Clasa 9Algebră

Progresii Geometrice — Teorie, Formule si Exemple

Progresiile geometrice sunt șiruri de numere nenule în care fiecare termen se obține din cel anterior prin înmulțirea cu o valoare fixă numită rație. De exemplu, șirul 3,6,12,24,…3, 6, 12, 24, \ldots are rația q=2q = 2: fiecare termen este dublul celui precedent. Acest capitol face parte din programa de clasa a 9-a și apare frecvent la examenul de Bacalaureat, Matematică M1, la Subiectul I (5 puncte). Cerințele tipice includ: calculul unui termen al progresiei, determinarea rației din condiții date, suma primilor nn termeni sau demonstrarea că trei numere sunt în progresie geometrică.

Definiție și termenul general

Progresia geometrică este un șir de numere nenule (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} în care raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant: bn+1bn=q,∀ n≥1,q≠0\frac{b_{n+1}}{b_n} = q, \quad \forall \, n \geq 1, \quad q \neq 0 Rația q∈R∗q \in \mathbb{R}^* este acest raport constant. Poate fi pozitivă, negativă sau subunitară. Termenul general (formula fundamentală): bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1} Legând doi termeni oarecare: bn=bm⋅qn−mb_n = b_m \cdot q^{n-m} Monotonie (pentru b1>0b_1 > 0):
  • Dacă q>1q > 1, șirul este strict crescător.
  • Dacă 0<q<10 < q < 1, șirul este strict descrescător.
  • Dacă q<0q < 0, termenii alternează semn (șirul nu este monoton).
  • Dacă q=1q = 1, toți termenii sunt egali (șir constant).
usorTip Bac, Subiectul I
Fie progresia geometrică cu b1=3b_1 = 3 și q=2q = 2. Calculați b5b_5.
1
5 puncte
Aplicăm formula termenului general: b5=b1⋅q5−1=3⋅24=3⋅16=48b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48.
mediuTip Bac, Subiectul I
Fie progresia geometrică cu b1=128b_1 = 128 și q=−12q = -\dfrac{1}{2}. Calculați b6b_6.
1
3 puncte
Aplicăm formula: b6=b1⋅q5=128⋅(−12)5=128⋅(−132)=−4b_6 = b_1 \cdot q^{5} = 128 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^5 = 128 \cdot \left(-\dfrac{1}{32}\right) = -4.
2
2 puncte
Observăm că rația este negativă, deci termenii alternează: b1>0b_1 > 0, b2<0b_2 < 0, b3>0b_3 > 0, …\ldots Termenul b6b_6 (de rang par) este negativ.

Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice

Formula sumei pentru q≠1q \neq 1: Sn=b1⋅qn−1q−1S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} Echivalent (se obține înmulțind cu −1−1\frac{-1}{-1}): Sn=b1⋅1−qn1−qS_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} Cazul q=1q = 1: toți termenii sunt egali cu b1b_1, deci Sn=n⋅b1S_n = n \cdot b_1. Suma seriei geometrice infinite (când ∣q∣<1|q| < 1, termenii tind la 0): S=b11−qS = \frac{b_1}{1 - q} Dacă ∣q∣≥1|q| \geq 1, suma infinită nu există (seria este divergentă). Relație utilă: Sn=b1+q⋅Sn−1S_n = b_1 + q \cdot S_{n-1}, care permite verificarea rapidă a rezultatelor.
usorTip Bac, Subiectul I
Fie b1=3b_1 = 3, q=2q = 2. Calculați S6S_6.
1
5 puncte
Aplicăm formula: S6=3⋅26−12−1=3⋅64−11=3⋅63=189S_6 = 3 \cdot \dfrac{2^6 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \dfrac{64 - 1}{1} = 3 \cdot 63 = 189.
mediuTip Bac, Subiectul I
Calculați suma 1+3+9+27+…+7291 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 729.
1
3 puncte
Identificăm: b1=1b_1 = 1, q=3q = 3. Aflăm câți termeni sunt: bn=1⋅3n−1=729=36⇒n−1=6⇒n=7b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 729 = 3^6 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7.
2
2 puncte
S7=1⋅37−13−1=2187−12=21862=1093S_7 = 1 \cdot \dfrac{3^7 - 1}{3 - 1} = \dfrac{2187 - 1}{2} = \dfrac{2186}{2} = 1093.
mediuExtindere (materie clasa a 11-a)
Aflați suma seriei geometrice infinite cu b1=6b_1 = 6 și q=13q = \dfrac{1}{3}.
1
2 puncte
Deoarece ∣q∣=13<1|q| = \dfrac{1}{3} < 1, suma infinită există.
2
3 puncte
S=b11−q=61−13=623=6⋅32=9S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9.

Determinarea rației și a termenilor necunoscuți

Cel mai frecvent tip de problemă la BAC: se cunosc doi termeni oarecare bmb_m și bnb_n și se cere rația. Deoarece bn=bm⋅qn−mb_n = b_m \cdot q^{n-m}, obținem: qn−m=bnbm⇒q=(bnbm)1n−mq^{n-m} = \frac{b_n}{b_m} \Rightarrow q = \left(\frac{b_n}{b_m}\right)^{\frac{1}{n-m}} Atenție: Când n−mn - m este par, ecuația qn−m=kq^{n-m} = k poate avea două soluții (q=±kn−mq = \pm \sqrt[n-m]{k}). Trebuie verificat care soluție satisface toate condițiile problemei. Proprietatea mediei geometrice: Orice termen (din al doilea) este media geometrică a vecinilor: bn2=bn−1⋅bn+1b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1} Condiția ca a,b,c>0a, b, c > 0 să fie în P.G.: b2=a⋅cb^2 = a \cdot c (echivalent: b=acb = \sqrt{ac}).
mediuTip Bac, Subiectul I
Într-o progresie geometrică, b3=12b_3 = 12 și b6=96b_6 = 96. Aflați b1b_1 și qq.
1
3 puncte
Din b6=b3⋅q6−3b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}: 96=12⋅q3⇒q3=8⇒q=296 = 12 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2.
2
2 puncte
Din b3=b1⋅q2b_3 = b_1 \cdot q^2: 12=b1⋅4⇒b1=312 = b_1 \cdot 4 \Rightarrow b_1 = 3.
mediuTip Bac, Subiectul I
Arătați că numerele 4,6,94, 6, 9 sunt în progresie geometrică și aflați rația.
1
3 puncte
Verificăm condiția P.G.: b2=a⋅c⇔62=4⋅9⇔36=36b^2 = a \cdot c \Leftrightarrow 6^2 = 4 \cdot 9 \Leftrightarrow 36 = 36 (adevărat).
2
2 puncte
Rația: q=b2b1=64=32q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}. Verificare: b3=6⋅32=9b_3 = 6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9 ✓.

Notația simetrică pentru trei termeni în progresie geometrică

Când problema cere să găsești trei numere care formează o P.G., este convenabil să le notezi ca: aq,a,aq\frac{a}{q}, \quad a, \quad aq Avantajul: produsul lor este a3a^3 (rația se simplifică), ceea ce simplifică foarte mult calculele când se dă produsul. Legătura P.G. — P.A. prin logaritmi: Dacă (bn)(b_n) este P.G. cu bn>0b_n > 0, atunci (lg⁡bn)(\lg b_n) este progresie aritmetică cu rația lg⁡q\lg q. Acest lucru se demonstrează direct: lg⁡bn+1−lg⁡bn=lg⁡(bn⋅q)−lg⁡bn=lg⁡q\lg b_{n+1} - \lg b_n = \lg(b_n \cdot q) - \lg b_n = \lg q. Produsul primilor nn termeni: Pn=b1n⋅qn(n−1)2P_n = b_1^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}, sau echivalent Pn=(b1⋅bn)n/2P_n = (b_1 \cdot b_n)^{n/2}.
greuTip Bac, Subiectul I
Aflați trei numere pozitive în progresie geometrică cu suma 1414 și produsul 6464.
1
2 puncte
Notăm cei trei termeni ca aq,a,aq\dfrac{a}{q}, a, aq. Produsul: aq⋅a⋅aq=a3=64⇒a=4\dfrac{a}{q} \cdot a \cdot aq = a^3 = 64 \Rightarrow a = 4.
2
2 puncte
Suma: 4q+4+4q=14⇒4q+4q=10⇒4+4q2=10q⇒4q2−10q+4=0⇒2q2−5q+2=0\dfrac{4}{q} + 4 + 4q = 14 \Rightarrow \dfrac{4}{q} + 4q = 10 \Rightarrow 4 + 4q^2 = 10q \Rightarrow 4q^2 - 10q + 4 = 0 \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0.
3
1 punct
q=2q = 2 sau q=12q = \dfrac{1}{2}. Cei trei termeni: 2,4,82, 4, 8 (sau 8,4,28, 4, 2).
mediuTip Bac, Subiectul I
Aflați trei numere pozitive în P.G. știind că produsul lor este 2727 și suma lor este 1313.
1
2 puncte
Notăm termenii aq,a,aq\dfrac{a}{q}, a, aq. Din produs: a3=27⇒a=3a^3 = 27 \Rightarrow a = 3.
2
2 puncte
Din sumă: 3q+3+3q=13⇒3q+3q=10⇒3+3q2=10q⇒3q2−10q+3=0\dfrac{3}{q} + 3 + 3q = 13 \Rightarrow \dfrac{3}{q} + 3q = 10 \Rightarrow 3 + 3q^2 = 10q \Rightarrow 3q^2 - 10q + 3 = 0.
3
1 punct
Δ=100−36=64\Delta = 100 - 36 = 64. q=10±86q = \dfrac{10 \pm 8}{6}, deci q=3q = 3 sau q=13q = \dfrac{1}{3}. Termenii: 1,3,91, 3, 9 (sau 9,3,19, 3, 1).

Greșeli frecvente la progresii geometrice

✗
Calculez rația ca diferență: q=b2−b1q = b_2 - b_1
✓La P.G., rația este raportul: q=b2/b1q = b_2 / b_1, nu diferența
Progresiile aritmetice folosesc diferența (r=b2−b1r = b_2 - b_1); cele geometrice folosesc raportul (q=b2/b1q = b_2 / b_1). Este cea mai frecventă confuzie la BAC.
✗
Un termen al progresiei geometrice poate fi zero
✓Toți termenii P.G. sunt obligatoriu nenuli; dacă un termen este zero, șirul nu este P.G.
Dacă bk=0b_k = 0, atunci raportul q=bk+1/bkq = b_{k+1}/b_k este nedefinit — nu putem vorbi de rație.
✗
Folosesc formula Sn=b1(qn−1)q−1S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} și când q=1q = 1
✓Dacă q=1q = 1, toți termenii sunt egali și Sn=n⋅b1S_n = n \cdot b_1
La q=1q = 1, numărătorul și numitorul formulei sunt ambele zero (0/00/0, formă nedeterminată). Trebuie tratată separat.
✗
Uit să verific ambele soluții când q2=kq^2 = k
✓Ecuația qn−m=kq^{n-m} = k cu exponent par admite două soluții: q=±kn−mq = \pm \sqrt[n-m]{k}
De exemplu, din q2=4q^2 = 4 obținem q=2q = 2 sau q=−2q = -2. Dacă nu se specifică semnul termenilor, ambele soluții pot fi valide.
✗
Scriu formula sumei infinite S=b1/(1−q)S = b_1/(1-q) pentru orice qq
✓Formula S=b1/(1−q)S = b_1/(1-q) este valabilă numai dacă ∣q∣<1|q| < 1
Dacă ∣q∣≥1|q| \geq 1, termenii nu tind la zero și seria geometrică este divergentă — suma infinită nu are sens.

Sfaturi pentru examenul de Bacalaureat

Progresiile geometrice apar la Subiectul I (materie clasa a 9-a, 5 puncte). Algoritmul standard: notezi b1b_1 și qq, scrii bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, rezolvi sistemul din condițiile date.
Tipuri frecvente la BAC: identificarea rației din relații între doi termeni, calculul sumei SnS_n, demonstrarea că trei numere sunt în P.G. (verifici b2=acb^2 = ac), probleme care combină P.A. și P.G.
Truc pentru probleme mixte P.A.–P.G.: Dacă a,b,ca, b, c sunt simultan în P.A. și în P.G., atunci 2b=a+c2b = a + c și b2=acb^2 = ac. Din aceste două condiții rezultă obligatoriu că a=b=ca = b = c.
Timp: O problemă standard cu P.G. la Subiectul I se rezolvă în 3–4 minute. Dacă durează mai mult, verifică dacă nu ai confundat formula cu cea de la progresii aritmetice.
Verificare rapidă: După ce ai aflat b1b_1 și qq, înmulțește câțiva termeni consecutivi pentru a confirma că raportul este constant. Această verificare durează sub 30 de secunde și previne erori de calcul.

Toate formulele pe scurt

Termenul general
bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
Formula fundamentală; la n=1n = 1 obții b1b_1.
Legătură între doi termeni
bn=bm⋅qn−mb_n = b_m \cdot q^{n-m}
Util când nu cunoști b1b_1 direct.
Suma primilor n termeni (rație diferită de 1)
Sn=b1⋅qn−1q−1S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}
Formula standard; nu funcționează când q=1q = 1.
Suma pentru rație egală cu 1
Sn=n⋅b1S_n = n \cdot b_1
Cazul degenerat: toți termenii sunt egali.
Suma seriei geometrice infinite
S=b11−qS = \dfrac{b_1}{1 - q}, dacă ∣q∣<1|q| < 1
Valabilă doar când termenii tind la zero.
Media geometrică a vecinilor
bn2=bn−1⋅bn+1b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}
Fiecare termen este media geometrică a vecinilor.
Condiția de progresie geometrică
b2=a⋅cb^2 = a \cdot c
Trei numere a,b,c>0a, b, c > 0 sunt în P.G. dacă și numai dacă b2=acb^2 = ac.
Produsul primilor n termeni
Pn=(b1⋅bn)n/2P_n = (b_1 \cdot b_n)^{n/2}
Echivalent cu b1n⋅qn(n−1)/2b_1^n \cdot q^{n(n-1)/2}.

Capitole inrudite

Progresii AritmeticeLogaritmiȘiruri de numere realeEcuații exponențiale

Exerciteaza 157 probleme de Progresii Geometrice

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 315 grile de Progresii Geometrice

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.