Clasa 12Analiză

Matematică aplicată — Teorie, Formule si Exemple

Matematica aplicată reunește problemele de optimizare, calculul ariilor și volumelor de rotație, ratele de variație și aplicațiile economice ale derivatelor și integralelor. Tema face parte din programa de Matematica M1 pentru clasa a 12-a și combină cunoștințele de derivate (clasa a 11-a) cu cele de integrale (clasa a 12-a). La examenul de Bacalaureat, aceste aplicații apar în Subiectul III, unde calculul ariei dintre două curbe este aproape garantat, volumele de rotație apar frecvent, iar problemele de optimizare pot constitui un punct complet. Stăpânirea formulelor de arie și volum, împreună cu algoritmul de optimizare, este esențială pentru punctaj maxim.

Probleme de optimizare cu derivate

Algoritmul general de optimizare:

Identifică funcția obiectiv $f(x)$ de maximizat sau minimizat
Scrie restricția (perimetru fix, volum fix, sumă constantă etc.)
Elimină o variabilă folosind restricția — exprimi $f$ ca funcție de o singură variabilă
Determină domeniul variabilei rămase (condiții fizice: lungimi $> 0$ , cantități $\geq 0$ etc.)
Derivează $f$ și rezolvă $f'(x) = 0$
Verifică natura punctului critic cu semnul lui $f'$ sau cu $f''$
Calculează valoarea optimă și formulează răspunsul complet

Testul derivatei a doua:

$f''(x_0) > 0$ — punctul $x_0$ este minim local
$f''(x_0) < 0$ — punctul $x_0$ este maxim local
$f''(x_0) = 0$ — testul nu decide; revino la tabelul de semn al lui $f'$

Atenție la domeniu: O soluție în afara domeniului fizic este invalidă. Verifică întotdeauna că punctul critic aparține intervalului admisibil.

usorProblemă tipică

Un teren dreptunghiular trebuie împrejmuit pe trei laturi (a patra este un zid). Gardul disponibil este de 120 m. Ce dimensiuni maximizează aria terenului?

2 puncte

Fie

x

latura perpendiculară pe zid și

y

latura paralelă. Restricție:

2x + y = 120

, deci

y = 120-2x

. Funcție obiectiv:

A(x) = x(120-2x) = 120x - 2x^2

, cu

x \in (0, 60)

2 puncte

A'(x) = 120 - 4x = 0 \Rightarrow x = 30

. Deci

y = 120 - 2 \cdot 30 = 60

1 punct

A''(x) = -4 < 0

, deci

x = 30

este punct de maxim. Aria maximă:

A(30) = 30 \cdot 60 = 1800

^2

mediuProblemă clasică de optimizare

Dintr-o foaie dreptunghiulară de dimensiuni

20 \times 30

cm se taie pătrate egale de latură

x

din fiecare colț și se îndoaie marginile pentru a forma o cutie fără capac. Determinați

x

pentru care volumul cutiei este maxim.

2 puncte

După tăiere și îndoire, cutia are dimensiunile

(30-2x) \times (20-2x) \times x

. Funcția obiectiv:

V(x) = x(30-2x)(20-2x)

, cu

x \in (0, 10)

2 puncte

Desfacem:

V(x) = x(600 - 60x - 40x + 4x^2) = 4x^3 - 100x^2 + 600x

. Derivăm:

V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150)

3 puncte

3x^2 - 50x + 150 = 0

\Delta = 2500 - 1800 = 700

x = \dfrac{50 \pm \sqrt{700}}{6} = \dfrac{50 \pm 10\sqrt{7}}{6} = \dfrac{25 \pm 5\sqrt{7}}{3}

. Cum

x \in (0,10)

, soluția validă este

x = \dfrac{25 - 5\sqrt{7}}{3} \approx 3{,}92

cm.

3 puncte

V''(x) = 24x - 200

. La

x \approx 3{,}92

V''(3{,}92) \approx 94{,}08 - 200 = -105{,}92 < 0

, deci este maxim. Volumul maxim este

V \approx 1056{,}3

^3

Rate de variație în fizică și economie

Derivata ca rată de variație instantanee:

Dacă $s(t)$ este poziția la momentul $t$ : viteza $v(t) = s'(t)$ , accelerația $a(t) = v'(t) = s''(t)$
Dacă $f'(x_0) > 0$ : funcția crește în vecinătatea lui $x_0$ (rata de variație pozitivă)
Dacă $f'(x_0) < 0$ : funcția scade în vecinătatea lui $x_0$ (rata de variație negativă)

Interpretare economică:

$C(x)$ = costul total de producție a $x$ unități
$C'(x)$ = costul marginal — costul aproximativ al unei unități suplimentare
$V(x)$ = venitul total din vânzarea a $x$ unități
Profitul: $P(x) = V(x) - C(x)$ ; maximul profitului se atinge când $P'(x) = 0$ , adică $V'(x) = C'(x)$ (venitul marginal = costul marginal)

Creștere și descreștere exponențială:

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

$k > 0$ : creștere (populație, capital cu dobândă continuă)
$k < 0$ : descreștere (dezintegrare radioactivă, răcire Newton)
Timpul de înjumătățire: $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{|k|}$

mediuProblemă de antrenament

O companie are costul total

C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x

(mii lei) pentru producția a

x

sute de unități. Găsiți producția care minimizează costul marginal.

2 puncte

Costul marginal:

C'(x) = 3x^2 - 12x + 15

. Pentru a minimiza

C'

, derivăm din nou:

(C')'(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2

3 puncte

(C')''(x) = 6 > 0

, deci

x=2

este punct de minim pentru costul marginal. Costul marginal minim:

C'(2) = 12 - 24 + 15 = 3

mii lei/unitate.

usorProblemă de fizică

Poziția unui mobil este

s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t

(metri),

t \geq 0

. La ce moment se oprește mobilul pentru prima oară? Ce accelerație are în acel moment?

3 puncte

Viteza:

v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3)

. Mobilul se oprește când

v(t) = 0

t = 1

t = 3

. Prima oprire:

t = 1

2 puncte

Accelerația:

a(t) = v'(t) = 6t - 12

. La

t = 1

a(1) = 6 - 12 = -6

m/s

^2

. Accelerația negativă confirmă că mobilul decelera.

Calculul ariei plane prin integrale definite

Aria sub graficul lui

f

[a,b]

A = \int_a^b |f(x)|\, dx

Dacă

f

schimbă semnul pe

[a,b]

, desparte integrala în subintervale. Aria între două curbe

f

și

g

[a,b]

(cu

f(x) \geq g(x)

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx

Pași la calculul ariei dintre două curbe:

Rezolvă $f(x) = g(x)$ pentru a găsi punctele de intersecție $a$ și $b$
Determină care funcție este deasupra pe $(a, b)$
Calculează integrala diferenței

Atenție: Dacă funcțiile se intersectează în interiorul intervalului, trebuie să împarți în subintervale și să aduni ariile (în modul).

mediuExercițiu tip Bac

Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficele funcțiilor

f(x) = x^2

și

g(x) = 2x

2 puncte

Intersecția:

x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0

, deci

x = 0

și

x = 2

2 puncte

(0,2)

g(x) \geq f(x)

(verificăm:

g(1) = 2 > 1 = f(1)

). Aria:

A = \int_0^2 (2x - x^2)\, dx

1 punct

A = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{12-8}{3} = \dfrac{4}{3}

u.a.

greuExercițiu tip Bac — funcții transcendente

Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției

f(x) = e^x

, axa

Ox

, dreapta

x = 0

și dreapta

x = 2

2 puncte

[0, 2]

f(x) = e^x > 0

, deci aria coincide cu integrala:

A = \int_0^2 e^x\, dx

3 puncte

A = \Big[e^x\Big]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}389

u.a.

Volumul solidului de rotație prin integrare

Volumul solidului de rotație obținut prin rotirea graficului lui

f

în jurul axei

Ox

[a,b]

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx

De unde vine formula: Fiecare secțiune perpendiculară pe

Ox

la abscisa

x

este un disc cu raza

|f(x)|

și aria

\pi [f(x)]^2

. Însumarea (integrarea) acestor discuri dă volumul total. Volumul între două suprafețe de rotație (rotirea regiunii dintre

f

și

g

, cu

|f| \geq |g|

V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right)\, dx

Atenție: Factorul

\pi

este întotdeauna prezent la volumele de rotație. Omiterea lui este cea mai frecventă greșeală.

mediuExercițiu clasic

Calculați volumul solidului de rotație obținut prin rotirea graficului

f(x) = \sqrt{x}

în jurul axei

Ox

[0, 4]

2 puncte

Aplicăm formula:

V = \pi \int_0^4 [f(x)]^2\, dx = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\, dx = \pi \int_0^4 x\, dx

3 puncte

V = \pi \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi

u.v.

greuExercițiu tip Bac

Calculați volumul solidului de rotație obținut prin rotirea în jurul axei

Ox

a regiunii mărginite de

f(x) = x

și

g(x) = x^2

pe intervalul

[0, 1]

2 puncte

[0,1]

f(x) = x \geq x^2 = g(x)

(verificăm:

f(0{,}5) = 0{,}5 > 0{,}25 = g(0{,}5)

). Aplicăm formula volumului între două suprafețe.

3 puncte

V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\, dx = \pi \left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \pi \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{2\pi}{15}

u.v.

Aplicații financiare ale funcțiilor exponențiale

Dobânda compusă (capitalizare discretă anuală):

C_n = C_0 \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n

unde

C_0

este capitalul inițial,

r

este rata procentuală anuală, iar

n

este numărul de ani. Dobânda continuă (model exponențial):

C(t) = C_0 \cdot e^{rt}

unde

r

este rata exprimată ca fracție zecimală (ex:

r = 0{,}05

pentru

5\%

). Punct de echilibru (break-even): Se rezolvă

V(x) = C(x)

, adică

P(x) = 0

. Pentru

x > x_0

(producție peste punctul de echilibru), firma are profit. Surplus al consumatorului:

SC = \int_0^{x^*} [D(x) - p^*]\, dx

unde

D(x)

este funcția cerere,

x^*

cantitatea de echilibru și

p^*

prețul de echilibru. Aceste formule apar mai des la admitere la facultăți economice decât la Bac standard.

usorProblemă aplicativă

Un capital de 10.000 lei este investit cu o rată anuală de 5%. Cât va fi capitalul după 3 ani cu dobândă compusă?

2 puncte

Aplicăm formula dobânzii compuse:

C_3 = 10000 \cdot \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^3 = 10000 \cdot (1{,}05)^3

3 puncte

(1{,}05)^3 = 1{,}05 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 1{,}157625

. Deci

C_3 = 10000 \cdot 1{,}157625 \approx 11576{,}25

lei.

mediuProblemă aplicativă

O investiție crește conform modelului

C(t) = 5000 \cdot e^{0{,}04t}

(lei). După câți ani capitalul se dublează?

2 puncte

Căutăm

t

C(t) = 2 \cdot 5000 = 10000

. Ecuația:

5000 \cdot e^{0{,}04t} = 10000 \Rightarrow e^{0{,}04t} = 2

3 puncte

Logaritmăm:

0{,}04t = \ln 2 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 2}{0{,}04} = \dfrac{0{,}693}{0{,}04} \approx 17{,}33

ani.

Greșeli frecvente la matematica aplicată

✗

Rezolv

f'(x)=0

și dau direct răspunsul fără a verifica natura punctului critic

✓Verific cu

f''(x)

sau cu tabelul de semn al lui

f'

că punctul este maxim sau minim

f'(x)=0

dă puncte critice, care pot fi maxime locale, minime locale sau puncte de inflexiune. Verificarea naturii este obligatorie pentru punctaj complet.

✗

La volumul de rotație, uit factorul

\pi

din formulă

✓

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx

— factorul

\pi

vine din aria discului circular

Fiecare secțiune perpendiculară pe

Ox

este un disc cu aria

\pi r^2 = \pi [f(x)]^2

. Fără

\pi

, rezultatul este incorect dimensional.

✗

Nu verific domeniul variabilei la problemele de optimizare cu context fizic

✓Stabilesc domeniul înainte de a deriva: lungimi

> 0

, cantități

\geq 0

x < \text{limita geometrică}

O soluție care nu aparține domeniului fizic este invalidă. De exemplu, o latură negativă sau mai mare decât perimetrul disponibil nu are sens.

✗

La aria dintre două curbe, nu verific care funcție este deasupra pe intervalul dat

✓Verific semnul lui

f(x) - g(x)

pe fiecare subinterval determinat de punctele de intersecție

Dacă inversez funcțiile, obțin aria cu semn negativ. La Bac, trebuie să justific relația de ordine, de exemplu verificând un punct interior.

✗

Nu precizez unitățile de măsură la rezultatul final

✓Aria: m

^2

, cm

^2

, u.a. (unități de arie). Volumul: m

^3

, cm

^3

, u.v. (unități de volum)

La Bac, răspunsul complet include unitatea de măsură. Lipsa acesteia poate costa puncte.

Sfaturi pentru Subiectul III la Bacalaureat

Problemele de arie sunt aproape garantate: La Subiectul III, cel puțin un punct cere calculul ariei suprafeței plane mărginite de graficul funcției, axa

Ox

și/sau drepte verticale. Memorează formula

A = \int_a^b |f(x)|\, dx

și formula ariei dintre două curbe.

Volumul de rotație — formulă scurtă, punctaj mare: Problemele de volum apar frecvent și se rezolvă rapid dacă știi formula. Verifică întotdeauna: ai pus

\pi

? Ai ridicat la pătrat funcția? Ai calculat corect primitiva?

La optimizare, algoritmul contează mai mult decât calculul: Citește enunțul de două ori. Prima dată identifică ce se maximizează/minimizează (funcția obiectiv) și ce este constant (restricția). A doua oară scrie ecuațiile. Modelarea matematică a problemei valorează jumătate din punctaj.

Conexiuni obligatorii cu alte teme: Problemele aplicative combină derivate (monotonie, extreme — clasa a 11-a) cu integrale definite și primitive (clasa a 12-a). Repetă formulele de primitive uzuale și regulile de derivare înainte de examen.

Justifică fiecare pas: La Bac, baremul acordă puncte separate pentru: scrierea corectă a funcției obiectiv, derivarea, rezolvarea ecuației

f'(x)=0

, verificarea naturii punctului critic și calculul valorii optime. Nu sări niciun pas, chiar dacă ți se pare evident.

Formulele esențiale pentru matematica aplicată

Condiție necesară de extrem

f'(x_0) = 0

Punct critic. Verifică natura cu

f''

sau cu tabelul de semn al lui

f'

Testul derivatei a doua

f''(x_0) > 0 \Rightarrow

minim;

\quad f''(x_0) < 0 \Rightarrow

maxim

Dacă

f''(x_0) = 0

, testul nu decide — se revine la studiul semnului lui

f'

Viteză și accelerație

v(t) = s'(t)

\quad a(t) = s''(t)

Derivatele poziției și respectiv ale vitezei față de timp.

Aria sub grafic

A = \int_a^b |f(x)|\, dx

Modulul asigură aria pozitivă chiar dacă funcția ia valori negative.

Aria între două curbe

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx

, cu

f \geq g

Limitele

a, b

sunt date de intersecțiile

f(x) = g(x)

Volum de rotație

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx

Rotire în jurul axei

Ox

. Factorul

\pi

este obligatoriu.

Volum de rotație între două curbe

V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right)\, dx

Se scade volumul generat de curba interioară.

Dobândă compusă

C_n = C_0 \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n

Capitalizare discretă anuală;

r

= rata procentuală.

Dobândă continuă

C(t) = C_0 \cdot e^{rt}

Model exponențial;

r

= rata ca fracție zecimală.

Costul marginal

C'(x)

— costul aproximativ al unei unități suplimentare

Profitul maxim se atinge când venitul marginal egalează costul marginal:

V'(x) = C'(x)

Capitole inrudite

Integrale definite Primitive Aplicații ale derivatelor Studiul funcțiilor

Exerciteaza 363 probleme de Matematică aplicată

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 290 grile de Matematică aplicată

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.