Clasa 12Analiză

Primitive — Teorie, Formule si Exemple

Primitivele (antiderivatele) reprezintă operația inversă derivării: dacă

F'(x) = f(x)

, atunci

F

este o primitivă a lui

f

. Acest capitol face parte din programa de Matematică M1 pentru clasa a 12-a și constituie baza calculului integral. La examenul de Bacalaureat, primitivele apar în mod garantat la Subiectul III (punctul 2), unde se cere de regulă: (a) calculul unei primitive, (b) o integrală definită folosind primitiva de la (a), (c) calculul unei arii. Tabelul de primitive de bază, recunoașterea derivatei la numărător, integrarea prin părți și substituția imediată sunt tehnicile cele mai frecvent testate. Stăpânirea acestor metode asigură rezolvarea completă a 30 de puncte din Subiectul III.

Definiția primitivei și tabelul de primitive de bază

Dacă

F'(x) = f(x)

pe intervalul

I

, atunci

F

este o primitivă a lui

f

I

. Notație:

\int f(x)\, dx = F(x) + C

(integrala nedefinită). Constanta

C \in \mathbb{R}

este obligatorie: orice funcție

F(x) + C

este primitivă a lui

f

. Teorema de existență: Orice funcție continuă pe un interval are primitive pe acel interval. Tabel esențial: |

f(x)

\int f(x)\,dx

| Observație | |---------|-------------------|------------| |

k

kx + C

| constanta | |

x^n,\; n\neq -1

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

| crești exponentul, împarți | |

\dfrac{1}{x}

\ln|x|+C

| excepția pentru

n=-1

| |

e^x

e^x+C

| se derivează pe sine | |

a^x

\dfrac{a^x}{\ln a}+C

a>0,\,a\neq 1

| |

\sin x

-\cos x+C

| minusul este obligatoriu | |

\cos x

\sin x+C

| | |

\dfrac{1}{\cos^2 x}

\operatorname{tg} x+C

| | |

\dfrac{1}{\sin^2 x}

-\operatorname{ctg} x+C

| | |

\dfrac{1}{x^2+a^2}

\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C

| | |

\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}

\arcsin\dfrac{x}{a}+C

|x|<a

usorExercițiu de bază

Calculați

\int (3x^2 - 2x + 5)\, dx

1 punct

Aplicăm linearitatea:

\int (3x^2 - 2x + 5)\, dx = 3\int x^2\, dx - 2\int x\, dx + 5\int 1\, dx

2 puncte

Aplicăm formula puterii pentru fiecare termen:

3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 5x + C

2 puncte

Simplificăm:

x^3 - x^2 + 5x + C

usorExercițiu de bază

Calculați

\int \left(e^x + \dfrac{1}{x} - \sin x\right) dx

1 punct

Aplicăm linearitatea:

\int e^x\, dx + \int \dfrac{1}{x}\, dx - \int \sin x\, dx

2 puncte

Din tabel:

e^x + \ln|x| - (-\cos x) + C

2 puncte

Rezultat:

e^x + \ln|x| + \cos x + C

Linearitatea integralei și substituția imediată

Linearitatea integralei:

\int [\alpha f(x) + \beta g(x)]\, dx = \alpha \int f(x)\, dx + \beta \int g(x)\, dx

Substituție imediată (cel mai frecvent la Bac): Când integranda are forma

f(ax+b)

\int f(ax+b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C

Derivata la numărător (recunoaștere imediată):

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln|f(x)| + C

\int f'(x) \cdot [f(x)]^n\, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

usorExercițiu tip Bac

Calculați

\int e^{3x}\, dx

și

\int \dfrac{2x}{x^2+1}\, dx

2 puncte

Substituție imediată cu

a=3

\int e^{3x}\, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} + C

3 puncte

Recunoaștem

\dfrac{f'(x)}{f(x)}

f(x)=x^2+1

f'(x)=2x

\int \dfrac{2x}{x^2+1}\, dx = \ln(x^2+1) + C

mediuExercițiu tip Bac

Calculați

\int \cos(2x+1)\, dx

și

\int x^2 \cdot e^{x^3}\, dx

2 puncte

Pentru

\int \cos(2x+1)\, dx

, aplicăm substituția liniară cu

a=2

\dfrac{1}{2}\sin(2x+1) + C

2 puncte

Pentru

\int x^2 \cdot e^{x^3}\, dx

, observăm că

(x^3)' = 3x^2

, deci

x^2 = \dfrac{1}{3}(x^3)'

1 punct

Scriem:

\int x^2 \cdot e^{x^3}\, dx = \dfrac{1}{3}\int (x^3)' \cdot e^{x^3}\, dx = \dfrac{1}{3} e^{x^3} + C

Integrarea prin părți

Formula:

\int u \cdot v'\, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v\, dx

Când se folosește: Produsul a două funcții din clase diferite. Regula LIATE (prioritatea lui

u

Logaritmi: $\ln x$ , $\log_a x$
Inverse trigonometrice: $\arcsin x$ , $\arctan x$
Algebrice (polinoame): $x^n$
Trigonometrice: $\sin x$ , $\cos x$
Exponențiale: $e^x$ , $a^x$

Funcția mai sus în listă se alege ca

u

, cealaltă ca

v'

mediuExercițiu clasic

Calculați

\int x \ln x\, dx

2 puncte

Alegem

u = \ln x

(logaritm, prioritate mai mare în LIATE) și

v' = x

. Deci

u' = \dfrac{1}{x}

și

v = \dfrac{x^2}{2}

3 puncte

Aplicăm formula:

\int x \ln x\, dx = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x}\, dx = \dfrac{x^2 \ln x}{2} - \dfrac{1}{2}\int x\, dx

Calculăm integrala rămasă:

\dfrac{x^2 \ln x}{2} - \dfrac{x^2}{4} + C = \dfrac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C

mediuExercițiu tip Bac

Calculați

\int x e^x\, dx

2 puncte

Alegem

u = x

(algebric) și

v' = e^x

(exponențial). Deci

u' = 1

și

v = e^x

3 puncte

\int x e^x\, dx = x e^x - \int e^x\, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C

Integrarea funcțiilor raționale prin descompunere în fracții simple

Integrarea raționalelor

\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\, dx

: Pas 1: Dacă

\deg P \geq \deg Q

, efectuează împărțirea polinomială pentru a obține un polinom plus o fracție cu gradul numărătorului strict mai mic decât gradul numitorului. Pas 2: Descompune numitorul

Q(x)

în factori ireductibili peste

\mathbb{R}

. Pas 3: Scrie fracția ca sumă de fracții simple și determină coeficienții. Pas 4: Integrează fiecare fracție simplă:

$\int \dfrac{A}{x-a}\, dx = A\ln|x-a| + C$
$\int \dfrac{A}{(x-a)^n}\, dx = \dfrac{A}{-(n-1)(x-a)^{n-1}} + C$ pentru $n \geq 2$
$\int \dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}\, dx$ (cu $\Delta < 0$ ) se reduce la combinație de $\ln$ și $\arctan$ prin completarea pătratului

Trucuri utile la Bac: Verifică mai întâi dacă numărătorul este derivata (sau multiplu al derivatei) numitorului. Dacă da, integrala este de tip

\ln

și nu trebuie descompusă în fracții simple.

greuProblemă de antrenament

Calculați

\int \dfrac{x+1}{x^2+2x+5}\, dx

2 puncte

Observăm că

(x^2+2x+5)' = 2x+2 = 2(x+1)

, deci

x+1 = \dfrac{1}{2}(x^2+2x+5)'

3 puncte

Scriem

\int \dfrac{x+1}{x^2+2x+5}\, dx = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{(x^2+2x+5)'}{x^2+2x+5}\, dx = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) + C

Verificare prin derivare:

\left(\dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+5)\right)' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x+2}{x^2+2x+5} = \dfrac{x+1}{x^2+2x+5}

✓

mediuExercițiu tip Bac

Calculați

\int \dfrac{1}{x^2-4}\, dx

2 puncte

Descompunem:

\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+2}

. Obținem

A = \dfrac{1}{4}

B = -\dfrac{1}{4}

2 puncte

Integrăm:

\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1}{x-2}\, dx - \dfrac{1}{4}\int \dfrac{1}{x+2}\, dx = \dfrac{1}{4}\ln|x-2| - \dfrac{1}{4}\ln|x+2| + C

1 punct

Forma compactă:

\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right| + C

Greșeli frecvente la calculul primitivelor

✗

\int x^{-1}\, dx = \dfrac{x^0}{0} + C

✓

\int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C

Formula puterii

\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

NU funcționează pentru

n=-1

(împărțire la zero). Cazul

1/x

este excepție și dă logaritm.

✗

Uit constanta

+C

✓Orice primitivă nedefinită include

+C

La Bac, omiterea lui

C

costă 1-2 puncte. Familia de primitive este

F(x) + C

pentru orice

C \in \mathbb{R}

✗

\int \sin x\, dx = \cos x + C

✓

\int \sin x\, dx = -\cos x + C

Minusul este esențial. Derivata lui

\cos x

este

-\sin x

, deci primitiva lui

\sin x

este

-\cos x

✗

La integrare prin părți, aleg

u = e^x

și

v' = x

✓Aleg

u = x

(algebric) și

v' = e^x

(exponențial)

Regula LIATE: algebricul are prioritate față de exponențial. Dacă alegi invers, integrala rezultată devine mai complicată.

✗

\int e^{x^2}\, dx = e^{x^2} + C

✓Această integrală NU are expresie în funcții elementare

Doar

\int e^x\, dx = e^x + C

și variantele

e^{ax+b}

. Funcția

e^{x^2}

nu are primitivă elementară.

Sfaturi și strategii pentru Subiectul III la Bacalaureat

Primitivele apar la Subiectul III, Exercițiul 2 în FIECARE sesiune. Structura tipică: (a) calculați o primitivă, (b) calculați o integrală definită (folosind primitiva de la (a)), (c) calculați o arie. Eroarea de la (a) se propagă la (b) și (c), deci verifică primitiva înainte de a merge mai departe.

Verificare rapidă: Derivează rezultatul obținut. Dacă derivata este integranda originală, ai lucrat corect. Durează 30 de secunde și poate salva toate punctele de la subpunctele (b) și (c).

Cele mai frecvente tipare la Bac: (1) Polinom simplu — tabel direct. (2)

\int f'(x)/f(x)\,dx = \ln|f(x)|+C

— recunoaște imediat numărătorul ca derivată a numitorului. (3) Prin părți cu

x \cdot e^x

x \cdot \sin x

x \cdot \ln x

. (4) Substituție liniară

e^{ax}

\sin(bx+c)

Timp recomandat: 8-12 minute pentru calculul primitivei la Subiectul III. Dacă blochezi la 5 minute, sari la alt subpunct și revino. Nu pierde timp pe o singură integrală.

Nu uita constanta $+C$ ! La integrala nedefinită, omiterea constantei de integrare este penalizată cu 1 punct. La integrala definită (subpunctul b), constanta se simplifică, deci nu mai este necesară.

Formulele esențiale pentru primitive

Constanta

\int k\, dx = kx + C

Derivata lui

kx

este

k

Putere (

n \neq -1

)

\int x^n\, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C

Crești exponentul cu 1, împarți la noul exponent.

Excepția

1/x

\int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C

Valoarea absolută este obligatorie.

Exponențiala

\int e^x\, dx = e^x + C

e^x

este propria sa primitivă.

Substituție liniară

\int f(ax+b)\, dx = \dfrac{1}{a} F(ax+b) + C

Împarți la coeficientul lui

x

Derivata la numărător

\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln|f(x)| + C

Recunoaște numărătorul ca derivată a numitorului.

Integrare prin părți

\int u\, v'\, dx = uv - \int u'\, v\, dx

Alege

u

după regula LIATE.

Linearitate

\int [\alpha f + \beta g]\, dx = \alpha \int f\, dx + \beta \int g\, dx

Constanta se scoate, suma se desface.

Capitole inrudite

Integrale definite Proprietăți ale integralelor Derivate Matematică aplicată

Exerciteaza 295 probleme de Primitive

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 300 grile de Primitive

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.