Clasa 9Algebră

Polinoame — Teorie, Formule si Exemple

Polinoamele sunt expresii algebrice formate din sume de puteri ale unei variabile cu coeficienți reali și reprezintă unul dintre cele mai importante capitole din programa de clasa a 9-a, Matematică M1. Teoria polinoamelor cuprinde împărțirea cu rest, teorema restului, teorema lui Bezout, schema lui Horner și relațiile lui Viète — instrumente esențiale pentru factorizarea și aflarea rădăcinilor. La examenul de Bacalaureat (BAC), polinoamele apar la Subiectul II, Exercițiul 2 (15 puncte, format a+b+c cu 5+5+5 puncte) — unul dintre cele mai predictibile și accesibile subiecte de la BAC, unde un algoritm clar (testare rădăcini, Horner, factorizare) garantează punctajul maxim.

Definiția polinomului, gradul, coeficienții și rădăcinile

Polinomul de grad nn în variabila xx cu coeficienți reali: P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0,an≠0P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0 Gradul polinomului grad(P)=n\text{grad}(P) = n — cel mai înalt exponent cu coeficient nenul. Coeficientul dominant (principal): ana_n; termenul liber: a0=P(0)a_0 = P(0). Polinoame speciale:
  • Polinom nul: P(x)=0P(x) = 0 (nu are grad definit)
  • Polinom constant: P(x)=a0P(x) = a_0, grad 0 (dacă a0≠0a_0 \neq 0)
  • Polinom monic: coeficientul dominant an=1a_n = 1
Rădăcina (zeroul) polinomului PP: valoarea c∈Rc \in \mathbb{R} cu proprietatea P(c)=0P(c) = 0. Multiplicitatea rădăcinii cc: cel mai mare k∈N∗k \in \mathbb{N}^* astfel încât (x−c)k∣P(x)(x - c)^k \mid P(x). Dacă k=1k = 1, rădăcina este simplă; dacă k=2k = 2, este dublă etc. Teorema fundamentală (număr de rădăcini): un polinom de grad nn are cel mult nn rădăcini reale, numărând multiplicitatea. Poate avea și mai puține (de exemplu, x2+1x^2 + 1 nu are rădăcini reale).
usorExercițiu de bază
Fie P(x)=2x4−3x2+x−7P(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 7. Determinați gradul, coeficientul dominant și termenul liber.
1
2 puncte
Gradul: cel mai mare exponent cu coeficient nenul este 44, deci grad(P)=4\text{grad}(P) = 4.
2
3 puncte
Coeficientul dominant: a4=2a_4 = 2. Termenul liber: a0=P(0)=−7a_0 = P(0) = -7.
usorExercițiu de bază
Verificați că x=2x = 2 este rădăcină a lui P(x)=x3−2x2−x+2P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 și determinați multiplicitatea.
1
3 puncte
P(2)=8−2⋅4−2+2=8−8−2+2=0P(2) = 8 - 2 \cdot 4 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 ✓, deci x=2x = 2 este rădăcină.
2
2 puncte
Factorizăm: P(x)=(x−2)(x2−1)=(x−2)(x−1)(x+1)P(x) = (x-2)(x^2-1) = (x-2)(x-1)(x+1). Factorul (x−2)(x-2) apare o singură dată, deci rădăcina x=2x = 2 are multiplicitatea 11 (rădăcină simplă).

Adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor

Adunarea și scăderea: Se adună/scad coeficienții termenilor de același grad: (3x2+2x−1)+(x2−5x+4)=4x2−3x+3(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4) = 4x^2 - 3x + 3 Regula gradelor:
  • grad(P+Q)≤max⁡(grad(P),grad(Q))\text{grad}(P + Q) \leq \max(\text{grad}(P), \text{grad}(Q))
  • grad(P⋅Q)=grad(P)+grad(Q)\text{grad}(P \cdot Q) = \text{grad}(P) + \text{grad}(Q)
Înmulțirea: Fiecare termen al primului polinom se înmulțește cu fiecare termen al celui de-al doilea, apoi se grupează termenii de același grad. Egalitatea polinoamelor: Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă au aceiași coeficienți pentru fiecare putere a lui xx. Aceasta este metoda coeficienților nedeterminați — se egalează coeficienții și se obține un sistem.
usorExercițiu de bază
Calculați (2x2−3x+1)(x+2)(2x^2 - 3x + 1)(x + 2).
1
3 puncte
=2x2⋅x+2x2⋅2+(−3x)⋅x+(−3x)⋅2+1⋅x+1⋅2= 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot 2 + (-3x) \cdot x + (-3x) \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2
2
2 puncte
=2x3+4x2−3x2−6x+x+2=2x3+x2−5x+2= 2x^3 + 4x^2 - 3x^2 - 6x + x + 2 = 2x^3 + x^2 - 5x + 2
mediuExercițiu clasic, clasa a 9-a
Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} dacă x3+ax+b=(x−1)(x2+x+c)x^3 + ax + b = (x - 1)(x^2 + x + c) pentru orice xx.
1
3 puncte
Dezvoltăm membrul drept: (x−1)(x2+x+c)=x3+x2+cx−x2−x−c=x3+(c−1)x−c(x-1)(x^2+x+c) = x^3 + x^2 + cx - x^2 - x - c = x^3 + (c-1)x - c.
2
2 puncte
Identificăm coeficienții: a=c−1a = c - 1 și b=−cb = -c. Din b=−cb = -c rezultă c=−bc = -b, iar a=−b−1a = -b - 1. Pentru o relație unică, dacă P(1)=0P(1) = 0: 1+a+b=01 + a + b = 0, deci a+b=−1a + b = -1, confirmând a=−b−1a = -b - 1.

Împărțirea cu rest, teorema restului și teorema lui Bezout

Împărțirea cu rest (algoritmul euclidian pentru polinoame): Oricare ar fi polinoamele F(x)F(x) și G(x)G(x) cu G≠0G \neq 0, există unice C(x)C(x) (câtul) și R(x)R(x) (restul) cu: F(x)=G(x)⋅C(x)+R(x),grad(R)<grad(G)F(x) = G(x) \cdot C(x) + R(x), \quad \text{grad}(R) < \text{grad}(G) Teorema restului: Restul împărțirii polinomului P(x)P(x) la binomul (x−a)(x - a) este egal cu P(a)P(a): P(x)=(x−a)⋅C(x)+P(a)P(x) = (x - a) \cdot C(x) + P(a) Restul este un număr (polinom de grad 0), nu un polinom de grad mai mare. Teorema lui Bezout: Valoarea aa este rădăcină a polinomului PP dacă și numai dacă (x−a)(x - a) divide P(x)P(x): P(a)=0⇔(x−a)∣P(x)P(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a) \mid P(x) Consecință practică: Pentru a verifica dacă aa este rădăcină, calculezi P(a)P(a). Dacă obții 00, poți factoriza P(x)=(x−a)⋅C(x)P(x) = (x - a) \cdot C(x) și continui cu C(x)C(x).
usorTip Bac, Subiectul I
Calculați restul împărțirii lui P(x)=x3−2x+5P(x) = x^3 - 2x + 5 la (x−1)(x - 1).
1
2 puncte
Prin teorema restului, restul este R=P(1)R = P(1).
2
3 puncte
P(1)=13−2⋅1+5=1−2+5=4P(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4. Restul împărțirii este R=4R = 4.
mediuTip Bac, Subiectul II
Arătați că (x+1)(x + 1) divide P(x)=x3+3x2+3x+1P(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 și aflați câtul.
1
2 puncte
Prin teorema lui Bezout, verificăm: P(−1)=(−1)3+3(−1)2+3(−1)+1=−1+3−3+1=0P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0 ✓.
2
3 puncte
Deci (x+1)∣P(x)(x + 1) \mid P(x). Prin împărțire: P(x)=(x+1)(x2+2x+1)=(x+1)3P(x) = (x+1)(x^2 + 2x + 1) = (x+1)^3.
mediuExercițiu clasic, clasa a 9-a
Determinați a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât restul împărțirii lui P(x)=x3+ax2−4x+2P(x) = x^3 + ax^2 - 4x + 2 la (x−2)(x - 2) să fie egal cu 66.
1
3 puncte
Prin teorema restului: R=P(2)=8+4a−8+2=4a+2R = P(2) = 8 + 4a - 8 + 2 = 4a + 2.
2
2 puncte
Condiția P(2)=6P(2) = 6: 4a+2=6⇒4a=4⇒a=14a + 2 = 6 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1.

Schema lui Horner — algoritm eficient de împărțire și factorizare

Schema lui Horner este metoda rapidă pentru a împărți P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 la (x−a)(x - a) și a obține simultan câtul și restul. Construcție pas cu pas:
  1. Scriem coeficienții an,an−1,…,a0a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 pe primul rând (inclusiv coeficienți 00 pentru puterile lipsă!)
  2. Scriem valoarea aa în stânga
  3. Primul coeficient coboară neschimbat: bn=anb_n = a_n
  4. La fiecare pas: bk=bk+1⋅a+akb_k = b_{k+1} \cdot a + a_k (înmulțesc cu aa, apoi adun coeficientul)
undefined
mediuTip Bac, Subiectul II
Folosind schema lui Horner, factorizați complet P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.
1
2 puncte
Termenul liber a0=−6a_0 = -6, deci candidați: ±1,±2,±3,±6\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6. Testăm P(1)=1−6+11−6=0P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓.
2
2 puncte
Horner cu a=1a = 1: coeficienți 1,−6,11,−61, -6, 11, -6. Calcul: 1→1⋅1+(−6)=−5→(−5)⋅1+11=6→6⋅1+(−6)=01 \to 1 \cdot 1 + (-6) = -5 \to (-5) \cdot 1 + 11 = 6 \to 6 \cdot 1 + (-6) = 0. Câtul: x2−5x+6x^2 - 5x + 6.
3
1 punct
x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) (prin Δ=25−24=1\Delta = 25-24 = 1 sau descompunere). Deci P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).
mediuTip Bac, Subiectul II
Factorizați P(x)=x3+2x2−5x−6P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6.
1
2 puncte
Termenul liber a0=−6a_0 = -6, candidați: ±1,±2,±3,±6\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6. Testăm: P(1)=1+2−5−6=−8≠0P(1) = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \neq 0. P(−1)=−1+2+5−6=0P(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 ✓.
2
2 puncte
Horner cu a=−1a = -1: 1,2,−5,−61, 2, -5, -6. Calcul: 1→1⋅(−1)+2=1→1⋅(−1)+(−5)=−6→(−6)⋅(−1)+(−6)=01 \to 1 \cdot (-1) + 2 = 1 \to 1 \cdot (-1) + (-5) = -6 \to (-6)\cdot(-1)+(-6) = 0. Câtul: x2+x−6x^2 + x - 6.
3
1 punct
x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) (rădăcini: x=2x = 2 și x=−3x = -3). Deci P(x)=(x+1)(x−2)(x+3)P(x) = (x+1)(x-2)(x+3).
greuExercițiu avansat
Factorizați P(x)=x4−5x2+4P(x) = x^4 - 5x^2 + 4.
1
2 puncte
Atenție: coeficientul lui x3x^3 este 00 (putere lipsă!). Coeficienți: 1,0,−5,0,41, 0, -5, 0, 4. Candidați: ±1,±2,±4\pm 1, \pm 2, \pm 4. P(1)=1−5+4=0P(1) = 1 - 5 + 4 = 0 ✓.
2
1 punct
Horner cu a=1a = 1: 1,0,−5,0,4→1,1,−4,−4,01, 0, -5, 0, 4 \to 1, 1, -4, -4, 0. Câtul: x3+x2−4x−4x^3 + x^2 - 4x - 4.
3
1 punct
Testăm x=−1x = -1 pe cât: −1+1+4−4=0-1 + 1 + 4 - 4 = 0 ✓. Horner: 1,1,−4,−4→1,0,−4,01, 1, -4, -4 \to 1, 0, -4, 0. Câtul: x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2).
4
1 punct
P(x)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)P(x) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2). Rădăcinile sunt ±1\pm 1 și ±2\pm 2.

Relațiile lui Viète — legătura între coeficienți și rădăcini

Relațiile lui Viète exprimă coeficienții unui polinom în funcție de rădăcinile sale, fără a fi nevoie să le calculezi explicit. Pentru ecuația de gradul 2: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 cu rădăcinile x1,x2x_1, x_2: x1+x2=−ba(suma ra˘da˘cinilor)x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{(suma rădăcinilor)} x1⋅x2=ca(produsul ra˘da˘cinilor)x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \qquad \text{(produsul rădăcinilor)} Pentru ecuația de gradul 3: ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 cu rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3: x1+x2+x3=−bax_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a} x1x2+x1x3+x2x3=cax_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a} x1x2x3=−da(atenție la semnul minus!)x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} \quad \text{(atenție la semnul minus!)} Regula semnelor (formula generală): Pentru polinomul de grad nn, suma produselor rădăcinilor luate câte kk este (−1)k⋅an−kan(-1)^k \cdot \dfrac{a_{n-k}}{a_n}. Utilizare practică: Dacă cunoști o rădăcină sau o relație între rădăcini (de ex. „rădăcinile sunt în progresie aritmetică"), Viète transformă problema într-un sistem algebric rezolvabil fără a calcula rădăcinile explicit.
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie P(x)=x2−5x+6P(x) = x^2 - 5x + 6. Fără a rezolva ecuația, calculați x12+x22x_1^2 + x_2^2.
1
2 puncte
Din Viète: x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 și x1x2=6x_1 x_2 = 6.
2
3 puncte
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=25−12=13x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 12 = 13.
mediuExercițiu clasic, clasa a 9-a
Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} dacă ecuația x2−(m+1)x+2m−1=0x^2 - (m+1)x + 2m - 1 = 0 are rădăcini x1,x2x_1, x_2 cu x1+x2=2x1x2x_1 + x_2 = 2x_1 x_2.
1
2 puncte
Din Viète: x1+x2=m+1x_1 + x_2 = m + 1 și x1x2=2m−1x_1 x_2 = 2m - 1.
2
2 puncte
Condiția devine: m+1=2(2m−1)=4m−2m + 1 = 2(2m - 1) = 4m - 2, deci 3=3m3 = 3m, adică m=1m = 1.
3
1 punct
Verificare: Δ=(m+1)2−4(2m−1)=4−4=0≥0\Delta = (m+1)^2 - 4(2m-1) = 4 - 4 = 0 \geq 0 ✓. Ecuația x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0 are rădăcina dublă x1=x2=1x_1 = x_2 = 1.
greuExercițiu clasic, clasa a 9-a
Știind că P(x)=x3+ax2+bx−8P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 8 are rădăcina x0=2x_0 = 2 de multiplicitate cel puțin 22, aflați aa și bb.
1
2 puncte
Multiplicitate ≥2\geq 2 implică P(2)=0P(2) = 0: 8+4a+2b−8=0⇒4a+2b=0⇒2a+b=08 + 4a + 2b - 8 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0. ...(1)
2
2 puncte
Rădăcină cel puțin dublă implică și P′(2)=0P'(2) = 0: P′(x)=3x2+2ax+bP'(x) = 3x^2 + 2ax + b, deci 12+4a+b=012 + 4a + b = 0. ...(2)
3
1 punct
Din (1): b=−2ab = -2a. Înlocuim în (2): 12+4a−2a=0⇒2a=−12⇒a=−612 + 4a - 2a = 0 \Rightarrow 2a = -12 \Rightarrow a = -6, b=12b = 12. Verificare: P(x)=x3−6x2+12x−8=(x−2)3P(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x-2)^3 ✓.

Factorizarea completă a polinoamelor — algoritm pas cu pas

Algoritmul complet de factorizare (cel mai frecvent cerut la BAC): Pasul 1: Identifici termenul liber a0a_0 și listezi toți divizorii: ±1,±2,…\pm 1, \pm 2, \ldots Pasul 2: Testezi candidații în ordine: calculi P(±1)P(\pm 1), P(±2)P(\pm 2), etc. până găsești P(c)=0P(c) = 0. Trucuri rapide:
  • P(1)=0⇔P(1) = 0 \Leftrightarrow suma tuturor coeficienților este 00
  • P(−1)=0⇔P(-1) = 0 \Leftrightarrow suma coeficienților cu semne alternante este 00
Pasul 3: Aplici schema lui Horner cu rădăcina găsită, obținând câtul C(x)C(x) de grad n−1n-1. Pasul 4: Repeți procedura pe C(x)C(x) până obții un polinom de grad ≤2\leq 2 (pe care îl factorizezi cu Δ\Delta). Pasul 5: Scrii factorizarea completă: P(x)=an(x−x1)m1(x−x2)m2⋯P(x) = a_n(x - x_1)^{m_1}(x - x_2)^{m_2} \cdots Observație importantă: Dacă polinomul are grad par și nu are rădăcini reale, poate fi descompus ca produs de factori de grad 2 ireductibili (cu Δ<0\Delta < 0).
mediuTip Bac, Subiectul II
Factorizați complet P(x)=2x3−3x2−3x+2P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2.
1
2 puncte
Suma coeficienților: 2−3−3+2=−2≠02 - 3 - 3 + 2 = -2 \neq 0, deci x=1x = 1 nu e rădăcină. Testăm P(−1)=−2−3+3+2=0P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0 ✓.
2
2 puncte
Horner cu a=−1a = -1: 2,−3,−3,2→2,−5,2,02, -3, -3, 2 \to 2, -5, 2, 0. Câtul: 2x2−5x+22x^2 - 5x + 2.
3
1 punct
Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, x=5±34x = \frac{5 \pm 3}{4}, deci x=2x = 2 sau x=12x = \frac{1}{2}. Factorizare: P(x)=(x+1)(2x−1)(x−2)P(x) = (x+1)(2x-1)(x-2).
mediuExercițiu clasic, clasa a 9-a
Rezolvați ecuația x3−7x+6=0x^3 - 7x + 6 = 0.
1
2 puncte
Atenție: coeficientul lui x2x^2 este 00. Suma coeficienților: 1+0−7+6=01 + 0 - 7 + 6 = 0, deci x=1x = 1 este rădăcină.
2
2 puncte
Horner cu a=1a = 1: 1,0,−7,6→1,1,−6,01, 0, -7, 6 \to 1, 1, -6, 0. Câtul: x2+x−6x^2 + x - 6.
3
1 punct
x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2). Soluțiile ecuației: x∈{−3,1,2}x \in \{-3, 1, 2\}.

Greșeli frecvente la polinoame — ce să eviți

✗
Confuzia: restul împărțirii la (x−a)(x-a) ar fi câtul C(x)C(x)
✓Restul împărțirii lui P(x)P(x) la (x−a)(x-a) este valoarea P(a)P(a) — un număr, nu un polinom
Teorema restului spune că P(a)P(a) este un număr real. Câtul C(x)C(x) este polinomul de grad n−1n-1, iar restul este constanta P(a)P(a).
✗
Schema Horner: formula este bk=bk+1+ak⋅ab_k = b_{k+1} + a_k \cdot a (adun apoi înmulțesc)
✓Formula corectă: bk=bk+1⋅a+akb_k = b_{k+1} \cdot a + a_k (înmulțesc apoi adun)
Ordinea operațiilor contează: termenul anterior se înmulțește cu aa, apoi se adaugă coeficientul curent.
✗
Viète pentru grad 3: x1x2x3=d/ax_1 x_2 x_3 = d/a (fără minus)
✓x1x2x3=−d/ax_1 x_2 x_3 = -d/a (cu minus!)
Semnul alternează: suma rădăcinilor are minus, suma produselor câte 2 nu are, produsul celor 3 are minus. Regula: (−1)k(-1)^k pentru produsele câte kk.
✗
Un polinom de grad nn are exact nn rădăcini reale
✓Un polinom de grad nn are cel mult nn rădăcini reale (numărând multiplicitățile)
Exemplu: x2+1x^2 + 1 (grad 2) nu are nicio rădăcină reală. Doar în C\mathbb{C} (numerele complexe) un polinom de grad nn are exact nn rădăcini.
✗
La Horner, omit coeficientul 00 pentru puterile lipsă
✓Dacă o putere lipsește, trebuie inclus coeficientul 00 pe poziția corespunzătoare
Exemplu: x3−5x+2x^3 - 5x + 2 are coeficienții 1,0,−5,21, 0, -5, 2 (nu 1,−5,21, -5, 2!). Omiterea lui 00 produce un câtul cu grad greșit.
✗
Testez doar +1,+2,+3,…+1, +2, +3, \ldots ca rădăcini candidate
✓Trebuie testate și valorile negative: ±1,±2,±3,…\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots
Rădăcinile pot fi și negative. Testează mereu ambele semne ale fiecărui divizor al termenului liber.

Strategii pentru polinoame la Bacalaureat

Polinoamele apar la Subiectul II, Exercițiul 2 (15 puncte, format a+b+c cu 5+5+5). Algoritmul standard: testezi rădăcini (divizorii termenului liber) → aplici Horner → factorizezi câtul → scrii factorizarea completă.
Trucuri rapide pentru testarea rădăcinilor: P(1)=0P(1) = 0 dacă și numai dacă suma tuturor coeficienților este 00. P(−1)=0P(-1) = 0 dacă și numai dacă suma coeficienților cu semne alternante (an−an−1+an−2−…a_n - a_{n-1} + a_{n-2} - \ldots) este 00. Începe mereu cu ±1\pm 1!
Nu uita puterile lipsă! Dacă polinomul este x4−5x2+4x^4 - 5x^2 + 4, la Horner scrii coeficienții 1,0,−5,0,41, 0, -5, 0, 4 (cu 00 pentru x3x^3 și x1x^1). Aceasta este greșeala care pierde cele mai multe puncte.
Gestionarea timpului: O problemă standard cu polinoame la Subiectul II durează 8–12 minute. Dacă prima rădăcină nu iese după 3-4 testări, recitește enunțul — poate conține o condiție suplimentară (rădăcini în progresie, rădăcină dublă etc.) care simplifică rezolvarea.
Verificare rapidă la final: După factorizare, înmulțește factorii înapoi mental sau calculează PP în două puncte pentru a confirma. Pierderea punctelor la BAC vine cel mai des din erori de calcul, nu din necunoașterea metodei.

Toate formulele esențiale pentru polinoame

Împărțirea cu rest
F(x)=G(x)⋅C(x)+R(x),grad(R)<grad(G)F(x) = G(x) \cdot C(x) + R(x), \quad \text{grad}(R) < \text{grad}(G)
Orice polinom se împarte unic cu rest la alt polinom nenul.
Teorema restului
P(x)=(x−a)⋅C(x)+P(a)P(x) = (x-a) \cdot C(x) + P(a)
Restul împărțirii la (x−a)(x-a) este valoarea P(a)P(a).
Teorema lui Bezout
P(a)=0⇔(x−a)∣P(x)P(a) = 0 \Leftrightarrow (x-a) \mid P(x)
aa este rădăcină dacă și numai dacă (x−a)(x-a) divide PP.
Schema Horner (regula de calcul)
bk=bk+1⋅a+akb_k = b_{k+1} \cdot a + a_k
Înmulțesc termenul anterior cu aa, apoi adun coeficientul curent.
Viète (grad 2) — suma
x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}
Pentru ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
Viète (grad 2) — produsul
x1x2=cax_1 x_2 = \dfrac{c}{a}
Pentru ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
Viète (grad 3) — suma rădăcinilor
x1+x2+x3=−bax_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}
Pentru ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.
Viète (grad 3) — suma produselor câte 2
x1x2+x1x3+x2x3=cax_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \dfrac{c}{a}
Pentru ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.
Viète (grad 3) — produsul rădăcinilor
x1x2x3=−dax_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}
Atenție la semnul minus!
Rădăcini întregi candidate
x0∈Z, an=1⇒x0∣a0x_0 \in \mathbb{Z},\ a_n = 1 \Rightarrow x_0 \mid a_0
Rădăcinile întregi ale unui polinom monic sunt divizori ai termenului liber.
Truc rapid: testarea lui 1 și -1
P(1)=an+an−1+…+a0P(1) = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_0
P(1)=0P(1) = 0 dacă suma coeficienților este 00. P(−1)=0P(-1) = 0 dacă suma alternantă este 00.
Rădăcină de multiplicitate k
P(x0)=P′(x0)=…=P(k−1)(x0)=0, P(k)(x0)≠0P(x_0) = P'(x_0) = \ldots = P^{(k-1)}(x_0) = 0,\ P^{(k)}(x_0) \neq 0
Polinomul și primele k−1k-1 derivate se anulează în x0x_0.

Capitole inrudite

Identități algebriceFuncția de gradul IINumere complexeDerivate

Exerciteaza 351 probleme de Polinoame

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 296 grile de Polinoame

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.