Clasa 11Analiză

Șiruri de numere reale — Teorie, Formule si Exemple

Sirurile de numere reale sunt functii definite pe N∗\mathbb{N}^* cu valori in R\mathbb{R} si reprezinta unul dintre capitolele fundamentale din programa de clasa a 11-a, Matematica M1. La examenul de Bacalaureat, sirurile apar atat la Subiectul I (calcul direct de limite, verificarea convergentei) cat si la Subiectul III (demonstratii de convergenta prin monotonie si marginire, siruri recursive, legaturi cu sumele Riemann). Teorema centrala pe care trebuie sa o stapanesti perfect: orice sir monoton si marginit este convergent. Acest capitol face legatura naturala intre progresii (clasa a 9-a) si analiza matematica (limite, continuitate, derivabilitate).

Definiția șirurilor și noțiuni fundamentale

Definitie: Un sir de numere reale este o functie a:N∗→Ra : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}, notata (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}. Valoarea ana_n se numeste termenul general al sirului. Moduri de a defini un sir:
  • Prin formula termenului general: an=f(n)a_n = f(n). Exemplu: an=2n+1n+3a_n = \dfrac{2n+1}{n+3}
  • Prin relatie de recurenta: a1=ca_1 = c, an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n). Exemplu: a1=1a_1 = 1, an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3
  • Prin sume partiale: an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1} unde Sn=∑k=1nakS_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
Sir marginit: (an)(a_n) este marginit daca exista M>0M > 0 astfel incat ∣an∣≤M|a_n| \leq M pentru orice n≥1n \geq 1. Marginit superior: exista MM cu an≤Ma_n \leq M pentru orice nn. Marginit inferior: exista mm cu an≥ma_n \geq m pentru orice nn.
usorTip Bac Subiectul I
Fie sirul (an)(a_n) cu an=3n−1n+2a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}. Calculati a1a_1, a2a_2, a3a_3 si determinati daca sirul este marginit.
1
2 puncte
Calculam primii termeni: a1=3⋅1−11+2=23a_1 = \dfrac{3 \cdot 1 - 1}{1 + 2} = \dfrac{2}{3}, a2=54a_2 = \dfrac{5}{4}, a3=85a_3 = \dfrac{8}{5}.
2
3 puncte
Pentru marginire: an=3n−1n+2=3−1/n1+2/na_n = \dfrac{3n-1}{n+2} = \dfrac{3 - 1/n}{1 + 2/n}. Cand n→∞n \to \infty, an→3a_n \to 3. Deci an<3a_n < 3 pentru orice nn (marginit superior). De asemenea, an>0a_n > 0 pentru n≥1n \geq 1 (marginit inferior). Sirul este marginit.
usorTip Bac Subiectul I
Fie sirul (an)(a_n) definit prin a1=2a_1 = 2, an+1=an+3a_{n+1} = a_n + 3. Scrieti primii 5 termeni si gasiti formula termenului general.
1
2 puncte
Calculam: a1=2a_1 = 2, a2=5a_2 = 5, a3=8a_3 = 8, a4=11a_4 = 11, a5=14a_5 = 14.
2
3 puncte
Observam ca sirul este o progresie aritmetica cu a1=2a_1 = 2 si ratia r=3r = 3. Formula termenului general: an=a1+(n−1)r=2+3(n−1)=3n−1a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + 3(n-1) = 3n - 1.

Convergența și limita unui șir

Definitie formala (epsilon): Sirul (an)(a_n) converge la L∈RL \in \mathbb{R} daca pentru orice ε>0\varepsilon > 0 exista N(ε)∈NN(\varepsilon) \in \mathbb{N} astfel incat ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon pentru orice n>N(ε)n > N(\varepsilon). Notam lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L. Proprietati ale limitei (daca lim⁡an=A\lim a_n = A si lim⁡bn=B\lim b_n = B, cu A,B∈RA, B \in \mathbb{R}):
  • lim⁡(an±bn)=A±B\lim(a_n \pm b_n) = A \pm B
  • lim⁡(an⋅bn)=A⋅B\lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B
  • lim⁡anbn=AB\lim \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{A}{B} daca B≠0B \neq 0
  • lim⁡(c⋅an)=c⋅A\lim(c \cdot a_n) = c \cdot A pentru orice constanta c∈Rc \in \mathbb{R}
Tehnica standard pentru P(n)Q(n)\dfrac{P(n)}{Q(n)} (raport de polinoame): impartim numaratorul si numitorul cu nkn^k, unde kk este gradul maxim. Regula gradelor:
  • grad PP = grad QQ ⇒\Rightarrow limita = raportul coeficientilor dominanti
  • grad PP < grad QQ ⇒\Rightarrow limita = 00
  • grad PP > grad QQ ⇒\Rightarrow limita = ±∞\pm\infty
Teorema sandwich (a clesteului): Daca an≤bn≤cna_n \leq b_n \leq c_n si lim⁡an=lim⁡cn=L\lim a_n = \lim c_n = L, atunci lim⁡bn=L\lim b_n = L.
usorTip Bac Subiectul I
Calculati lim⁡n→∞3n2+2n−1n2−5\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 5}.
1
2 puncte
Forma ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}. Impartim cu n2n^2 (gradul maxim): 3+2/n−1/n21−5/n2\dfrac{3 + 2/n - 1/n^2}{1 - 5/n^2}.
2
2 puncte
Cand n→∞n \to \infty: 2/n→02/n \to 0, 1/n2→01/n^2 \to 0, 5/n2→05/n^2 \to 0. Limita =3+0−01−0=3= \dfrac{3+0-0}{1-0} = 3.
mediuTip Bac Subiectul I
Calculati lim⁡n→∞2n3−5n+14n3+n2−3\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^3 - 5n + 1}{4n^3 + n^2 - 3}.
1
2 puncte
Gradele numaratorului si numitorului sunt egale (ambele 3). Impartim cu n3n^3: 2−5/n2+1/n34+1/n−3/n3\dfrac{2 - 5/n^2 + 1/n^3}{4 + 1/n - 3/n^3}.
2
2 puncte
Toti termenii cu nn la numitor tind la 0. Limita = 24=12\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.
mediuTip Bac — teorema sandwich
Aratati ca lim⁡n→∞sin⁡nn=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0 folosind teorema sandwich.
1
3 puncte
Stim ca −1≤sin⁡n≤1-1 \leq \sin n \leq 1 pentru orice nn. Impartind cu n>0n > 0: −1n≤sin⁡nn≤1n-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}.
2
2 puncte
Deoarece lim⁡n→∞(−1n)=0\lim_{n \to \infty} \left(-\dfrac{1}{n}\right) = 0 si lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0, din teorema sandwich: lim⁡n→∞sin⁡nn=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0.

Limite notabile cu numărul e

Limita fundamentala: lim⁡n→∞(1+1n)n=e≈2,718\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}718 Generalizari importante:
  • lim⁡n→∞(1+an)bn=eab\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^{bn} = e^{ab} (cu a,ba, b constante)
  • lim⁡n→∞(1+an+c)bn+d=eab\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{n + c}\right)^{bn + d} = e^{ab} (termenii c,dc, d nu influenteaza limita)
Strategia generala pentru forma 1∞1^{\infty}: Daca lim⁡αn=0\lim \alpha_n = 0 si lim⁡βn=∞\lim \beta_n = \infty, atunci: lim⁡(1+αn)βn=elim⁡(αn⋅βn)\lim (1 + \alpha_n)^{\beta_n} = e^{\lim(\alpha_n \cdot \beta_n)} Pasi de rezolvare:
  1. Adu expresia la forma 1+cevaaltceva1 + \dfrac{\text{ceva}}{\text{altceva}}
  2. Identifica αn\alpha_n (ce tinde la 0) si βn\beta_n (exponentul)
  3. Calculeaza lim⁡(αn⋅βn)=k\lim(\alpha_n \cdot \beta_n) = k
  4. Rezultatul este eke^k
mediuTip admitere si Bac M1
Calculati lim⁡n→∞(n+2n−1)n\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n+2}{n-1}\right)^n.
1
2 puncte
Scriem n+2n−1=1+3n−1\dfrac{n+2}{n-1} = 1 + \dfrac{3}{n-1}. Expresia devine (1+3n−1)n\left(1 + \dfrac{3}{n-1}\right)^n.
2
2 puncte
Avem αn=3n−1\alpha_n = \dfrac{3}{n-1} si βn=n\beta_n = n. Calculam αn⋅βn=3nn−1=31−1/n→3\alpha_n \cdot \beta_n = \dfrac{3n}{n-1} = \dfrac{3}{1 - 1/n} \to 3.
3
1 punct
Deci limita este e3e^3.
usorExercitiu de verificare a limitei cu numarul e
Calculati lim⁡n→∞(1+12n)6n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{6n}.
1
2 puncte
Scriem (1+12n)6n=[(1+12n)2n]3\left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{6n} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{2n}\right]^3.
2
2 puncte
Expresia din paranteza: (1+12n)2n→e\left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{2n} \to e (limita notabila cu nn inlocuit cu 2n2n).
3
1 punct
Limita totala: e3e^3.
mediuTip Bac M1 Subiectul III
Calculati lim⁡n→∞(2n+32n−1)n+5\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{2n + 3}{2n - 1}\right)^{n+5}.
1
2 puncte
Scriem 2n+32n−1=1+42n−1\dfrac{2n+3}{2n-1} = 1 + \dfrac{4}{2n-1}. Deci αn=42n−1\alpha_n = \dfrac{4}{2n-1} si βn=n+5\beta_n = n+5.
2
2 puncte
Calculam αn⋅βn=4(n+5)2n−1=4n+202n−1→42=2\alpha_n \cdot \beta_n = \dfrac{4(n+5)}{2n-1} = \dfrac{4n + 20}{2n - 1} \to \dfrac{4}{2} = 2.
3
1 punct
Limita este e2e^2.

Monotonia șirurilor și criterii de studiu

Definitie: Sirul (an)(a_n) este:
  • Strict crescator: daca an+1>ana_{n+1} > a_n pentru orice n≥1n \geq 1
  • Strict descrescator: daca an+1<ana_{n+1} < a_n pentru orice n≥1n \geq 1
  • Monoton: daca este crescator sau descrescator (eventual nestict)
Criteriul diferentei:
  • an+1−an>0a_{n+1} - a_n > 0 pentru orice n⇒n \Rightarrow sir strict crescator
  • an+1−an<0a_{n+1} - a_n < 0 pentru orice n⇒n \Rightarrow sir strict descrescator
Criteriul raportului (pentru an>0a_n > 0):
  • an+1an>1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1 pentru orice n⇒n \Rightarrow sir strict crescator
  • an+1an<1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1 pentru orice n⇒n \Rightarrow sir strict descrescator
Metoda functiei asociate: Daca an=f(n)a_n = f(n) si ff este derivabila cu f′(x)>0f'(x) > 0 pe [1,∞)[1, \infty), atunci sirul este strict crescator.
usorTip Bac Subiectul I
Studiati monotonia sirului an=nn+1a_n = \dfrac{n}{n+1}.
1
3 puncte
Calculam an+1−an=n+1n+2−nn+1=(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)=n2+2n+1−n2−2n(n+2)(n+1)a_{n+1} - a_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)}.
2
2 puncte
Simplificam: an+1−an=1(n+2)(n+1)>0a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+2)(n+1)} > 0 pentru orice n≥1n \geq 1. Sirul este strict crescator.
mediuTip Bac M1
Studiati monotonia sirului an=2nn!a_n = \dfrac{2^n}{n!} pentru n≥1n \geq 1.
1
2 puncte
Calculam raportul: an+1an=2n+1(n+1)!⋅n!2n=2n+1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{2^n} = \dfrac{2}{n+1}.
2
3 puncte
Pentru n≥2n \geq 2: 2n+1≤23<1\dfrac{2}{n+1} \leq \dfrac{2}{3} < 1, deci sirul este strict descrescator incepand cu n=2n = 2. (Verificam: a1=2a_1 = 2, a2=2a_2 = 2, a3=43a_3 = \frac{4}{3}, a4=23a_4 = \frac{2}{3}...)

Convergența prin monotonie și mărginire

Teorema fundamentala (Weierstrass): Orice sir monoton si marginit este convergent.
  • Sir crescator si marginit superior ⇒\Rightarrow convergent, limita = sup⁡{an}\sup\{a_n\}
  • Sir descrescator si marginit inferior ⇒\Rightarrow convergent, limita = inf⁡{an}\inf\{a_n\}
Important: Conditiile sunt ambele necesare:
  • Sirul 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots este crescator dar nemarginit ⇒\Rightarrow divergent
  • Sirul (−1)n(-1)^n este marginit dar nemonoton ⇒\Rightarrow divergent (oscileaza)
Algoritmul complet pentru siruri recursive an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n):
  1. Marginire — demonstrezi prin inductie ca m≤an≤Mm \leq a_n \leq M
  2. Monotonie — studiezi semnul lui an+1−ana_{n+1} - a_n (sau raportul)
  3. Concluzie — monoton + marginit = convergent (invoci teorema Weierstrass)
  4. Calcul limita — daca lim⁡an=L\lim a_n = L, atunci si lim⁡an+1=L\lim a_{n+1} = L; rezolvi ecuatia L=f(L)L = f(L) si alegi solutia compatibila cu domeniul
greuTip Bac M1 Subiectul III — demonstratie convergenta
Fie (an)(a_n) cu a1=1a_1 = 1 si an+1=an+6an+2a_{n+1} = \dfrac{a_n + 6}{a_n + 2}. Aratati ca sirul este convergent si gasiti limita.
1
3 puncte
Marginire prin inductie: Aratam ca 1≤an≤21 \leq a_n \leq 2 pentru orice nn. Baza: a1=1∈[1,2]a_1 = 1 \in [1, 2] . Pasul inductiv: presupunem 1≤an≤21 \leq a_n \leq 2. Atunci an+1=an+6an+2a_{n+1} = \frac{a_n + 6}{a_n + 2}. Marginea inferioara: an+1≥1+62+2=74≥1a_{n+1} \geq \frac{1+6}{2+2} = \frac{7}{4} \geq 1 . Marginea superioara: an+1≤2  ⟺  an+6≤2an+4  ⟺  2≤ana_{n+1} \leq 2 \iff a_n + 6 \leq 2a_n + 4 \iff 2 \leq a_n. Dar an≤2a_n \leq 2, deci an+1≤2+62+2=2a_{n+1} \leq \frac{2+6}{2+2} = 2 .
2
3 puncte
Monotonie: an+1−an=an+6an+2−an=an+6−an2−2anan+2=−an2−an+6an+2=−(an−2)(an+3)an+2a_{n+1} - a_n = \dfrac{a_n+6}{a_n+2} - a_n = \dfrac{a_n + 6 - a_n^2 - 2a_n}{a_n+2} = \dfrac{-a_n^2 - a_n + 6}{a_n+2} = \dfrac{-(a_n - 2)(a_n + 3)}{a_n+2}. Deoarece 1≤an≤21 \leq a_n \leq 2: (an−2)≤0(a_n - 2) \leq 0 si (an+3)>0(a_n + 3) > 0, deci numaratorul ≥0\geq 0. Sirul este crescator.
3
3 puncte
Concluzie si limita: Crescator si marginit superior (de 2) ⇒\Rightarrow convergent (Weierstrass). Fie L=lim⁡anL = \lim a_n. Din recurenta: L=L+6L+2⇒L2+2L=L+6⇒L2+L−6=0⇒(L+3)(L−2)=0L = \frac{L+6}{L+2} \Rightarrow L^2+2L = L+6 \Rightarrow L^2+L-6=0 \Rightarrow (L+3)(L-2)=0. Deoarece an≥1a_n \geq 1, avem L≥1L \geq 1, deci L=2L = 2.
mediuTip Bac M1 — sir recursiv
Fie (an)(a_n) cu a1=0a_1 = 0 si an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}. Aratati ca sirul converge si calculati limita.
1
3 puncte
Marginire: Aratam prin inductie ca 0≤an≤20 \leq a_n \leq 2. Baza: a1=0∈[0,2]a_1 = 0 \in [0, 2]. Pas: daca an≤2a_n \leq 2, atunci an+1=2+an≤2+2=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \leq \sqrt{2+2} = 2. De asemenea, an+1=2+an≥2>0a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \geq \sqrt{2} > 0.
2
3 puncte
Monotonie: an+12−an2=(2+an)−an2=−(an2−an−2)=−(an−2)(an+1)a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 + a_n) - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1). Pentru 0≤an≤20 \leq a_n \leq 2: (an−2)≤0(a_n - 2) \leq 0 si (an+1)>0(a_n + 1) > 0, deci an+12−an2≥0a_{n+1}^2 - a_n^2 \geq 0. Cum an≥0a_n \geq 0, sirul este crescator.
3
3 puncte
Limita: Crescator si marginit ⇒\Rightarrow convergent. L=2+L⇒L2=2+L⇒L2−L−2=0⇒(L−2)(L+1)=0L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 = 2 + L \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow (L-2)(L+1) = 0. Cum an≥0a_n \geq 0, avem L=2L = 2.

Sume Riemann și legătura șiruri-integrale

Formula sumelor Riemann: Daca ff este continua pe [0,1][0, 1], atunci: lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx Cum recunosti o suma Riemann la Bac:
  1. Apare 1n\dfrac{1}{n} ca factor comun in fata sumei
  2. Argumentul functiei contine kn\dfrac{k}{n} (sau variante)
  3. Suma are nn termeni (de la k=1k = 1 la k=nk = n)
Generalizare pe [a,b][a, b]: lim⁡n→∞b−an∑k=1nf ⁣(a+k⋅b−an)=∫abf(x) dx\lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(a + k \cdot \frac{b-a}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx Acest tip de exercitiu face legatura intre capitolul de siruri si cel de integrale definite.
mediuTip Bac M1 Subiectul III
Calculati lim⁡n→∞1n∑k=1nkn+k\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n+k}.
1
3 puncte
Rescriem: 1n∑k=1nkn+k=1n∑k=1nk/n1+k/n\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n+k} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k/n}{1 + k/n}. Aceasta este o suma Riemann cu f(x)=x1+xf(x) = \dfrac{x}{1+x}.
2
3 puncte
Limita = ∫01x1+x dx=∫01(1−11+x)dx=[x−ln⁡(1+x)]01=1−ln⁡2\int_0^1 \dfrac{x}{1+x}\,dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{1}{1+x}\right)dx = \left[x - \ln(1+x)\right]_0^1 = 1 - \ln 2.
mediuTip Bac M1
Calculati lim⁡n→∞1n(1n+1+1n+2+…+1n+n)\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \ldots + \dfrac{1}{n+n}\right).
1
3 puncte
Rescriem: 1n∑k=1n1n+k=1n∑k=1n1n(1+k/n)=1n∑k=1n1/n1+k/n\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n(1 + k/n)} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1/n}{1 + k/n}... De fapt, mai simplu: =1n∑k=1n1n+k=∑k=1n1n⋅11+k/n= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{1 + k/n}.
2
3 puncte
Aceasta este suma Riemann cu f(x)=11+xf(x) = \dfrac{1}{1+x}. Limita = ∫0111+x dx=ln⁡(1+x)∣01=ln⁡2\int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\,dx = \ln(1+x)\Big|_0^1 = \ln 2.

Alte limite fundamentale și criteriul Cesaro-Stolz

Limite clasice de retinut:
  • lim⁡n→∞an=1\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 pentru orice a>0a > 0
  • lim⁡n→∞nn=1\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
  • lim⁡n→∞n!n=+∞\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty (mai exact, n!n∼ne\sqrt[n]{n!} \sim \dfrac{n}{e})
  • lim⁡n→∞qn=0\lim_{n \to \infty} q^n = 0 daca ∣q∣<1|q| < 1; =+∞= +\infty daca q>1q > 1
  • lim⁡n→∞nkan=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^k}{a^n} = 0 pentru a>1a > 1 si orice kk (exponentiala domina polinomul)
  • lim⁡n→∞ann!=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 pentru orice a>0a > 0 (factorialul domina exponentiala)
Criteriul Cesaro-Stolz (forma ∞∞\frac{\infty}{\infty}): Daca (bn)(b_n) este strict crescator cu lim⁡bn=+∞\lim b_n = +\infty si exista lim⁡an+1−anbn+1−bn=L\lim \dfrac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L, atunci lim⁡anbn=L\lim \dfrac{a_n}{b_n} = L. Acest criteriu este analog regulii lui l'Hopital pentru siruri.
mediuTip Bac M1
Calculati lim⁡n→∞12+22+…+n2n3\lim_{n \to \infty} \dfrac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3} folosind Cesaro-Stolz.
1
2 puncte
Avem an=12+22+…+n2a_n = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 si bn=n3b_n = n^3. Forma este ∞∞\frac{\infty}{\infty} si bnb_n este strict crescator.
2
2 puncte
Aplicam Cesaro-Stolz: an+1−anbn+1−bn=(n+1)2(n+1)3−n3=(n+1)23n2+3n+1\dfrac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)^3 - n^3} = \dfrac{(n+1)^2}{3n^2 + 3n + 1}.
3
2 puncte
Impartim cu n2n^2: (1+1/n)23+3/n+1/n2→13\dfrac{(1 + 1/n)^2}{3 + 3/n + 1/n^2} \to \dfrac{1}{3}. Deci lim⁡12+22+…+n2n3=13\lim \dfrac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3} = \dfrac{1}{3}.
usorTip Bac Subiectul I
Calculati lim⁡n→∞3n+5n4n+5n\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^n + 5^n}{4^n + 5^n}.
1
2 puncte
Impartim numaratorul si numitorul cu 5n5^n (termenul dominant): (3/5)n+1(4/5)n+1\dfrac{(3/5)^n + 1}{(4/5)^n + 1}.
2
2 puncte
Deoarece ∣3/5∣<1|3/5| < 1 si ∣4/5∣<1|4/5| < 1: (3/5)n→0(3/5)^n \to 0 si (4/5)n→0(4/5)^n \to 0. Limita = 0+10+1=1\dfrac{0 + 1}{0 + 1} = 1.

Greșeli frecvente la șiruri

✗
lim⁡(1+1n)n=1\lim\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 (pentru ca 1∞=11^{\infty} = 1)
✓lim⁡(1+1n)n=e≈2,718\lim\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}718. Forma 1∞1^{\infty} este nedeterminata!
Nu poti calcula 1∞1^{\infty} direct. Baza se apropie de 1, iar exponentul creste — combinatia produce ee, nu 1. Forma 1∞1^{\infty} este una dintre cele 7 forme nedeterminate.
✗
Demonstrez convergenta aratand doar ca sirul este monoton
✓Trebuie sa arat ambele: monoton SI marginit. Abia atunci pot aplica teorema Weierstrass.
Sirul an=na_n = n este crescator dar diverge la +∞+\infty. Fara marginire, monotonia nu garanteaza convergenta.
✗
La ecuatia L=f(L)L = f(L) cu mai multe solutii, aleg oricare
✓Aleg solutia compatibila cu domeniul sirului (de ex. an>0⇒L≥0a_n > 0 \Rightarrow L \geq 0).
Ecuatia L2+L−6=0L^2+L-6=0 are solutiile L=2L=2 si L=−3L=-3. Daca an≥1>0a_n \geq 1 > 0, singura solutie valida este L=2L=2. Verifica intotdeauna compatibilitatea cu marginile demonstrate.
✗
La P(n)Q(n)\frac{P(n)}{Q(n)}, impart cu nn indiferent de grade
✓Impart cu nkn^k unde kk = gradul maxim dintre numarator si numitor.
Daca grad PP = grad QQ, limita este raportul coeficientilor dominanti. Daca grad PP < grad QQ, limita este 0. Daca grad PP > grad QQ, limita este ±∞\pm\infty.
✗
Confund lim⁡nn=0\lim \sqrt[n]{n} = 0 (pentru ca 1/n→01/n \to 0)
✓lim⁡nn=1\lim \sqrt[n]{n} = 1, nu 0. Exponentul tinde la 0, dar baza creste.
Scriind nn=n1/n=eln⁡nn\sqrt[n]{n} = n^{1/n} = e^{\frac{\ln n}{n}} si folosind lim⁡ln⁡nn=0\lim \frac{\ln n}{n} = 0, obtinem e0=1e^0 = 1.
✗
La suma Riemann, uit sa identific functia ff si intervalul corect
✓Cauta factorul 1n\frac{1}{n}, identifica f ⁣(kn)f\!\left(\frac{k}{n}\right), si calculeaza ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx.
De exemplu, 1n∑k=1nk2n2=1n∑k=1n(kn)2\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 corespunde functiei f(x)=x2f(x) = x^2 si limita este ∫01x2 dx=13\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}.

Sfaturi pentru examenul de Bacalaureat (șiruri)

Limite de tip 1∞1^{\infty} — reteta rapida: Adu expresia la forma (1+αnβn)γn\left(1 + \dfrac{\alpha_n}{\beta_n}\right)^{\gamma_n}. Calculeaza produsul αnβn⋅γn\dfrac{\alpha_n}{\beta_n} \cdot \gamma_n. Daca tinde la kk, limita este eke^k. La Bac, aceste exercitii apar aproape in fiecare sesiune.
Siruri recursive — cei 4 pasi obligatorii: (1) marginire prin inductie matematica; (2) monotonie prin semnul diferentei an+1−ana_{n+1} - a_n; (3) concluzie: monoton + marginit = convergent (citeaza teorema Weierstrass); (4) limita din ecuatia L=f(L)L = f(L), cu alegerea solutiei din domeniu. Daca sari un pas, pierzi puncte!
Sumele Riemann — cum le recunosti: Daca vezi 1n∑k=1nf ⁣(kn)\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac{k}{n}\right), este aproape sigur o suma Riemann. Gandeste-te: care este functia ff? Calculeaza ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx. Acest tip de problema face legatura intre siruri si integrale.
Gestionarea timpului: Exercitiile cu siruri la Subiectul I sunt de obicei directe (2-3 minute). La Subiectul III, demonstratia de convergenta poate lua 10-15 minute. Incepe cu pasul de marginire (cel mai greu), apoi monotonia vine natural.
Ierarhia dominantei: Retine ordinea: n!≫an≫nk≫ln⁡pnn! \gg a^n \gg n^k \gg \ln^p n pentru a>1a > 1. Aceasta te ajuta sa determini rapid limita unui raport: termenul "mai puternic" domina.

Formular complet: limite, convergență, recurențe

Numarul e (definitie)
lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e
Definitia lui ee prin siruri. e≈2,718281828...e \approx 2{,}718281828...
Generalizare cu numarul e
lim⁡n→∞(1+an)bn=eab\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^{bn} = e^{ab}
Forma generala. Identifica aa si bb si calculeaza produsul abab.
Radacini de ordin n
lim⁡n→∞an=1\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 (a>0a > 0), lim⁡n→∞nn=1\quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
Orice numar pozitiv la puterea 1/n1/n tinde la 1.
Progresie geometrica
lim⁡n→∞qn=0\lim_{n \to \infty} q^n = 0 daca ∣q∣<1|q| < 1; qn→+∞\quad q^n \to +\infty daca q>1q > 1
Termenul general al progresiei geometrice. Ratia subunitara da convergenta la 0.
Exponentiala domina polinomul
lim⁡n→∞nkan=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^k}{a^n} = 0 pentru a>1a > 1, orice kk
Exponentiala creste mai repede decat orice putere a lui nn.
Factorialul domina exponentiala
lim⁡n→∞ann!=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 pentru orice a>0a > 0
n!n! creste mai repede decat orice exponentiala.
Criteriul Cesaro-Stolz
lim⁡anbn=lim⁡an+1−anbn+1−bn\lim \dfrac{a_n}{b_n} = \lim \dfrac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} (daca limita din dreapta exista)
Analogul regulii lui l'Hopital pentru siruri. (bn)(b_n) trebuie sa fie strict crescator cu bn→+∞b_n \to +\infty.
Suma Riemann
lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx
Leaga sirurile de integralele definite. ff trebuie sa fie continua pe [0,1][0, 1].
Teorema Weierstrass
Monoton ++ marginit ⇒\Rightarrow convergent
Baza demonstratiilor de convergenta pentru siruri recursive.
Limita din recurenta
an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n), lim⁡an=L⇒L=f(L)\lim a_n = L \Rightarrow L = f(L)
Rezolvi ecuatia si alegi solutia compatibila cu domeniul sirului.

Capitole inrudite

ContinuitateIntegrale definite (sume Riemann)DerivateInductie matematica

Exerciteaza 399 probleme de Șiruri de numere reale

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 289 grile de Șiruri de numere reale

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.