a,b].
Inversarea capetelor
∫abf dx=−∫baf dx\int_a^b f\, dx = -\int_b^a f\, dx
Schimbarea ordinii schimbă semnul.
Aria sub grafic
A=∫ab∣f(x)∣ dxA = \int_a^b |f(x)|\, dx
Modulul asigură aria pozitivă chiar dacă f<0f < 0.
Aria între două curbe
A=∫ab[f(x)−g(x)] dxA = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx dacă f≥gf \geq g
Intersecțiile f=gf=g dau capetele intervalului.
Integrare prin părți (definită)
∫abu v′ dx=[uv]ab−∫abu′ v dx\int_a^b u\,v'\, dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'\,v\, dx
Termenul liber se evaluează în capete.
Volumul corpului de rotație
V=π∫abf2(x) dxV = \pi \int_a^b f^2(x)\, dx
Rotație în jurul axei OxOx. Se ridică funcția la pătrat.
Substituție (integrale definite)
∫abf(φ(t))⋅φ′(t) dt\int_a^b f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\, dt
Limitele se transformă: aa și bb devin valorile lui tt, nu ale lui xx.

Capitole inrudite

PrimitiveProprietăți ale integralelorMatematică aplicată (arii, volume)Derivate

Exerciteaza 286 probleme de Integrale definite

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 312 grile de Integrale definite

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.